九年级上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份九年级上学期12月月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学上第二次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，年小题3分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可．
【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，
∴A、属于一元二次方程，符合题意；
B、不是等式方程，不符合题意；
C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程．
2. 正方形、矩形、菱形都具有的特征是（　　）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析，三者都是平行四边形，从而得到答案．
【详解】解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质．
3. 一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据简单组合体的三视图的画法，即可一一判定．
【详解】解：这个组合体的主视图如下：

故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．
4. 已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．
【详解】∵，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了求角正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式．
5. 如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比是，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∵的面积与的面积之比是，
∴的面积与的相似比是，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. 一次函数和反比例函数 的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图可知，当，的取值范围为或．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围．
7. 第二十二届世界杯足球赛将于年月日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯的到来，某市行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意参赛的每两个队之间比赛一场，每个球队需要比赛场，x个队参赛需要参赛，但是两个球队不重复比赛，所以乘以，即可解得．
【详解】解：根据题意得：

故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程解应用题，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
8. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A. 2015 B. 2022 C. D. 4010
【答案】B
【解析】
【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
原式

．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
9. 在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
10. 函数 和在第一象限内图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由于是反比函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，


∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分）
11. 如果x：y＝1：2，那么＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据合比性质即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查合比性质，熟记合比性质（若，则 ）的公式是解题关键．
12. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据方程由两个相等的实数根可得：Δ=0，
Δ=b2－4ac=（-5）2－4k=25－4k=0，
解得k=．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握一元二次方程根的情况判别方法是解题的关键，其中，（1）b2－4ac＞0方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac=0方程有两个相等的实数根；（3）b2－4ac＜0方程没有实数根；（4）b2－4ac≥0方程有实数根．
13. 甲、乙两根木杆竖直立在平地上，其高度分别是3m和2m．某一时刻，乙木杆在太阳光下的影长为3m，则甲木杆的影长为______m．
【答案】4.5
【解析】
【分析】利用在同一时刻物高与影长的比相等得出方程解答即可．
【详解】解：设甲木杆的影长为x m，则
，
解得：x=4.5，
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了平行投影：利用影长测量物体的高度．通常利用在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
14. 如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝__．

【答案】150°．
【解析】
【分析】先根据正方形和等边三角形的性质得出AB＝BE，∠ABE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝90°，BE＝CB＝CE，∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BEA＝（180°﹣30°）＝75°，
同理：∠CED＝75°，
∴∠AED＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°，
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键．
15. 如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点线段上任意一点，且于点，于点，则等于_________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值．
【详解】连接，

∵四边形是矩形，
∴，，点是对角线的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形知识，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．
三、解答题（共8小题）
16. 解方程：
【答案】x1=2，x2=-3．
【解析】
【分析】将方程左边利用多项式乘以多项式的法则计算，右边移项到左边，合并后整理为一般形式，然后利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】解：方程（x-1）（x+2）=4，
整理得：x2+2x-x-2-4=0，即x2+x-6=0，
分解因式得：（x-2）（x+3）=0，
可得：x-2=0或x+3=0，
解得：x1=2，x2=-3．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠B=∠C，再证∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；
（2）先求出AD的长，由•AD•BD＝•AB•DE ，即可求解DE的长．
【小问1详解】
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
【小问2详解】
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝ = ＝12，
∵•AD•BD＝•AB•DE，
∴DE＝ ．

【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可；
（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1；
（2）根据题意画出树状图如下：

所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．
19. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为45°，旗杆底部的俯角为60°．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度．

【答案】米
【解析】
【分析】此题根据题意作，利用和 分别求出PB，AP即可求出AB的长．
【详解】解：过点作于点，

在中，，，，，

在中，，，

米．
【点睛】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．
20. 如图，在四边形中，，，平分．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点A作，交的延长线于点E．若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，可得四边形为平行四边形，由则知四边形为菱形；
（2）由条件知点B为的中点，，由勾股定理得即可．
【小问1详解】
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题利用了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及直角三角形的性质求解．掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．
21. 某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
【答案】（1）每件衬衫应降价10元
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，然后根据利润单价盈利数量列出方程求解即可；
（2）假设能获得，同（1）根据题意列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，每天可以售出件．
由题意，得，
即，
解得，．
∵每件盈利不少于25元，
∴
∴商场若想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价10元．
【小问2详解】
解：不能．理由如下：
假设能获得，由题意得．
整理，得．
，
∴方程无实数根，故不能．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程求解是解题关键．
22. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，求的最小值；
（3）是轴上的一点，当为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标．
【答案】（1），
（2）的最小值为
（3）点坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）将点代入求得的值，进而求得点的坐标，即可求得的值，根据中心对称求得点的坐标；
（2）根据题意，求得，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，当三点共线时，的值最小，求得，根据勾股定理求得，即可求解．
（3）设，根据勾股定理得出，，，然后分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵上，
∴，
∴，
∵直线和双曲线均关于原点对称，
∴关于原点对称，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴点是的中点，
∴点的纵坐标为，
∴，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，

∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∴，
∴，
∴的最小值为；
【小问3详解】
设，
∴，，，
①当时，，
解得，
∴P；
②当时，，
解得，
∴P；
③当时，，
解得，
∴P或；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，轴对称求线段和最短距离，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23. 如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点D作的垂线交于点P，交于点Q，，．

（1）求证：
①；
②求的大小；
（2）求正方形的面积；
（3）求线段的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质，结合，证明；
②根据，可得，利用，，即可求得；
（2）过点作交延长线于点，根据，，利用勾股定理得出，根据已知条件，证明，即可得出，利用勾股定理得出，算出，根据勾股定理算出，即可得出正方形的面积；
（3）先证明，根据相似三角形的性质，得出，最后根据，得出结果即可．
【小问1详解】
①，
，
∵在正方形中，
∴，，
，
在和中，

；
②，
，
又，，
，
【小问2详解】
过点作交延长线于点，

，，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
在中，，
正方形的面积为：．
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
，
．