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    这是一份2022新初三暑假数学讲义目录,共176页。
    
    2022新初三暑假数学讲义目录
    第1讲 二次函数的图像与性质 1
    第2讲 二次函数与一元二次方程 8
    第3讲 实际问题与二次函数 13
    第4讲 抛物线的平移、旋转、对称 22
    第5讲 二次函数中等腰三角形的存在性 30
    第6讲 二次函数中直角三角形的存在性 39
    第7讲 二次函数中平行四边形的存在性 46
    第8讲 二次函数中面积的存在性问题 61
    第9讲 图形的旋转 71
    第10讲 中心对称 81
    第11讲 圆的有关性质 88
    第12讲 与圆有关的位置关系 96
    第13讲 与圆的有关的计算 100
    第14讲 反比例函数 107
    第15讲 实际问题与反比例函数 121











    第1讲 二次函数的图像与性质
    【知识梳理】
    一、二次函数的定义
    (1)二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.
    判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
    (2)二次函数的取值范围:一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是全体实数,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
    二、二次函数的图像
    (1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:
    ①列表:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.
    ②描点:在平面直角坐标系中描出表中的各点.
    ③连线:用平滑的曲线按顺序连接各点.
    ④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧.
    (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
    二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
    三、二次函数的性质
    二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:
    ①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.
    ②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.
    ③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左(右)平移|﹣|个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
    四、二次函数图像与系数的关系
    二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
    ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小.
    ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)
    ③.常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).
    ④抛物线与x轴交点个数.
    △=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
    五、二次函数图像上的点的坐标特征
    二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,顶点坐标是(﹣,).
    ①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称,所以抛物线上的点关于对称轴对称,且都满足函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.
    ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.
    ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,设两个交点分别是(x1,0),(x2,0),则其对称轴为x=.
    六、二次函数的最值
    (1)当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=时,y=.
    (2)当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=时,y=.
    (3)确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.
    七、待定系数法求二次函数解析式
    (1)二次函数的解析式有三种常见形式:
    ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0); ②顶点式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标; ③交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0);
    (2)用待定系数法求二次函数的解析式.
    在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
    八、二次函数的三种形式
    二次函数的解析式有三种常见形式:
    ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是(0,c);
    ②顶点式:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标,该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h,k);
    ③交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0),该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0).

    【核心考点精讲】
    一、 二次函数的定义
    1.(2020秋•合肥期末)若是二次函数,则   .
    二、 二次函数的图像
    1.(2020秋•合川区期末)二次函数的图象如图所示,那么一次函数的图象大致是  
    A. ‘B. C. D.
    三、 二次函数的性质
    1.(2020秋•灵山县期末)抛物线的对称轴是  
    A. B. C. D.
    2.(2020秋•卧龙区期末)已知抛物线的顶点在轴上,则的值为  
    A.2 B.4 C. D.
    3.(2020秋•番禺区期末)抛物线与轴的交点坐标为  
    A. B. C. D.
    四、 二次函数图像与系数的关系
    1.(2021•曹县一模)如图,抛物线的对称轴为直线,下列结论:(1),(2),(3)为任意实数),其中结论正确的个数为  

    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    2.(2021春•龙华区月考)二次函数图象如图,下列结论中:①;②;③;④.正确的有  

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    五、 二次函数图像上的点的坐标特征
    1.(2021•郑州模拟)若,,为二次函数的图象上的三点,则,,的大小关系是  
    A. B. C. D.
    2.(2021•于洪区一模)若点,,在抛物线的图象上,则,,的大小关系是  
    A. B. C. D.
    3.(2021•南平模拟)二次函数、是常数)的自变量与函数值的部分对应值如下表:



    0
    2
    3








    下列判断正确的是  
    A. B. C. D.
    六、 二次函数的平移
    1.(2021·山东青岛市·九年级期末)将函数y=(x+1)2﹣4的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,则得到的函数解析式为(  )
    A.y=(x﹣1)2 B.y=(x﹣1)2﹣8 C.y=(x+3)2 D.y=(x+3)2﹣8
    七、 二次函数的最值
    1.(2020秋•中站区期末)已知抛物线,点在抛物线上,则的最大值是  .
    2.(2020秋•覃塘区期末)二次函数的最大值为  .
    八、 待定系数法求二次函数解析式
    1.(2020秋•瑶海区期末)已知抛物线过点,,求抛物线的解析式及其顶点的坐标.



    2.(2020秋•越城区期末)已知二次函数图象的顶点是,且过点.
    (1)求二次函数的表达式;
    (2)判断该二次函数的图象是否经过点,并解释你的判断.






    九、二次函数的三种形式
    1.(2021•贺兰县校级一模)用配方法将二次函数化成的形式是   .
    2.(2021•天河区校级二模)将二次函数化成的形式应为   .

    【巩固复习】
    一、单选题
    1.(2021·广州市第七中学九年级月考)抛物线的顶点坐标是( )
    A. B. C. D.
    2.(2021·广州市第七中学九年级月考)已知抛物线,当,时,它的图象经过( )
    A.第一,二,三象限 B.第一,二,四象限
    C.第一,三,四象限 D.第一,二,三,四象限
    3.(2021·仪征市实验初中九年级月考)把抛物线向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线是( )
    A. B.
    C. D.
    4.(2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模)直角坐标系中,一次函数的图象过点,且,与轴,轴分别交于,两点.设的面积为,则的最小值是( )
    A.4 B.3 C.2 D.1
    5.(2021·广州市第五中学九年级期中)点,,为二次函数的图象上的三点,则,,的大小关系是( )
    A. B. C. D.
    6.(2021·福建省福州第一中学九年级开学考试)抛物线(其中,是常数)过点A(2,6),且物线的对称轴与线段有交点,则的值不可能是( )
    A. B. C. D.14
    二、填空题
    7.(2021·哈尔滨市第十七中学校九年级二模)如果将抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,那么所得新抛物线对应的函数解析式是___.
    8.(2021·陕西渭南市·九年级月考)已知二次函数y=2x2+bx,当x>1时,y随x增大而增大,则b的取值范围为______.
    9.(2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中)已知二次函数,当时,函数的最大值是______.
    10.(2021·珠海市斗门区实验中学九年级期中)已知点A(﹣2,y1),B(5,y2)为函数y=x2+a图象上的两点,比较:y1_____y2.

    11.(2021·沭阳县修远中学九年级期末)二次函数y=2x2+4x+1图象的顶点坐标为_____.当x=-1时,y=_____.
    12.(2021·广州市第七中学九年级月考)二次函数的图象经过点、,顶点的纵坐标是,则关于的方程的解是_______.

    13.(2021·广州市第七中学九年级月考)已知二次函数的图象与轴交于点,,且,与轴的正半轴的交点在的下方,下列结论:①;②;③;④.其中正确的有_______.(填序号)
    14.(2021·连云港市新海实验中学九年级二模)如图,二次函数的图像过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c0;④若点A(-3,)、点B()、点C()在该函数图像上,则:⑤若方程的两根为,且,则其中正确的结论有__________. (只填序号)

    三、解答题
    15.(2021·浙江衢州市·九年级期末)已知二次函数y=2x2﹣x+1,当﹣1≤x≤1时,求函数y的最小值和最大值.彤彤的解答如下:
    解:当x=﹣1时,则y=2×(﹣1)2﹣(﹣1)+1=4;
    当x=1时,则y=2×12﹣1+1=2;
    所以函数y的最小值为2,最大值为4.
    彤彤的解答正确吗?如果不正确,写出正确的解答.





    16.(2021·浙江衢州市·九年级期末)已知二次函数y=ax2﹣bx+3(a≠0)的图象过点A(2,3),交y轴于点B.
    (1)求点B的坐标及二次函数图象的对称轴;
    (2)若抛物线最高点的纵坐标为4,求二次函数的表达式;
    (3)已知点(m,y1),(n,y2)在函数图象上且0<m<n<1,试比较y1和y2的大小.









    17.(2021·广州市第七中学九年级月考)已知抛物线与轴交于点,与轴交于点和点,抛物线的对称轴直线与抛物线交于点,与直线交于点.

    (1)点的坐标为_______,_______(直接填写结果).
    (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点,是否存在点,使四边形的面积为,若存在,求点的坐标,若不存在,请说明理由.













    第2讲 二次函数与一元二次方程
    【知识梳理】
    一、抛物线与x轴的交点
    求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.
    (1)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.
    △=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
    △=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
    △=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
    △=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
    (2)二次函数的交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0),可直接得到抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).
    二、图像法求一元二次方程的近似根
    利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是:
    (1)作出函数的图象,并由图象确定方程的解的个数;
    (2)由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围;
    (3)观察图象求得方程的根(由于作图或观察存在误差,由图象求得的根一般是近似的).
    三、二次函数图象与几何变换
    由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
    【核心考点精讲】
    一、 抛物线与x轴的交点
    1.(2020秋•元阳县期末)关于二次函数,下列说法正确的是  
    A.图象的对称轴为直线
    B.图象与轴的交点坐标为
    C.图象与轴的交点坐标为和
    D.的最小值为
    2.(2021春•台江区校级月考)已知二次函数的部分图象如图所示,则关于的一元二次方程的解为  

    A., B., C., D.,
    二、图像法求一元二次方程的近似根
    1.(2019秋•宜昌期中)已知二次函数中和的值如下表  

    0.10
    0.11
    0.12
    0.13
    0.14




    0.9
    1.8
    则的一个根的范围是  
    A. B. C. D.
    2.(2018秋•伍家岗区期末)下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值:
    x
    1
    1.1
    1.2
    1.3
    1.4
    y
    -1
    -0.49
    a
    0.59
    1.16
    已知方程的一个近似根是1.2,则可能值范围为  
    A. B. C. D.

    三、二次函数图象与几何变换
    1.(2021•南岗区校级二模)将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是  
    A.向左平移3个单位,向上平移4个单位
    B.向左平移3个单位,向下平移4个单位
    C.向右平移3个单位,向上平移4个单位
    D.向右平移3个单位,向下平移4个单位
    2.(2021•苏州)已知抛物线的对称轴在轴右侧,现将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则的值是  
    A.或2 B. C.2 D.




    【巩固复习】
    一、单选题
    1.(2021·台州市书生中学九年级开学考试)二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是( )
    A. B. C. D.
    2.(2021·陕西渭南市·九年级月考)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2﹣m的值为( )
    A.1 B.﹣1 C.0 D.2
    3.(2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中)已知二次函数与轴交于点与,其中,方程的两根为,,下列结论:①;②;③;④;⑤,正确的个数有( ).
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    4.(2021·广州市第五中学九年级期中)如图,已知抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图象如图所示.下列结论:①方程的两个根是,;②;③;④当时,的取值范围是.其中结论正确的个数是( )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    5.(2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模)函数y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,0)、(m,0),且1<m<2,当x<﹣1时,y随x增大而减小,下列结论:①abc>0;②a+b<0;③若点A(﹣3,y1),B(3,y2)在抛物线上,则y1<y2;④方程ax2+bx+c-2=0必有两个不相等实数根;⑤c≤﹣1时,则b2﹣4ac≤4a.其中结论正确的有(  )个
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    二、填空题
    6.(2021·江苏常州市·常州实验初中九年级二模)已知抛物线与轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线,则关于的一元二次方程的根是_______.
    7.(2021·内蒙古呼和浩特市·九年级二模)对于二次函数,图象的对称轴为____________,当自变量x满足时,函数值y的取值范围为,则a的取值范围为________.
    8.(2021·珠海市斗门区实验中学九年级期中)若抛物线y=x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点,则线段AB的长为_____.
    9.(2021·湖南长沙市·九年级开学考试)如图,已知二次函数(a≠0(的图象,且关于x的一元二次方程没有实数根,有下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的序号有_________.

    10.(2021·福建厦门市·厦门双十中学思明分校九年级月考)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,若2b+c=﹣2,b=﹣2﹣t,且AB的长为kt,其中t>0,k的值为___.
    11.(2020·江苏省江阴市第一中学九年级月考)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过原点;②4a+b=0;③a﹣b+c<0;④b2>4ac;⑤当x<2时,y随x的增大而增大,你认为其中正确的是 _____.(填序号)

    12.(2021·北京交通大学附属中学九年级开学考试)已知二次函数,它的图象与x轴的交点坐标为________.
    三、解答题
    13.(2021·珠海市斗门区实验中学九年级期中)抛物线的图象如图所示,
    (1)当y>0时,直接写出x的取值范围;
    (2)求此抛物线的解析式.

    14.(2021·陕西渭南市·九年级月考)已知抛物线y=x2﹣4x+3.
    (1)求该抛物线与x轴的交点坐标;
    (2)当y>0时,直接写出x的取值范围.












    15.(2021·陕西渭南市·九年级月考)已知抛物线C1:y=(x+2)2﹣1,抛物线C1,的顶点为A,与y轴的交点为B.
    (1)点A的坐标是________,点B的坐标是_______;
    (2)在平面直角坐标系中画出C1的图象(不必列表);
    (3)将抛物线C1向下平移3个单位,向右平移2个单位后得到抛物线C2,画出平移后的抛物线C2并写出抛物线C2的解析式.









    16.(2021·浙江绍兴市·浣江教育九年级期中)二次函数的图象的对称轴为直线,最小值为,且函数的图象与抛物线的形状相同、方向相反.
    (1)求该二次函数的表达式;
    (2)如果函数图象与x轴交于A,B(A在B的左边)两点,交y轴于C点,你能求出的面积吗?
    (3)利用二次函数的图象,写出x为何值时,.










    第3讲 实际问题与二次函数
    【知识梳理】
    一、根据实际问题列二次函数的关系式
    根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.
    ①描点猜想问题需要动手操作,这类问题需要真正的去描点,观察图象后再判断是二次函数还是其他函数,再利用待定系数法求解相关的问题.
    ②函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化;有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.
    二、二次函数的应用
    (1)利用二次函数解决利润问题
    在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
    (2)几何图形中的最值问题
    几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值,用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论.
    (3)构建二次函数模型解决实际问题
    利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式可解决些测量问题或其他问题.
    【核心考点精讲】
    一.二次函数的最值
    1.(2021秋•岑溪市期末)二次函数y=(x﹣1)2﹣3的最小值是(  )
    A.﹣3 B.3 C.0 D.1
    2.(2022•鼓楼区一模)若二次函数y=ax2﹣bx+2有最大值6,则y=﹣a(x+1)2+b(x+1)+2的最小值为    .

    3.(2022•高邮市模拟)如图,已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点(不与点A、B、C、D重合),PE∥BQ交AQ于点E,连接PQ.AB=8,BC=6,设△PEQ的面积为S.
    (1)当点P运动到AP=2时,无论点Q运动到CD边的何处,S=   ;
    (2)在点P、Q的运动过程中,
    ①若S,求AP的长;
    ②求S的最大值.



    4.(2021秋•营口期末)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+x经过点A(3,4).
    (1)求a的值;
    (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,在直线AB上任取一点P,作点A关于直线OP的对称点C;
    ①当点C恰巧落在x轴时,求直线OP的表达式;
    ②连结BC,求BC的最小值.






    5.(2021秋•莲池区期中)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3.
    (1)在图①中,P是BC上一点,EF垂直平分AP,分别交AD、BC边于点E、F,求证:四边形AFPE是菱形;
    (2)若菱形AFPE的四个顶点都在矩形ABCD的边上,当菱形的面积最大时,菱形的边长是    .
















    二.根据实际问题列二次函数关系式
    6.(2021秋•宣城期末)共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是(  )
    A.y=x2+a B.y=a(1+x)2 C.y=(1﹣x)2+a D.y=a(1﹣x)2
    7.(2021秋•陵城区期末)退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏,在院墙外设计一个矩形花圃种植花草.为方便进出,他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门,如果设和墙相邻的一边长为x米,花圃面积为y平方米,则y与x之间的函数关系式为    .

    8.(2021秋•江油市期末)n个球队参加篮球比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n(n≥2)之间的函数关系是    .
    9.(2021秋•新昌县期末)如图,矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上.已知△ABC的边长为4,记矩形DEFG的面积为S,线段BE为x.
    (1)求S关于x的函数表达式.
    (2)当S时,求x的值.








    三.二次函数的应用(共5小题)
    10.(2022•门头沟区一模)如图,用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙(墙长不限)的矩形花园,设该矩形花园的一边长为xm,另一边的长为ym,矩形的面积为Sm2,当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,那私么y与x,S与x满足的函数关系分别是(  )

    A.一次函数关系,二次函数关系
    B.反比例函数关系,二次函数关系
    C.一次函数关系,反比例函数关系
    D.反比例函数关系,一次函数关系
    11.(2022•荆州一模)一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
    x(元/件)
    4
    5
    6
    y(件)
    10000
    9500
    9000
    (1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);
    (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围.










    12.(2022春•郫都区校级期中)某乡镇贸易公司开设了一家网店,销售当地某种农产品,已知该农产品成本为每千克10元,调查发现,每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中10<x≤30)
    (1)写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围;
    (2)当销售单价x为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?













    13.(2022•宁津县一模)某商场购进A、B两种商品进行销售,已知购进4件A商品和6件B商品需260元,购进5件A商品和4件B商品需220元.两种商品以相同的售价销售,A商品的销售量y1(件)与售价x(元)之间的关系为y1=310﹣5x;当售价为40元时,B商品可销售100件,售价每提高1元,少销售3件.
    (1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元?
    (2)当商品售价为多少元时,A、B两种商品的销售利润总和最大?最大利润是多少?















    14.(2022•东至县模拟)为了疫情防控需求,某商店购进一批额温枪,每个进价为30元.若每个售价定为42元时,则每周可售出160个.后经调查发现,销售定价每增加1元时.每周的销售量将减少10个.若商店准备把这种额温枪销售价定为每个x元(x≥42),每周的销售获利为y元.
    (1)求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求出销售定价为多少时,这一周销售额温枪获利最大;
    (2)若该商店在某周销售这种额温枪获利1600元,求这种额温枪的销售单价.















    【巩固复习】
    一.选择题
    1.(2022•房山区一模)某长方体木块的底面是正方形,它的高比底面边长还多50cm,把这个长方体表面涂满油漆时,如果每平方米费用为16元,那么总费用与底面边长满足的函数关系是(  )
    A.正比例函数关系 B.一次函数关系
    C.反比例函数关系 D.二次函数关系
    2.(2021秋•硚口区期末)以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=at2+bt(a<0).若小球在第1秒与第3秒高度相等,则下列四个时间中,小球飞行高度最高的时间是(  )
    A.第1.9秒 B.第2.2秒 C.第2.8秒 D.第3.2秒
    二.填空题
    3.(2022•福州模拟)若m﹣n2=0,则m+2n的最小值是    .
    4.(2022•青浦区二模)为防治新冠病毒,某医药公司一月份的产值为1亿元,若每月平均增长率为x,第一季度的总产值为y(亿元),则y关于x的函数解析式为    .
    5.(2022•长春一模)圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,点O为原点建立平面直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C、D为水柱的落水点.已知雕塑OA高米,与OA水平距离5米处为水柱最高点,落水点C、D之间的距离为22米,则喷出水柱的最大高度为    米.

    6.(2022•南关区校级一模)在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+mx+3过点(4,3),着当0≤x≤a时,y有最大值7,最小值3,则a的取值范围是    .



    7.(2022春•柯桥区月考)我们在求代数式y2+4y+8的最小值时,可以考虑用如下法求得:
    解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4
    ∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4,∴y2+4y+8的最小值是4.
    请用上面的方法解决下列问题,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏围成.如图,设AB=x(m),则当x=   ,花园的面积最大是    .




    三.解答题
    8.(2022春•萧山区期中)先阅读下面的例题,再按要求解答下列问题:
    求代数式y2+4y+8的最小值.
    解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4,
    ∵(y+2)2≥0,
    ∴(y+2)2+4≥4
    ∴y2+4y+8的最小值是4.
    (1)求代数式m2+m+4的最小值;
    (2)求代数式24﹣2x2+8x的最大值;
    (3)某居民小区要在一块靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏围成.如图,设AB=x(m),请问:当x取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?








    9.(2022•荆州一模)一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
    x(元/件)
    4
    5
    6
    y(件)
    10000
    9500
    9000
    (1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);
    (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围.









    10.(2022春•嘉定区校级期中)某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯,两次购进水杯的情况如表:
    进货批次
    A型水杯(个)
    B型水杯(个)
    总费用(元)

    100
    200
    8000

    200
    300
    13000
    (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元?
    (2)在销售过程中,A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢.为了增大B型水杯的销售量,超市决定对B型水杯进行降价销售,当销售价为44元时,每天可以售出20个,每降价1元,每天将多售出5个,请问超市应将B型水杯降价多少元时,每天售出B型水杯的利润达到最大?最大利润是多少?














    11.(2022•如东县一模)某商品现在的售价为每件50元,每星期可卖出200件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出5件;每降价1元,每星期可多卖出25件.
    (1)设该商品每件定价为x元,每星期可卖出y件,分别求出当x>50和x<50时,y与x的函数关系式;
    (2)若该商品的进价为每件30元,如何定价才能使得每星期的利润最大?请说明理由.












    12.(2022•市中区一模)某商场以每件20元的价格购进一种商品,规定这种商品每件售价不低于进价,又不高于38元,经市场调查发现:该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系,如图所示.
    (1)求y与x之间的函数关系式;
    (2)设商场销售这种商品每天获利w(元),当每件商品的售价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少?







    13.(2022•高邮市模拟)如图,已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点(不与点A、B、C、D重合),PE∥BQ交AQ于点E,连接PQ.AB=8,BC=6,设△PEQ的面积为S.
    (1)当点P运动到AP=2时,无论点Q运动到CD边的何处,S=   ;
    (2)在点P、Q的运动过程中,
    ①若S,求AP的长;
    ②求S的最大值.











    第4讲 抛物线的平移、旋转、对称
    【知识梳理】
    一.二次函数图象与几何变换
    由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
    二.坐标与图形变化-平移
    (1)平移变换与坐标变化
    ①向右平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x+a,y)
    ①向左平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x﹣a,y)
    ①向上平移b个单位,坐标P(x,y)⇒P(x,y+b)
    ①向下平移b个单位,坐标P(x,y)⇒P(x,y﹣b)
    (2)在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.)
    三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移:
    针对顶点式抛物线的平移规律是:“左加右减(括号内),上加下减”,同时保持a不变。
    四、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
    五、旋转的性质
    (1)旋转的性质:
    ①对应点到旋转中心的距离相等. 
    ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 
    ③旋转前、后的图形全等.
    (2)旋转三要素:①旋转中心; ②旋转方向; ③旋转角度.
    注意:三要素中只要任意改变一个,图形就会不一样.

    六.关于对称的点的坐标
    (1)关于坐标轴或原点对称的两点,根据对称的性质,有
    ① 点P(a,b)关于x轴对称点坐标为;
    ② 点P(a,b)关于y轴对称点坐标为;
    ③ 点P(a,b)关于原点对称点坐标为().


    【核心考点精讲】
    一.选择题(共7小题)
    1.(2022•开福区校级)将抛物线y=3x2平移,得到抛物线y=3(x﹣1)2﹣2,下列平移方式中,正确的是(  )
    A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
    C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
    2.(2021秋•江都区期末)将二次函数y=2x2的图象先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的函数图象的表达式为(  )
    A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x﹣2)2+3
    C.y=2(x+2)2﹣3 D.y=2(x﹣2)2﹣3
    3.(2022•宣州区一模)将抛物线C1:y=(x﹣3)2+2向左平移3个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为(  )
    A.y=x2﹣2 B.y=﹣x2+2 C.y=x2+2 D.y=﹣x2﹣2
    4.(2022•金华模拟)在平面直角坐标系中,抛物线y=2x2保持不动,将x轴向上平移1个单位(y轴不动),则在新坐标系下抛物线的解析式是(  )
    A.y=2x2+1 B.y=2x2﹣1 C.y=2(x﹣1)2 D.y=2(x+1)2
    5.(2022•澄城县二模)二次函数y=(x﹣1)(x﹣a)(a为常数)图象的对称轴为直线x=2,将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位,使其经过点(0,﹣1),则k的值为(  )
    A.3 B.4 C.2 D.6
    6.(2022•崂山区一模)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,对称轴方程为x=﹣1,图象与x轴相交于点(1,0),则方程cx2+bx+a=0的根为(  )

    A.x1=1,x2=﹣3 B.x1=﹣1,x2=3 C.x1=1,x2 D.x1=﹣1,x2
    7.(2022•莱芜区一模)将抛物线y=﹣(x+1)2的图象位于直线y=﹣4以下的部分向上翻折,得到如图所示的图象,若直线y=x+m与图象只有四个交点,则m的取值范围是(  )

    A.﹣1<m<1 B.1<m C.﹣1<m D.﹣1<m
    二.填空题(共4小题)
    8.(2022•河源模拟)抛物线y=2x2﹣3向右平移1个单位,再向上平移2个单位,平移后的抛物线的顶点坐标是    .
    9.(2022•金平区校级模拟)平移抛物线y=2x2,使其顶点为(2,3),平移后的抛物线是    .
    10.(2022•福州模拟)将抛物线y=x2沿直线y=3x方向移动个单位长度,若移动后抛物线的顶点在第一象限,则移动后抛物线的解析式是    .


    11.(2022•建邺区一模)如图,“爱心”图案是由函数y=﹣x2+6的部分图象与其关于直线y=x的对称图形组成.点A是直线y=x上方“爱心”图案上的任意一点,点B是其对称点.若,则点A的坐标是    .

    三.解答题(共8小题)
    12.(2022•宁波模拟)如图,二次函数y=(x+1)(x+a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=1.
    (1)求a的值.
    (2)向上平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.






    13.(2022•西峡县一模)如图,直线y=﹣2x﹣4与x轴交于点A,抛物线y=ax2+4x+2a+1经过点(1,8),与x轴的一个交点为B(B在A的左侧),过点B作BC垂直x轴交直线于C.
    (1)求a的值及点B的坐标;
    (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°,点B、C的对应点分别为点E、F.将抛物线y=ax2+4x+2a+1沿x轴向右平移使它过点F,求平移后所得抛物线的解析式.




    14.(2022•兴平市模拟)已知抛物线C1:y=ax2x+c的顶点为D(1,),抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,且抛物线C2与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
    (1)求AC的长;
    (2)点P是位于AC下方的抛物线C2上一点,过点P的直线l∥AC,是否存在点P,使得直线l被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.









    15.(2022•吴兴区一模)如图已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,﹣1),点C(0,﹣4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交二次函数y=x2+bx+c的图象于点B,连接BC.
    (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标:
    (2)若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
    (3)若E为y轴上且位于点C下方的一点,P为直线AC上一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q,使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的横坐标:若不存在,请说明理由.











    16.(2022•如东县一模)定义:若两个函数的图象关于某一点P中心对称,则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”.例如,函数y=x2与y=﹣x2关于原点O互为“伴随函数”.
    (1)函数y=x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为    ,函数y=(x﹣2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为    ;
    (2)已知函数y=x2﹣2x与函数G关于点P(m,3)互为“伴随函数”.若当m<x<7时,函数y=x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大,求m的取值范围;
    (3)已知点A(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)与函数N关于点C互为“伴随函数”,将二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)与函数N的图象组成的图形记为W,若图形W与线段AB恰有2个公共点,直接写出a的取值范围.








    17.(2022•深圳模拟)如图,已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,﹣4),B(4,0).
    (1)求b,c的值;
    (2)连结AB,交抛物线L的对称轴于点M.
    ①求点M的坐标;
    ②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L1.过点M作MN∥y轴,交抛物线L1于点N.P是抛物线L1上一点,横坐标为﹣1,过点P作PE∥x轴,交抛物线L于点E,点E在抛物线L对称轴的右侧.若PE+MN,求m的值.








    18.(2022•德城区一模)已知:抛物线C1:y1=﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点,点A在点B左侧,将C1绕点A旋转180°得到C2:y2=ax2+bx+c交x轴于点N.
    (1)求C2的解析式;
    (2)求证:无论x取何值恒y1≤y2;
    (3)当﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c时,求m和n的值.
    (4)直线l:y=kx﹣2经过点N,D是抛物线C2上第二象限内的一点,设D的横坐标为q,作直线AD交抛物线C1于点M,交直线l于点E,若DM=2ED,求q值.























    【巩固复习】
    一.选择题
    1.(2021秋•信都区期末)怎么样才能由y=2x2的图象经过平移得到函数y=2(x﹣6)2+7的图象呢?
    小亮说:先向左平移6个单位长度,再向上平移7个单位长度;
    小丽说:先向上平移7个单位长度,再向右平移6个单位长度.
    对于上述两种说法,正确的是(  )
    A.小亮对 B.小丽对 C.小亮、小丽都对 D.小亮、小丽都不对
    2.(2021秋•奉贤区期末)从图形运动的角度研究抛物线,有利于我们认识新的抛物线的特征.如果将抛物线y=x2+2绕着原点旋转180°,那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系,下列法正确的是(  )
    A.它们的开口方向相同 B.它们的对称轴相同 C.它们的变化情况相同 D.它们的顶点坐标相同
    3.(2021秋•伊通县期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(﹣2,0),对称轴为直线x=2,其部分图象如图所示,则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(  )

    A.(4,0) B.(6,0) C.(8,0) D.(10,0)
    4.(2021秋•沭阳县校级期末)将抛物线y=x2﹣6x绕原点旋转180度,则旋转后的抛物线解析式为(  )
    A.y=(x﹣3)2+9 B.y=(x+3)2+9 C.y=﹣(x+3)2+9 D.y=﹣(x﹣3)2+9
    二.填空题(共4小题)
    5.(2021秋•亳州期末)抛物线y=﹣(x+2)2关于y轴对称的抛物线的表达式为    .
    6.(2022•高青县一模)将抛物线y=x2+1沿x轴向下翻折,则得到的新抛物线的解析式为    .
    7.(2022春•南岗区校级月考)将抛物线y=(x﹣1)2﹣2向右平移1个单位,所得抛物线的顶点坐标是    .
    8.(2021秋•余姚市期末)平移二次函数的图象,如果有一个点既在平移前的函数图象上,又在平移后的函数图象上,我们把这个点叫做“关联点”.现将二次函数y=x2+2x+c(c为常数)的图象向右平移得到新的抛物线,若“关联点”为(1,2),则新抛物线的函数表达式为    .
    三.解答题(共4小题)
    9.(2022•西峡县一模)如图,直线y=﹣2x﹣4与x轴交于点A,抛物线y=ax2+4x+2a+1经过点(1,8),与x轴的一个交点为B(B在A的左侧),过点B作BC垂直x轴交直线于C.
    (1)求a的值及点B的坐标;
    (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°,点B、C的对应点分别为点E、F.将抛物线y=ax2+4x+2a+1沿x轴向右平移使它过点F,求平移后所得抛物线的解析式.


    10.(2022•兴平市模拟)已知抛物线C1:y=ax2x+c的顶点为D(1,),抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,且抛物线C2与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
    (1)求AC的长;
    (2)点P是位于AC下方的抛物线C2上一点,过点P的直线l∥AC,是否存在点P,使得直线l被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.












    12.(2022•如东县一模)定义:若两个函数的图象关于某一点P中心对称,则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”.例如,函数y=x2与y=﹣x2关于原点O互为“伴随函数”.
    (1)函数y=x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为    ,函数y=(x﹣2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为    ;
    (2)已知函数y=x2﹣2x与函数G关于点P(m,3)互为“伴随函数”.若当m<x<7时,函数y=x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大,求m的取值范围;
    (3)已知点A(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)与函数N关于点C互为“伴随函数”,将二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)与函数N的图象组成的图形记为W,若图形W与线段AB恰有2个公共点,直接写出a的取值范围.












    第5讲 二次函数中等腰三角形的存在性
    【知识梳理】
    1、知识内容:
    在用字母表示某条线段的长度时,常用的方法有但不仅限于以下几种:
    (1)勾股定理:找到直角三角形,利用两边的长度表示出第三边;
    (2)全等或相似:通过相似,将未知边与已知边建立起联系,进而表示出未知边
    (3)两点间距离公式:设、,则A、B两点间的距离为:

    (4)两圆一中垂
    2、解题思路:
    利用几何或代数的手段,表示出三角形的三边对应的函数式;
    根据条件分情况进行讨论,排除不可能的情况,将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)
    解出方程,并代回原题中进行检验,舍去增根.
    注:用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单,但对几何能力的要求较高,用勾股定理则反之.

    【核心考点精讲】
    1.已知,一条抛物线的顶点为E(,4),且过点A(,0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点,它的横坐标为m,且,过点D作轴,垂足为K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.
    (1)求这条抛物线的解析式;
    (2)求证:GH = HK;
    (3)当是等腰三角形时,求m的值.








    2.(2022•潍城区一模)如图①,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过菱形ABCD的顶点A,B,D,且AB=5,点D的坐标为(0,4),延长CD交抛物线于另一点E,连接BE,交AD于点F.
    (1)求二次函数的表达式;
    (2)求△BDF的面积;
    (3)如图②,直线l是二次函数图象的对称轴,若P为l上一点,且P,D,B三点构成以BD为底的等腰三角形,求点P的坐标.

























    【巩固复习】
    一.解答题
    1.(2022春•碑林区校级期中)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点
    C(0,﹣3).
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)点D是抛物线上一点,且∠DBC的角平分线在x轴上,点M是y轴上一点,若△ADM是以AD为腰的等腰三角形,求出点M的坐标.




















    2.(2022•渝中区校级模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、点B(1,0),与y轴交于点C,直线y=x+3过点A和点C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)P点是位于直线AC上方抛物线上的动点,过P点作x轴的垂线,分别与x轴、AC交于点D、点E,过点DF∥BC交AC于点F,求PECF+6的最大值及此时P点的坐标;
    (3)在(2)问取得最大值的情况下,将点P沿y轴向下平移个单位长度得到点p′,将抛物线y=ax2+bx+3沿着x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y′,将直线y=x+3沿着x轴向右平移9个单位长度得到直线y″.设抛物线y′与直线y″的交点为M点、N点(M点在N点的左边),在y轴上是否存在点Q,使得△P′QN是以P′N为腰的等腰三角形.若存在,请直接写出点Q的坐标.





















    3.(2022•达拉特旗一模)如图,已知抛物线y=x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
    (1)求A、B、C三点的坐标;
    (2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状,并说明理由;
    (3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.


























    4.(2022•黔东南州一模)抛物线y=ax2+bx经过点(1,﹣1),现将一块等腰直角三角板ABC(∠ACB=90°)按照如图的方式放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A、C坐标分别为(0,2)、(﹣1,0).B点在抛物线y=ax2+bx图象上.
    (1)求点B的坐标:
    (2)求抛物的解析式;
    (3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
























    5.(2022春•浦东新区校级期中)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过P(3,0)和Q(1,4).
    (1)求这条抛物线的表达式;
    (2)已知点A在第一象限,且在直线PQ上,过A作AB上x轴的垂线,垂足为点B,在AB的左侧,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,
    ①当点A与点Q重合时,如图所示,求点C到这条抛物线对称轴的距离;
    ②如果点C在这条抛物线上,求点C的坐标.
























    6.(2022•武城县模拟)已知:如图,抛物线y=ax2﹣4ax+c与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1,x2满足2x1+x2=5,与y轴正半轴交于点C,且OB=OC.
    (1)求此抛物线的解析式,直接写出抛物线的顶点D的坐标;
    (2)连接AD、BD,若把△ABD绕点B顺时针旋转90°,点D到达点D1,D1是否落在直线BC上,并说明理由;
    (3)若把抛物线y=ax2﹣4ax+c向上平移个单位,再向右平移n个单位,若平移后抛物线的顶点仍在△BOC内部,求n的取值范围;
    (4)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使以A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形,如果存在,请写出点P的坐标,若不存在请说明理由.























    7.(2022•兴宁区校级模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、B,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=﹣x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,且.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点M(t,0)是x轴上的一个动点,点N是抛物线对称轴上的一个动点,当DN=2t,△MNB的面积为时,求出点M与点N的坐标;
    (3)在x轴上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
























    第6讲 二次函数中直角三角形的存在性
    【知识梳理】
    1、知识内容:
    在以函数为背景的此类压轴题中,坐标轴作为一个“天然”的直角存在,在解题时经常会用到,作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外,较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形.
    2、解题思路:
    按三个角分别可能是直角的情况进行讨论;
    计算出相应的边长等信息;
    根据边长与已知点的坐标,计算出相应的点的坐标.

    【核心考点精讲】
    1.在平面直角坐标平面内,O为原点,二次函数的图像经过点A(,0)和点B(0,3),顶点为P.
    (1)求二次函数解析式及点P的坐标;
    (2)如果点Q是x轴上一点,以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形,求点Q的坐标.






















    2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过点A(,0)、B(4,0)、C(0,2).点D是点C关于原点的对称点,联结BD,点E是x轴上的一个动点,设点E的坐标为(m,0),过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P.
    (1)求这个二次函数的解析式;
    (2)当点E在线段OB上运动时,直线l交BD于点Q,当四边形CDQP是平行四边形时,求m的值;
    (3)是否存在点P,使是不以BD为斜边的直角三角形,如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
























    【巩固复习】
    一.解答题(共7小题)
    1.(2022•鞍山模拟)抛物线与坐标轴交于A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,4),连接AC、BC.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图1,点G是抛物线上第一象限内的一点,连接AG、CG、BG,AG与BC交于点H,当△BHG与△AHC的面积差为1时,求点G的坐标;
    (3)如图2,点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点,连接EC,点D是抛物线的对称轴上的一点,连接ED、CD,当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时,直接写出点E的横坐标.






















    2.(2022•齐齐哈尔一模)综合与探究
    如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣6与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=8,OA=3OB,点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.过点P作PE∥x轴,交直线AC于点E.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点,则BM+CM的最小值是    ;
    (3)求PE的最大值;
    (4)在抛物线的对称轴上找点N,使△ACN是以AC为斜边的直角三角形,请直接写出点N的坐标.
























    3.(2022•西安二模)如图,抛物线y=x2﹣mx﹣5与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且对称轴l为直线x=2.
    (1)求该抛物线的表达式.
    (2)在对称轴l上是否存在点P,使△CPB为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.




    4.(2022•无棣县一模)在平面直角坐标系中,点A、B,C的坐标分别为(0,8),(﹣2,0),(4,0).
    (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式及该抛物线的对称轴和顶点坐标;
    (2)设点P(m,t)是(1)中所求抛物线对称轴上的一点,求直线BP的解析式及BP与抛物线的另一交点Q的坐标(用含t的式子表示);
    (3)当t为何值时,?
    (4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.












    5.(2022•龙泉驿区模拟)如图,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx的两个交点A,B关于原点对称,则称线段AB为抛物线的“对称弦”,该直线为抛物线的“对称弦直线”.已知抛物线y=ax2+bx﹣4a交y轴于点C(0,﹣4),与其“对称弦直线”y=kx交于点A,B.
    (1)若该抛物线的“对称弦直线”为y=2x,求抛物线的函数解析式;
    (2)在(1)的条件下,点P为抛物线上A点右侧一点,连接CP交AB于点E,连接BP,BC,当S△BPE=S△BCE时,求P点坐标;
    (3)当该抛物线对称轴在y轴左侧时,抛物线上是否存在点H,使得△ABH是以“对称弦”AB为斜边的等腰直角三角形,若存在,请求出此时抛物线解析式;若不存在,请说明理由.
























    6.(2022•双流区模拟)如图,抛物线C:y=ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),已知点B的横坐标是2,抛物线C的顶点为D.
    (1)求a的值及顶点D的坐标;
    (2)点P是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1,记抛物线C1的顶点为E,抛物线C1与x轴的交点为F,G(点F在点G的右侧).当点P与点B重合时(如图1),求抛物线C1的表达式;
    (3)如图2,在(2)的条件下,从A,B,D中任取一点,E,F,G中任取两点,若以取出的三点为顶点能构成直角三角形,我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”.当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时,求点P的坐标.























    第7讲 二次函数中平行四边形的存在性
    【知识梳理】
    类型一:已知三点的平行四边形问题
    1、知识内容:
    已知三点后,其实已经固定了一个三角形(平行四边形的一半),如图.第四个点M则有3种取法,过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可(如图中3个M点).

    2、解题思路:
    (1) 根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
    (2) 用一点及其对边两点的关系,求出一个可能点;
    (3) 更换顶点,求出所有可能的点;
    (4) 根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.

    类型二:存在动边的平行四边形问题
    1、 知识内容:
    在此类问题中,往往是已知一条边,而它的对边为动边,需要利用这组对边平行且相等列出方程,进而解出相关数值.更复杂的有,一组对边的两条边长均为变量,需要分别表示后才可列出方程进行求解.
    2、 解题思路:
    (1) 找到或设出一定平行的两条边(一组对边);
    (2) 分别求出这组对边的值或函数表达式;
    (3) 列出方程并求解;
    (4) 返回题面,验证求得结果.








    【核心考点精讲】
    1.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
    (1)求此抛物线的解析式;
    (2)点P为抛物线上的一个动点,求使的点P的坐标;
    (3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的
    坐标.























    2.如图,抛物线与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交
    直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m.
    ①当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含m的
    代数式表示线段PM的长度;
    ②联结CM、BN,当m为何值时,四边形BCMN为平行四边形?























    3.如图,已知抛物线经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求tan∠ABO的值;
    (3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.


























    4.已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数的图像与y轴交于点A,点M在正比例函数的图像上,且MO = MA.二次函数的图像经过点A、M.
    (1)求线段AM的长;
    (2)求这个二次函数的解析式;
    (3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图像上,点D在一次函数的图像上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.





















    5.在平面直角坐标系xOy中,经过点A(,0)的抛物线与y轴交于点C,点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称.
    (1)求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角;
    (2)如果点E是抛物线上的一动点,过E作EF平行于x轴交直线AD于点F,且F在E的右边,过点E作EG⊥AD于点G,设E的横坐标为m,的周长为l,试用m表示l;
    (3)点M是该抛物线的顶点,点P是y轴上一点,Q是坐标平面内一点,如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形,求该矩形的顶点Q的坐标.
























    【巩固复习】
    一.解答题
    1.(2022•平遥县一模)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A,B在x轴上,抛物线y=x2+bx+c经过点B,D(﹣4,5)两点,且与直线DC交于一点E.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点P为y轴上一点,探究EP+PB是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点P的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)若点F为抛物线对称轴上一点,点Q为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.




















    2.(2022•重庆模拟)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过A(0,),B(4,).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB,垂足为D,PE∥x轴,交AB于点E.

    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)当△PDE的周长取得最大值时,求点P的坐标和△PDE周长的最大值;
    (3)把抛物线y=x2+bx+c平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点,N是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标,并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.
























    3.(2022•新田县一模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点.
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称,直线AN交抛物线于点D,点E为抛物线在直线AD下方的一个动点,连接AE、DE,问:△ADE的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值和点E的坐标.若不存在,请说明理由.
    (3)P为抛物线上的一动点,Q为对称轴上一动点,若以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点P的坐标(至少写两个).























    4.(2022•连云港一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.
    (1)求b和c的值;
    (2)当GF时,连接BD,求△BDF的面积;
    (3)H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标.























    5.(2022•长安区二模)如图,已知二次函数yx2x+2的图象交x轴于A、B两点(点A在点B右侧),与y轴交于点C.
    (1)求点A、B、C的坐标;
    (2)D、E为直线AC上两点(点D在点E右侧),且DE,分别过点D、E作y轴的平行线,交二次函数的图象于P、Q两点,当以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的横坐标.



























    6.(2022•天津一模)已知抛物线yx2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点P是抛物线上的一个动点.
    (Ⅰ)求抛物线的解析式;
    (Ⅱ)若点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM与直线BC交于点D.若点P,D,M三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)时,请求出符合条件的m值;
    (Ⅲ)若抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,点Q是对称轴上一个动点,当以E,F,P,Q顶点的四边形是平行四边形时,求点P,Q的坐标(直接写出结果即可).































    7.(2022•宜兴市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣x+c(a,c为常数)与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C,点D在线段BC上,且.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若P为第四象限内该抛物线上一动点,求△BDP面积的最大值;
    (3)M是抛物线对称轴上一点,N在抛物线上,直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标,并把其中一个求N坐标的过程写出来.























    8.(2022•吕梁模拟)综合与探究
    如图,抛物线y=ax2+bx﹣6经过点A(﹣2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,点P是抛物线上一个动点,设点P的横坐标为m(0<m<6),连接AC,BD,PB,PD.
    (1)分别求出抛物线与直线BD的函数表达式;
    (2)当S△BDPS△AOC时,求m的值;
    (3)若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.






















    9.(2022•新都区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)连接BC,在x轴上求作一点D,使DB+CD有最小值,求出此时∠BCD的度数和点D的坐标;
    (3)M为线段BC中点,E为抛物线上一点,将点E绕着点M旋转180°后得点N,当四边形BECN为菱形时,求N点坐标.




















    第8讲 二次函数中面积的存在性问题
    【知识梳理】
    类型一:固定面积的存在性问题
    固定面积的存在性问题最为简单,在待求图形中,往往只有一个是变量,此时只需通过方程将其解出即可.
    类型二:有关面积比的存在性问题
    有些问题是关于两个未知面积比的,此类问题的难度稍大.一般都需要先通过公共边或公共高,将面积比转化为线段之比,从而进一步列出方程解决问题.
    解题思路:
    根据题目条件,求出相应的固定面积;
    找到待求图形合适的底和高;
    列出方程,解出相应变量;
    根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.

    【核心考点精讲】
    1.如图,二次函数的图像过点A(,0)、B(0,6),对称轴为直线,顶点为C,点B关于直线的对称点为D.
    (1)求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标;
    (2)联结AB、BC、CD、DA,点E在线段AB上,联结DE,若DE平分四边形ABCD的面积,求AE的长;
    (3)在二次函数的图像上是否存在点P,能够使?如果存在,请求出点 P的坐标;如果不
    存在,请说明理由.














    2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,它的对称轴与x轴交于点C,且,AC = 3.
    (1)求此抛物线的表达式;
    (2)如果点D在此抛物线上,DF⊥OA,垂足为F,DF与线段AB相交于点G, 且,求点D的坐标.








    3.抛物线与x轴交于A、B两点,顶点M的坐标为(1,).
    (1)求A、B两点的坐标;
    (2)设直线AM与y轴交于点C,求的面积;
    (3)在抛物线上是否还存在点P,使得S△PMB = S△BCM,如存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.










    4.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
    (1)求此抛物线的解析式;
    (2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC : S△ACD = 5 : 4的点P的坐标;
    (3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标.



























    5.如图,已知抛物线的顶点A在第四象限,过点A作AB⊥y轴于点B,C是线段AB上一点(不与A、B重合),过点C作CD⊥x轴于点D,并交抛物线于点P.
    (1)若点C的横坐标为1,且是线段AB的中点,求点P的坐标;
    (2)若直线AP交y轴负半轴于点E,且AC = CP,求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式,并写出定义域;
    (3)在(2)的条件下,当的面积等于2S时 ,求t的值.

























    【巩固复习】
    一.解答题
    1.(2022•吴中区模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的左侧)与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点且横坐标为1,点C的坐标为(0,3),P为线段MB上一个动点.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)过点P作PD⊥x轴于点D.若PD=m,△PCD的面积为s,求s与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
    (3)是否存在点P满足DC=PC,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.






    2.(2022•河源模拟)如图1,过原点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为A(3,3),与x轴的另一交点记为B,在x轴上有一定点C(,0),抛物线上有一动点P在A、B之间运动,过点p且平行于x轴的直线交OA于点D,交AC于点E,AP的延长线交x轴于点F.
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)连接PC,当PC∥OA时,求点P的坐标.
    (3)如图2,在第(2)问的条件下,抛物线上有一动点Q在O、A之间运动,过点Q且平行于x轴的直线把△OAP分割为两部分,当这两部分的面积比为1:3时,直接写出点Q的纵坐标.








    3.(2022•常州一模)在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3).连接OM,作CD∥OM交AM的延长线于点D.
    (1)求抛物线对应的二次函数表达式;
    (2)求点D的坐标;
    (3)直线AM上是否存在点P,使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1:2?如果存在请求出点P的坐标,如果不存在请说明理由.



























    4.(2022•蓬安县模拟)如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知点A的横坐标为﹣1,点C的纵坐标为3.
    (1)求该抛物线的解析式,并写出其对称轴直线;
    (2)设点P是抛物线对称轴上一点,连接PA,将线段PA绕点P顺时针旋转90°,点A的对应点为D,若点D恰好落在该抛物线上,求点P的坐标;
    (3)如图2,连接CB,若点Q是直线BC上方抛物线上一点,点M为y轴上一点,当△QBC面积最大时,求QMOM的最小值.























    5.(2022•惠城区一模)已知抛物线y=ax2x+c与x轴相交于点A(﹣1,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P是抛物线上一动点,且始终位于直线BC上方,求△CPB的面积最大时点P的坐标;
    (3)若M是抛物线上一点,且∠MCB=∠ABC,请直接写出点M的坐标.









    6.(2022•和平区二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0),经过A(﹣1,0)和B(3,0)两点,点C(0,﹣3),连接BC,点Q为线段BC上的动点.
    (Ⅰ)若抛物线经过点C;
    ①求抛物线的解析式和顶点坐标;
    ②连接AC,过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P,连接PA,PB,AQ,△PAQ与△PBQ面积记为S1,S2,若S=S1+S2,当S最大时,求点P坐标;
    (Ⅱ)若抛物线与y轴交点为点H,线段AB上有一个动点G,AG=BQ,连接HG,AQ,当AQ+HG最小值为时,求抛物线解析式.

















    7.(2022•宜兴市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣x+c(a,c为常数)与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C,点D在线段BC上,且.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若P为第四象限内该抛物线上一动点,求△BDP面积的最大值;
    (3)M是抛物线对称轴上一点,N在抛物线上,直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标,并把其中一个求N坐标的过程写出来.























    8.(2022•滨城区一模)在平面直角坐标系中,过点A(3,4)的抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(﹣1,0),与y轴交于点C,过点A作AD⊥x轴于点D.
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)如图1,点P是直线AB上方抛物线上的一个动点,连接PD交AB于点Q,连接AP,当S△AQD=4S△APQ时,求点P的坐标.
    (3)如图2,点G是线段OC上一个动点,连结DG,求DGCG最小值.
























    第9讲 图形的旋转
    【知识梳理】
    一.生活中的旋转现象
    (1)旋转的定义:在平面内,把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做对应点.
    (2)注意:
    ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换,因而旋转一定有旋转中心和旋转角,且旋转前后图形能够重合,这时判断旋转的关键.
    ②旋转中心是点而不是线,旋转必须指出旋转方向.
     ③旋转的范围是平面内的旋转,否则有可能旋转成立体图形,因而要注意此点. .
    二.旋转的性质
    (1)旋转的性质:
    ①对应点到旋转中心的距离相等. 
    ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 
    ③旋转前、后的图形全等.
    (2)旋转三要素:①旋转中心; ②旋转方向; ③旋转角度.
    注意:三要素中只要任意改变一个,图形就会不一样.
    1.旋转对称图形
    (1)旋转对称图形
    如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形.
    (2)常见的旋转对称图形有:线段,正多边形,平行四边形,圆等.
    2.坐标与图形变化-旋转
    (1)关于原点对称的点的坐标: P(x,y)⇒P(﹣x,﹣y)
    (2)旋转图形的坐标
    图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.
    【核心考点精讲】
    一.生活中的旋转现象
    1.(2022春•长清区期中)以下生活现象中,属于旋转变换得是(  )
    A.钟表的指针和钟摆的运动 B.站在电梯上的人的运动
    C.坐在火车上睡觉 D.地下水位线逐年下降
    2.(2021秋•杜尔伯特县期末)时针从数字“9”到“12”按    时针方向旋转了90°.
    3.(2021秋•莱州市期末)小明对小亮说:“你将这4张扑克牌任意抽取一张,将其旋转180°后放回原处,我能猜出你旋转的那一张”,小亮在小明不看的情况下,抽取一张旋转后放回原处.小明很快猜出了被旋转的那张扑克牌.

    小亮旋转的那张扑克牌的牌面数字是    .
    二.旋转的性质
    4.(2022春•秦淮区期中)如图,△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△AEF,若∠EAF=30°,则∠α=   °.

    5.(2022•雁塔区校级模拟)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE,若∠E=65°且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为(  )

    A.65° B.70° C.75° D.80°
    6.(2022春•连江县期中)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A'B'CO的一个顶点,而且这两个正方形的边长都等于4,将正方形A'B'CO绕点O旋转,在这个过程中,请探究:
    (1)正方形ABCD的边落在∠A'OC内的线段长的和(即EB+BF的长)是否发生变化?为什么?
    (2)两个正方形重叠部分的面积(即四边形OEBF的面积)是否发生变化?为什么?若设AE=x,△EOF的面积为y,试用含x的代数式表示y.















    7.(2022春•台江区校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°中,把Rt△ACB绕点B顺时针旋转得到Rt△BDE,连接CD并延长交AE于点F.
    (1)求证:∠CBD=2∠EDF;
    (2)若CD=EF,求∠BAC的度数.







    8.(2022春•莲湖区期中)如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′刚好落在BC边上,且AB′=CB′,若∠C=16°,求旋转角的度数.

    三.旋转对称图形
    9.(2021秋•上城区期末)如果规定:在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,就称此图形为旋转对称图形,旋转的角度称为旋转角.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是(  )
    A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形
    10.(2022春•梁溪区期中)要使正十二边形旋转后与自身重合,至少应将它绕中心旋转的度数为    .
    11.(2021秋•无为市期中)正三角形绕其中心旋转一定角度后,与自身重合,旋转角至少为    .









    四.坐标与图形变化-旋转
    12.(2021秋•章贡区期末)如图,△AOB中,OA=4,OB=6,,将△AOB绕原点O顺时针旋转90°,则旋转后点A的对应点A'的坐标是    .

    13.(2021秋•广饶县期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰Rt△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°并将两直角边延长,得到等腰Rt△A1OB1,且使A1O=2AO,再将Rt△A1OB1绕点O顺时针旋转90°,并将两直角边延长,得到等腰Rt△A2OB2,且使A2O=2A1O,…,依此规律,得到等Rt△A2022OB2022,则点A2022的坐标为    .

    14.(2021秋•巴彦县期末)在平面直角坐标系中,将点P(﹣3,2)绕点O(0,0)顺时针旋转90°,所得到的对应点P′的坐标为   .
    15.(2021秋•宜城市期中)在正方形网格中,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标(4,4),若将△ABC绕点O逆时针旋转180°,画出旋转后的△A1B1C1,则点A1坐标为    ,B1坐标为    ,C1坐标为    .









    16.(2021秋•诸暨市月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),点C是y轴上的动点,线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB,连接BO,设点C的纵坐标为m.
    (1)求点B的坐标(用含m的式子表示);
    (2)求线段BO长度的最小值.






    【巩固复习】
    一.选择题(共7小题)
    1.(2022春•漳州)如图,△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置,已知∠AOB=35°,则∠AOD等于(  )

    A.35° B.40° C.75° D.35°
    2.(2022春•介休市期中)如图,方格纸中的△ABC经过变换,可以得到△A1B1C1,则正确的变换方法是(  )

    A.将△ABC向右平移5格 B.将△ABC向右平移5格,再向下平移4格
    C.将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后,再向下平移3格
    D.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后,再向下平移3格
    3.(2021秋•平舆县期末)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若α=24°,则∠1的度数为(  )

    A.116° B.114° C.112° D.66°
    4.(2022春•海安市校级月考)以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q的坐标为(  )
    A.(﹣4,5) B.(4,﹣5) C.(﹣5,4) D.(5,﹣4)
    5.(2021秋•阳东区期末)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2020的坐标为(  )

    A.(﹣1,1) B. C.(﹣1,﹣1) D.
    6.(2021秋•龙沙区期末)如图,将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中,A点坐标(1,0),将△OAB绕点O逆时针旋转60°,则旋转后点B的对应点B′的坐标为(  )

    A.(,) B.(﹣1,) C.(,) D.(,)
    7.(2022春•郑州期中)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC上一点(点D不与点B,点C重合),将AC绕点A顺时针旋转至AC1,AC1交BC于点H,且AD平分∠CAC1,若DC1∥AB,则点B到线段AD的距离为(  )

    A.2 B. C.4 D.3
    二.填空题(共8小题)
    8.(2022春•大埔县期中)如图,将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C'.若∠A=40°,∠B'=110°,则∠BCA'的度数是    .


    9.(2022春•兴化市期中)如图,在△ABC中,∠C=67°,将△ABC绕点A顺时针旋转后,得到△ADE,当点E恰好在边BC上时,∠DEB的度数为    °.

    10.(2022•青神县模拟)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点C,若BG=3,CG=2,则CE的长为   .

    11.(2022•嘉祥县一模)如图,平面直角坐标系中,点B在第一象限,点A在x轴的正半轴上,∠AOB=∠B=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是   .


    12.(2022春•顺德区期中)如图,△ABC为等边三角形,AB=4,AD⊥BC,点E为线段AD上的动点,连接CE,以CE为边在下方作等边△CEF,连接DF,则线段DF的最小值为   .

    13.(2022春•简阳市期中)如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的有   (写出序号).


    14.(2021秋•瓦房店市)在平面直角坐标系中,点A(﹣3,1)绕原点逆时针旋转90°,得到的点A′的坐标是   .
    15.(2021秋•海淀区校级期末)如图,已知△ABC是等边三角形,AB=3,点D在AC上,AD=2CD,点E在BC的延长线上,将线段DE绕D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF,若AF∥BE,则AF的长是    .


    三.解答题(共7小题)
    16.(2021秋•尧都区期末)如图:△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE,其中∠B=50°,∠C=60°.
    (1)若AD平分∠BAC时,求∠BAD的度数.
    (2)若AC⊥DE时,AC与DE交于点F,求旋转角的度数.





    17.(2021秋•诸暨市期中)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BP=BQ,连结CQ.
    (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并说明理由.
    (2)若PA=PC=1,PB,求证:PC⊥CQ.




    18.(2021秋•乐昌市期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC,点D恰好在AB上.
    (1)若AC=4,求DE的值;
    (2)确定△ACD的形状,并说明理由.








    19.(2020秋•饶平县校级期末)如图,已知△ABC是等边三角形,在△ABC外有一点D,连接AD,BD,CD,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE,AD与BE交于点F,∠BFD=97°.
    (1)求∠ADC的大小;
    (2)若∠BDC=7°,BD=3,CD=5,求AD的长.












    20.(2021•千山区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,AD是BC边上的中线,延长AD到点E,将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF,连接CE、CF.求证:CE=CF.








    21.(2020秋•饶平县校级期末)如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.
    (1)求点O与O′的距离;
    (2)求∠AOB的度数.













    第10讲 中心对称
    【知识梳理】
    一.中心对称
    (1)中心对称的定义
    把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点..
    (2)中心对称的性质
    ①关于中心对称的两个图形能够完全重合;
    ②关于中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
    二.中心对称图形
    (1)定义
    把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
    注意:中心对称图形和中心对称不同,中心对称是两个图形之间的关系,而中心对称图形是指一个图形自身的特点,这点应注意区分,它们性质相同,应用方法相同.
    (2)常见的中心对称图形
    平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.
    三.关于原点对称的点的坐标
    关于原点对称的点的坐标特点
    (1)两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(﹣x,﹣y).
    (2)关于原点对称的点或图形属于中心对称,它是中心对称在平面直角坐标系中的应用,它具有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.
    注意:运用时要熟练掌握,可以不用图画和结合坐标系,只根据符号变化直接写出对应点的坐标.

    【核心考点精讲】
    一.中心对称
    1.(2022春•汉寿县期中)如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AB=3,AE=5,∠D=90°,则AC=   .

    2.(2022•肇源县一模)如图,△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的,则下列结论不成立的是
    (  )

    A.点A与点D是对应点 B.BO=EO
    C.∠ACB=∠FED D.AB∥DE

    3.(2022春•防城区期中)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,动点P从点A出发沿AB向点B移动,移动到点B停止,延长PO交CD于点Q,则四边形APCQ形状的变化依次为(  )

    A.平行四边形﹣正方形﹣平行四边形﹣矩形 B.平行四边形﹣菱形﹣平行四边形﹣矩形
    C.平行四边形﹣正方形﹣菱形﹣矩形 D.平行四边形﹣菱形﹣正方形﹣矩形
    4.(2022春•宜兴市校级月考)如图,在平面直角坐标系中,▱ABCO的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(4,6).若直线y=kx+3k将▱ABCO分割成面积相等的两部分,则k=   .

    5.(2021秋•武汉期末)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,求证:四边形ADCF是矩形.



    6.(2021春•玉林期中)如图,在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴、y轴上,若点B的坐标为(a,b),且,CB∥OA,OA=2a.
    (1)直接写出点A、B、C的坐标;
    (2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时停止运动,求此时P点的运动时间.



    二.中心对称图形
    7.(2022春•金东区期中)如图图案属于中心对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    8.(2022•无锡一模)请写出一个是轴对称,但不是中心对称的几何图形名称:   .
    9.(2021•东胜区三模)下列说法中正确的有    .(填序号)
    ①的算术平方根是5.
    ②十边形的内角和是1800°.
    ③若关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个实数根,则m的取值范围是m≥﹣1.
    ④观察下列单项式2x,﹣4x2,8x3,﹣16x4,…,则第7个单项式是128x7.
    ⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中,只有一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形.






    10.(2022春•香坊区校级)已知:BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.
    (1)如图1,求证:四边形ADEF是平行四边形;
    (2)如图2,若△ABC为等边三角形,在不添加辅助线的情况下,请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形.












    三.关于原点对称的点的坐标
    11.(2022春•漳州期中)在平面直角坐标系中,点A(﹣1,﹣2)与点B(1,b)关于原点对称,则b=   .
    12.(2022春•泰山区校级月考)在直角坐标系中,已知点A(2a,a﹣b+1),B(b,a+1)关于原点对称,则a,b的值是(  )
    A.,b=1 B.,b=﹣1 C.,b=﹣1 D.,b=1
    13.(2022•钟山县校级模拟)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(x,y),若规定以下两种变换:①f(x,y)=(y,x).如f(3,4)=(4,3);②g(x,y)=(﹣y,﹣x).如g(3,4)=(﹣4,﹣3).按照以上变换有:f(g(3,4))=(﹣3,﹣4),那么g(f(﹣4,5))等于(  )
    A.(5,﹣4) B.(﹣4,5) C.(4,﹣5) D.(﹣5,4)
    14.(2021秋•济宁期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,﹣2),点P是x轴上的一个动点.
    (1)A1,A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点,直接写出点A1,A2的坐标,并在图中描出点A1,A2.
    (2)求使△APO为等腰三角形的点P的坐标.

















    15.如图,在直角坐标平面内,横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点,顶点都是格点的三角形叫做格点三角形.已知格点A(﹣2,1)与点B关于y轴对称,点C与点B关于原点对称.
    (1)写出点B的坐标,点C的坐标,并在图中描出点B、C;
    (2)求△ABC的面积;
    (3)平面内有一格点D,若格点△ACD与△ABC全等,写出所有点D的坐标.












    【巩固复习】
    一.选择题(共3小题)
    1.(2022•江阴市校级一模)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    2.(2022春•港南区期中)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
    A.等边三角形 B.平行四边形 C.圆 D.五角星
    3.(2021秋•宣化区期末)已知点P(2a+1,a﹣1)关于原点对称的点在第一象限,则a的取值范围是(  )
    A.a或a>1 B.a C.a<1 D.a>1
    二.填空题
    4.(2021秋•番禺区期末)已知点A(a,1)与点B(5,b)是关于原点O的对称点,则a+b=   .
    5.(2022春•丹阳市期中)在平面直角坐标系中,已知点A(3,4),点A关于原点O的对称点为B,则AB的长为    .
    6.(2021秋•佛山校级月考)给出以下4个图形:①等边三角形,③平行四边形,③菱形,④正方形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是    .(填写序号)
    7.(2020秋•灵山县期末)已知点A(2,m﹣4),B(n+2,3)关于原点对称,则m+n=   .
    8.(2022春•泰兴市期中)如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=2,∠CAB=90°,则AE的长是    .


    三.解答题
    9.(2020春•定兴县期末)在平面直角坐标系中,已知点P(a,﹣1),请解答下列问题:
    (1)若点P在第三象限,则a的取值范围为   ;
    (2)若点P在y轴上,则a的值为   ;
    (3)当a=2时,点P关于y轴对称的点的坐标为   点P关于原点对称的点的坐标为   .




    10.(2021春•滦南县期中)如图.
    (1)在直角坐标系中,分别描出点A,B,C关于原点O的对称点A1,B1,C1,写出点A1,B1,C1的坐标,并分别依次连接点A,B,C和点A1,B1,C1.
    (2)描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系.
    (3)△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的?





    11.(2020春•郓城县期末)如图,将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E′位置,点B和点C重合.求证:四边形ACE′E是平行四边形.



    12.(2020•达州)如图,△ABC中,BC=2AB,D、E分别是边BC、AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度,得△AFE.
    (1)判断四边形ABDF的形状,并证明;
    (2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积S.





    13.(2020秋•濮阳县期中)(1)阅读理解:
    如图1,在△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,连接BE(或将△ACD绕着点D旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是    ,并写出过程;
    (2)问题解决:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF.






    第11讲 圆的有关性质
    考点1 圆的认识
    (1)圆的定义
    定义①:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以O点为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.
    定义②:圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
    (2)与圆有关的概念
    弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.
    连接圆上任意两点的线段叫弦,经过圆心的弦叫直径,圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
    (3)圆的基本性质:①轴对称性.②中心对称性.

    【例题1】 (2020秋•宜州区期末)下列4个说法中:①直径是弦;②弦是直径;③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴;④弧是半圆;正确的有  
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

    【例题2】 (2020秋•武安市期末)如图,是圆弦的是  

    A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
    【例题3】 (2020秋•雨花区月考)对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是  
    A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
    B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”的原理
    C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
    D.将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理

    考点2 垂径定理
    (1)垂径定理
    垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
    (2)垂径定理的推论
    推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
    推论3:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

    考点3 垂径定理的应用
    垂径定理的应用很广泛,常见的有:
    (1)得到推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    (2)垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一般使用列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

    【例题1】 (2021•南岗区模拟)如图,的直径垂直弦于点,且为半径的中点,若,则直径的长为  

    A. B.6 C. D.
    【例题2】 (2021•碑林区校级模拟)如图,经过圆心,于,若,,则所在圆的半径为  

    A.3 B.4 C. D.
    【例题3】 (2021•广州模拟)如图,拱桥可以近似地看作直径为的圆弧,桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面长度为,那么这些钢索中最长的一根的长度为  

    A. B. C. D.
    考点4 弧、弦、圆心角的关系
    (1)定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
    (2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
    说明:同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧.
    (3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
    三者关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性,即:圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.
    (4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,选择其有关部分.


    考点5 圆周角定理
    (1)圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
    注意:圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交,二者缺一不可.
    (2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
    推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
    (3)在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能技巧一定要掌握.
    (4)注意:①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角,在运用定理时不要忽略了这个条件,把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
    【例题1】 (2021•浦东新区模拟)下列四个命题:
    ①同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等; ②同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等;
    ③同圆或等圆中,相等的弦的弦心距相等; ④同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
    真命题的个数有  
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【例题2】 (2020秋•郁南县期末)如图,为半圆的直径,点、为的三等分点,若,则的度数是  

    A. B. C. D.

    【例题3】 (2021•泰安)如图,四边形是的内接四边形,,,,,则的长为  

    A. B. C. D.2
    【例题4】 (2021•南沙区一模)如图,四边形内接于,为延长线上一点.若,则的度数是  

    A. B. C. D.
    【巩固复习1】
    1. (2020秋•斗门区校级期中)下列说法中,不正确的是  
    A.直径是最长的弦 B.同圆中,所有的半径都相等
    C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D.长度相等的弧是等弧
    2. (2020秋•吴兴区期末)如图,中,,,,以点为圆心,为半径作圆,交的延长线于点,则长为  

    A.10 B.9 C. D.8
    3. (2020秋•荔湾区期末)“衢州有礼”已成为一块金名片,如图所示,在一块圆形宣传标志牌中,点,,在上,垂直平分于点,现测得,,则圆形标志牌的半径为  

    A. B. C. D.
    4. (2020秋•澧县期末)如图,在正方形网格中,一条圆弧经过、、三点,那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的  

    A. B. C. D.
    5. (2020秋•兰陵县期末)中,,,,以点为圆心,为半径的圆与、分别交于点、,则的长为  

    A. B. C. D.
    6. (2021•拱墅区二模)如图,破残的轮子上,弓形的弦为,高为,则这个轮子的半径长为  

    A. B. C. D.
    7. (2020秋•西林县期末)下列说法中,正确的是  
    A.等弦所对的弧相等 B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等
    C.圆心角相等,所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等
    8. (2020秋•道外区期末)下列图形中,为圆心角的是  
    A. B. C. D.
    9. (2021•西湖区校级二模)如图,的顶点、、均在上,若,则的大小是  

    A. B. C. D.
    10. 如图,是的直径,点,,在上,若,则的度数为  

    A. B. C. D.
    11. (2021•福州模拟)如图,是半圆的直径,是半圆上异于,的一点,为中点,延长交的延长线于点,若,则的度数是  

    A. B. C. D.
    12. (2021•平凉模拟)如图,是的直径,点,在上,若,则的大小为  

    A. B. C. D.
    13. 如图,是的直径,,是的弦,连接,若,则的度数是  

    A. B. C. D.
    14. 如图,四边形内接于,连接.若,,则的度数是  

    A. B. C. D.
    二.填空题(共8小题)
    15. (2021•开福区模拟)如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为  .

    16. (2016•宿迁)如图,在中,已知,,,以点为圆心,为半径的圆交于点,则的长为  .

    17. (2020•河池)如图,是的直径,点,,都在上,,则  .

    18. (2020•随州)如图,点,,在上,是的角平分线,若,则的度数为  .





    【巩固复习2】
    1. (2021•南平模拟)如图,四边形中,连接、,点为的中点,若,则下面结论不一定正确的是  

    A. B.
    C. D.点、、到点的距离相等
    2. (2021•锡山区)如图,在平面直角坐标系中,半径为2的与轴的正半轴交于点,点是上一动点,点为弦的中点,直线与轴、轴分别交于点、,则面积的最小值为  

    A.3.5 B.2.5 C.2 D.1.2
    3. (2021春•鼓楼区校级月考)若弦,是的两条平行弦,的半径为13,,,则,之间的距离为  
    A.7 B.17 C.5或12 D.7或17
    4. (2021•南岗区校级二模)如图,在圆内有折线,其中,,,则的长为  

    A.16 B.20 C.18 D.22
    5. (2021•拱墅区校级四模)如图,在中,,,,是上的一点,于点,以为直径作,当与的交点落在上时,的值为  

    A.3 B.4 C.5 D.6
    6. (2019•梧州)如图,在半径为的中,弦与交于点,,,,则的长是  

    A. B. C. D.
    7. (2019秋•仪征市期末)如图,的半径为6,的面积为18,点为弦上一动点,当长为整数时,点有  个.

    8. (2020秋•槐荫区期末)如图,以为圆心,半径为4的圆与轴交于、两点,与轴交于、两点,点为上任意一点,于,则线段的长度的最小值为  .

    9. (2019•杏花岭区校级三模)如图,矩形中,,,为射线上一动点,连接交以为直径的圆于点,则线段长度的最小值为  .










    第12讲 与圆有关的位置关系
    考点1、点与圆的位置关系
    (1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
    ①点P在圆外⇔d>r
    ②点P在圆上⇔d=r
    ①点P在圆内⇔d<r
    (2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
    (3)符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.

    【例题1】 平面直角坐标系中,的圆心在原点,半径为5,则点与的位置关系是  
    A.点在内 B.点在上 C.点在外 D.无法确定
    【例题2】 (2021•天河区一模)已知与点在同一平面内,如果的直径为6,线段的长为4,则下列说法正确的是  
    A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法判断点与的位置关系

    考点2、直线与圆的位置关系
    (1)直线和圆的三种位置关系:
    ①相离:一条直线和圆没有公共点.
    ②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.
    ③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.
    (2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
    ①直线l和⊙O相交⇔d<r
    ②直线l和⊙O相切⇔d=r
    ③直线l和⊙O相离⇔d>r.
    【例题1】 (2021•嘉兴)已知平面内有和点,,若半径为,线段,,则直线与的位置关系为  
    A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
    【例题2】 (2021•道外区三模)如图,、为的切线,、为切点,点为弧上一点,过点作的切线分别交、于、,若,则的周长等于  

    A.6 B.12 C.9 D.18



    【例题3】 (2020秋•九龙坡区校级期末)如图,为的直径,为圆上一点,过点的切线与直径的延长线交于点,若,则的度数为  

    A. B. C. D.
    【例题4】 (2021•九龙坡区模拟)如图,、是的切线,其中、为切点,点在上,,则等于  

    A. B. C. D.
    【例题5】 (2021春•瑞安市月考)如图,在中,,,以点为圆心,以为半径作.若与相切,则的长为  .

    A.3 B. C.6 D.





    【巩固复习】
    1. (2019秋•北仑区期末)下列四个结论,不正确的是  
    ①过三点可以作一个圆; ②圆内接四边形对角相等;
    ③平分弦的直径垂直于弦; ④相等的圆周角所对的弧也相等.
    A.②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
    2. (2021•平房区一模)如图,为的直径,过圆上一点作的切线,交的延长线于点,连接,若,则的度数为  

    A. B. C. D.
    3. (2021•新泰市模拟)如图,与相切于点,若,则的度数为  

    A. B. C. D.
    4. (2020秋•海珠区期末)如图,,,分别与相切于、、三点,且,,,则的长为  

    A. B. C. D.5
    5. (2020•西宁)如图,,与分别相切于点,,,,则  

    A. B.2 C. D.3
    6. (2020秋•虎林市期末)如图,、是的切线,切点分别是、,若,.则的半径是  .

    7. (2021•襄阳)点是的外心,若,则为   .
    8. (2021•包头)如图,在中,,以为直径的与相切于点,连接.若,则的周长为   .


    9. 如图,在矩形中,,,是上一点,,过点与交于点.
    (1)求弦的长.
    (2)求证:是的切线.




    10. (2021•崆峒区一模)如图,是的直径,交的中点于,.
    (1)求证:是的切线.
    (2)已知:,,求线段的长.




    11. 如图,以等边三角形的边为直径画圆,交于点,于点,连接,且.
    (1)求证:是的切线;
    (2)求线段的长度.







    第13讲 与圆的有关的计算
    考点1、正多边形与圆
    (1)正多边形与圆的关系
    把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
    (2)正多边形的有关概念
    ①中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.
    ②正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径.
    ③中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
    ④边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
    【例题1】 (2021•双流区模拟)如图,正五边形内接于,点为上一点(点与点,点不重合),连接,,,垂足为,则等于  

    A. B. C. D.
    【例题2】 (2021•成都模拟)如图,是正六边形的外接圆,点在上不与,重合),则的度数为  

    A.或 B.或 C. D.
    【例题3】 (2021•上海)六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,求中间正六边形的面积   .



    考点2、弧长的计算
    (1)圆周长公式:C=2πR
    (2)弧长公式:l=(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R)
    ①在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位.
    ②若圆心角的单位不全是度,则需要先化为度后再计算弧长.
    ③题设未标明精确度的,可以将弧长用π表示.
    ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧不一定是等弧,只有在同圆或等圆中,才有等弧的概念,才是三者的统一.

    考点3、扇形的面积计算
    (1)圆面积公式:S=πr2
    (2)扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
    (3)扇形面积计算公式:设圆心角是n°,圆的半径为R的扇形面积为S,则
    S扇形=πR2或S扇形=lR(其中l为扇形的弧长)
    (4)求阴影面积常用的方法:
    ①直接用公式法;②和差法;③割补法.
    (5)求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.
    【例题1】 (2021•南岗区校级一模)某扇形的圆心角为,其弧长为,则此扇形的面积是 
    A. B. C. D.
    【例题2】 (2020秋•福州期末)若的半径为2,则的圆心角所对的弧长是  .

    【例题3】 (2021•砀山县一模)如图,在中,,以为直径的,交于点,交于点.若劣弧的长为,则  .

    【例题4】 (2021•道外区三模)某扇形的圆心角为,面积为,该扇形的弧长为   .
    考点4、圆锥的计算
    (1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高.
    (2)圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
    (3)圆锥的侧面积:S侧=•2πr•l=πrl.
    (4)圆锥的全面积:S全=S底+S侧=πr2+πrl
    (5)圆锥的体积=×底面积×高
    注意:①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等.
    ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.
    【例题1】 (2021•瓯海区模拟)如图,已知扇形的半径为,圆心角的度数为,若将,重合后围成一圆锥侧面,那么圆锥的底面半径为  

    A. B. C. D.
    【例题2】 (2021•上城区二模)如图,在中,,,.把分别绕直线,和旋转一周,所得几何体的表面积分别记作,,,则表面积最大的是  

    A. B. C. D.无法确定

    【巩固复习】
    1. (2021•雁塔区校级模拟)如图,正方形内接于.点为上一点,连接、,若,,则的长为  

    A. B. C. D.
    2. (2020秋•滨海新区期末)如图,正六边形内接于,过点作边于点,若的半径为4,则边心距的长为  

    A. B. C.2 D.
    3. (2020秋•长春期末)如图,与正六边形的边、分别交于点、,点为劣弧的中点.若,则的半径为  

    A.2 B. C. D.
    4. (2021•凉山州模拟)西昌市“北环线“是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程,如图,其中公路弯道处是一段圆弧,点是这条弧所在圆的圆心,点是的中点,与相交于点.经测量,,那么这段弯道的半径为  

    A. B. C. D.
    5. (2021•庐阳区校级模拟)如图,中,,,以为直径的交于点,则的长为  

    A. B. C. D.
    6. (2021•上城区校级一模)如图,在矩形中,,,以点为圆心,长为半径画弧交边于点,连接,则的长为  

    A. B. C. D.


    7. (2020秋•元阳县期末)如图,四边形是的内接四边形,的半径为12,,则的长为  

    A. B. C. D.
    8. (2021春•未央区校级月考)如图,菱形的边长为2,且点,,在上,则的长度为  

    A. B. C. D.
    9. (2021•东莞市模拟)如图,在扇形中,为弦,,,,则的长为  

    A. B. C. D.
    10. (2020•漳州二模)如图,已知四边形的四个顶点在以为直径的半圆上,.若,则的长为  

    A. B. C. D.
    11. (2019秋•余姚市期末)如果一个扇形的半径是2,弧长是,则此扇形的圆心角的度数为  
    A. B. C. D.
    12. (2021•平房区三模)一个扇形的半径为,面积为,则此扇形的圆心角为  
    A. B. C. D.
    13. (2021•南岗区校级一模)某扇形的圆心角为,其弧长为,则此扇形的面积是  
    A. B. C. D.
    14. (2021•富阳区二模)已知圆心角为的扇形面积为,则扇形的弧长为  
    A.4 B.2 C. D.
    15. (2021•江阴市模拟)圆锥的高是,其底面圆半径为,则它的侧面展开图的面积为  
    A. B. C. D.
    16. (2021•海安市二模)如图,圆锥的底面半径为3,母线长为5,则侧面积为  

    A. B. C. D.
    17. (2020秋•禹城市期末)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径,扇形的圆心角,则该圆锥的母线长为  .

    A.1 B.12 C.3 D.6
    18. (2020秋•南沙区期末)如图,从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形,如果剪出来的扇形围成一个圆锥,那么围成的圆锥的高是  

    A. B. C. D.
    19. (2021•河口区校级模拟)如图,圆锥的底面半径,高,则这个圆锥的侧面积是  

    A. B. C. D.

    二.填空题(共21小题)
    20. (2021•南岗区校级模拟)已知一个扇形的面积是,圆心角为,则此扇形的弧长为   .
    21. (2021•南岗区校级二模)一个扇形的弧长是,面积是,则此扇形的圆心角为   度.
    22. (2021•道里区三模)一个扇形所在圆的半径为3,扇形的面积是,则该扇形的圆心角为   度.

    23. (2021•天桥区一模)如图,菱形的边长为2,点、、在以点为圆心、为半径的弧上,则图中阴影部分的面积是  .

    24. (2021•绥宁县一模)如图,以五边形各个顶点为圆心,为半径画圆,则图中阴影部分的面积为  .(结果保留



    25. (2021•黑龙江)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳.(不计厚度)已知其母线长为,底面圆的半径为,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于   .



    26. (2021•西吉县一模)如图,扇形的半径为6,圆心角为,用这个扇形围成一个圆锥的侧面,所得圆的底面半径为   .










    第14讲 反比例函数
    考点1 反比例函数的定义
    (1)反比例函数的概念
    形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
    (2)反比例函数的判断
    判断一个函数是否是反比例函数,首先看看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义去判断,其形式为y=(k为常数,k≠0)或y=kx﹣1(k为常数,k≠0).
    【例题1】 (2021秋•新泰市月考)下列函数中,不是反比例函数的是  
    A. B. C. D.
    【例题2】 (2021秋•渝中区校级月考)下面四个关系式中,是的反比例函数的是  
    A. B. C. D.
    【例题3】 (2021春•沙坪坝区校级期末)已知函数是反比例函数,则的值为   .
    【例题4】 (2021春•江岸区校级月考)已知函数是反比例函数,则的值为  .

    考点2 反比例函数的图象
    用描点法画反比例函数的图象,步骤:列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线.
    (1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值.
    (2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确.
    (3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.
    (4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴.
    【例题1】 (2021•青岛)已知反比例函数的图象如图所示,则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是  
    A.B. C.D.



    【例题2】 (2021•崂山区二模)已知反比例函数的图象如图所示,则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是  
    A.B. C.D.
    【例题3】 (2021春•南江县期末)函数和函数在同一坐标系内的图象可能是  
    A. B. C. D.
    【例题4】 (2021•张家界)若二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为  
    A. B. C. D.
    【例题5】 (2020秋•临邑县期末)函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是下图中的  
    A. B. C. D.
    【例题6】 (2020秋•隆回县)若,则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是  
    A. B. C. D.



    考点3 反比例函数图象的对称性
    反比例函数图象的对称性:
    反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴分别是:①二、四象限的角平分线Y=﹣X;②一、三象限的角平分线Y=X;对称中心是:坐标原点.

    考点4 反比例函数的性质
    反比例函数的性质
    (1)反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线;
    (2)当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小;
    (3)当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.
    注意:反比例函数的图象与坐标轴没有交点.

    【例题1】 (2014•江东区模拟)对于反比例函数图象对称性的叙述错误的是  
    A.关于原点对称 B.关于直线对称
    C.关于直线对称 D.关于轴对称
    【例题2】 (2021•卧龙区二模)已知反比例函数,在下列结论中,不正确的是  
    A.图象必经过点
    B.图象在第一、三象限
    C.若,则
    D.点,,,图像上的两点,且,则
    【例题3】 (2020秋•隆回县期末)下列关于反比例函数的结论中正确的是  
    A.图象过点 B.图象在二、四象限内
    C.在每个象限内,随的增大而减小 D.当时,
    【例题4】 (2021春•垦利区期末)对于反比例函数,下列说法正确的是  
    A.点在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限
    C.它的图象经过原点 D.当时,随的增大而增大
    【例题5】 (2021•滨海县一模)如图,已知直线与双曲线的一个交点坐标为,则它们的另一个交点坐标是  .


    【例题6】 (2021•茶陵县模拟)如图,点是反比例函数与的一个交点,图中阴影部分的面积为,则反比例函数的解析式为  .

    【例题7】 (2015•上城区一模)已知直线与双曲线相交于点,,那么它们的另一个交点坐标是  .

    考点5 反比例函数系数k的几何意义
    比例系数k的几何意义
    在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
    在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|,且保持不变

    【例题1】 (2021•禹州市一模)如图,点是第一象限内双曲线上一点,过点作轴,交双曲线于点,作轴,交双曲线于点,连接.若的面积为,则,的值不可能是  

    A., B., C., D.,
    【例题2】 (2021春•沂源县期末)若图中反比例函数的表达式均为,则阴影面积为4的有  

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【例题3】 (2020•蒙阴县二模)如图,点在轴正半轴上运动,点在轴上运动,过点且平行于轴的直线分别交函数和于、两点,则三角形的面积等于  

    A.3 B.4 C.5 D.6
    【例题4】 (2020•宁波模拟)如图,双曲线与交于点,,已知,,三点横坐标的比为,且,则  .

    【例题5】 (2020•金牛区模拟)如图,已知点在第一象限,将绕点顺时针旋转得到,若反比例函数的图象经过点、,则  .

    【例题6】 (2020春•衡阳期末)如图,已知双曲线经过矩形边的中点,交于点,且四边形的面积为6,则  .

    考点6 反比例函数图象上点的坐标特征
    反比例函数y=k/x(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,
    ①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k;
    ②双曲线是关于原点对称的,两个分支上的点也是关于原点对称;
    ③在y=k/x图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
    【例题1】 (2021•自贡模拟)若点,,在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是  
    A. B. C. D.
    【例题2】 (2021春•江阴市校级月考)已知点,,都在反比例函数的图象上,则下列结论中正确的是  
    A. B. C. D.
    【例题3】 (2021秋•蚌山区校级月考)已知点,,,都在反比例函数的图象上,且,则,的关系是  
    A. B. C. D.
    考点7 待定系数法求反比例函数解析式
    用待定系数法求反比例函数的解析式要注意:
    (1)设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk(k为常数,k≠0);
    (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式,得到待定系数的方程;
    (3)解方程,求出待定系数;
    (4)写出解析式.
    【例题1】 (2021春•长春期末)已知反比例函数的图象经过点,那么这个反比例函数的表达式是   .
    【例题2】 (2021•广东模拟)已知平行四边形中,、,,反比例函数是经过线段的中点,则反比例函数解析式为   .
    【例题3】 (2021秋•包河区校级月考)已知:已知函数,与成正比例,与成反比例,且当时,;当时,.求关于的函数关系式.
    【例题4】 (2021•香坊区校级开学)如图,直线与轴交于点,与双曲线交于点、,其中点在第一象限,点在第三象限.
    (1)求双曲线的解析式;
    (2)若的面积为2,求点的坐标.


    【例题5】 (2020秋•焦作期末)在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,过点的直线与轴,轴分别交于,两点.
    (1)求反比例函数的表达式;
    (2)若的面积为的面积的3倍,求此直线的函数表达式.




    考点8 反比例函数与一次函数的交点问题
    反比例函数与一次函数的交点问题
    (1)求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.
    (2)判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中的交点个数可总结为:
    ①当k1与k2同号时,正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有2个交点;
    ②当k1与k2异号时,正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有0个交点.

    【例题1】 (2021•梁园区校级一模)如图所示,在平面直角坐标系中与直线的图象交于点,则的值为  

    A. B. C.3 D.1


    【例题2】 (2021春•江阴市校级月考)已知一次函数与反比例函数,在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则当时,的取值范围是  

    A.或 B.或 C.或 D.
    【例题3】 (2021秋•鄞州区月考)已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则当时,的取值范围是  

    A.或 B. C. D.或

    【例题4】 (2021春•朝阳区期末)如图,正比例函数与反比例函数图象交于、两点,其中点的横坐标为1,当时,的取值范围是  

    A.或 B.或
    C.或 D.或

    【例题5】 (2021春•侯马市期末)设函数与的图象的交点坐标为,则的值为  
    A. B. C. D.
    【例题6】 (2021•山西模拟)已知,,是反比例函数图象上的两点,则反比例函数的解析式为  .

    【例题7】 (2021•盐城一模)如图,一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于,两点.则在第一象限内,当时的取值范围是   .



    【巩固复习】
    1. (2021•碑林区校级开学)下列函数不是反比例函数的是  
    A. B. C. D.
    2. (2021春•肇源县期末)若函数是反比例函数,则的值是  
    A.1 B. C.2或 D.2
    3. (2021春•建邺区校级期末)下列四个表格表示的变量关系中,变量是的反比例函数的是  
    A.














    B.




    1
    2





    3
    6

    C.




    1
    2



    3
    6



    D.




    1
    2



    2
    1



    4. (2021•河北模拟)直线与双曲线的图象如图所示,则的结果  

    A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定
    5. (2021春•襄汾县期末)一次函数与反比例函数的图象如图所示,则  

    A.,,B.,,C.,, D.,,
    6. (2021•聊城)已知二次函数的图象如图所示,则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为  
    A.B. C.D.
    7. (2021•湘潭模拟)在同一平面直角坐标系中,函数与的图象可能是  
    A. B. C. D.
    8. (2021春•松江区期中)一次函数与函数在同一坐标系中的图象可能是  
    A. B. C. D.
    9. (2021•安徽一模)已知二次函数的图象如图,则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是  
    A. B. C. D.


    10. (2020秋•泰山区期末)若函数的图象如图所示,则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是  
    A. B. C. D.
    11. (2020秋•乳山市期末)一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中的位置如图所示,下列结论正确的是  

    A., B., C., D.,
    12. (2021秋•沈河区校级月考)已知反比例函数,当时,自变量的取值范围为  
    A.或 B.或 C. D.
    13. (2021秋•沈河区校级月考)若反比例函数的图象在第一、三象限内,则下列说法正确的是  
    A.的取值范围为 B.的取值范围是
    C.随的增大而减小 D.随的增大而增大
    14. (2021春•上虞区期末)已知反比例函数,当且时,自变量的取值范围为  
    A. B. C. D.或
    15. (2020秋•盘龙区期末)对于反比例函数,下列说法错误的是  
    A.它的图象在第二、四象限 B.在每个象限内随的增大而增大
    C.若,则 D.若点 和点 在这个函数图象上,则
    16. (2020秋•孝义市期末)如果反比例函数的图象在第一、三象限内,则下列说法正确的是  
    A.随的增大而减小 B.随的增大而增大
    C.的取值范围为 D.的取值范围是
    17. (2021春•安溪县期末)关于反比例函数,下列说法正确的是  
    A.当时,函数值 B.随的增大而增大
    C.点在该函数图象上 D.图象在一、三象限内
    18. (2020秋•中方县期末)关于反比例函数,下列说法中正确的是  
    A.它的图象分布在第一、四象限 B.它的图象过点
    C.当时,的值随的增大而减小 D.它的图象是轴对称图形,有一条对称轴
    19. (2020秋•德州期末)如图,两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和,设点在上,轴于点,交于点,则的面积为  

    A.1 B.2 C.4 D.无法计算
    20. (2020秋•荔湾区期末)在平面直角坐标系中,为双曲线上一点,点的坐标为.若的面积为6,则点的坐标为  
    A. B. C.或 D.或
    21. (2021•罗湖区校级模拟)如图,已知双曲线经过直角三角形斜边的中点,与直角边相交于点.若的面积为3,则值是  

    A.3 B.2 C.4 D.
    22. (2020•泗水县二模)如图,的直角边在轴上,,反比例函数经过另一条直角边的中点,,则  

    A.2 B.4 C.6 D.3
    23. (2019秋•赛罕区期末)如图,在中,,,反比例函数在第一象限的图象分别交、于点、,且,则的坐标为  

    A. B., C. D.,
    24. (2021•湖州模拟)若点,,,,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是  
    A. B. C. D.
    25. (2021•金水区校级四模)函数为常数)的图象上有三点,,,,,,则,,的大小关系是  
    A. B. C. D.
    26. (2021秋•昆都仑区校级月考)如图,一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、,与反比例函数的图象交于,.当为  时,.

    A. B. C.或 D.
    27. (2021•中江县模拟)如图,在平面直角坐标系中,函数与的图象交于点,则代数式的值为  

    A. B. C. D.
    28. (2021•香坊区二模)反比例函数的图象经过点,则这个反比例函数的解析式为  .
    29. (2021•太原三模)如图,反比例函数和一次函数的图象在第一象限交于点,若点的纵坐标是2,则关于的不等式的解集是   .

    30. (2020秋•邵东市期末)函数是关于的反比例函数,则  .
    31. (2020秋•金塔县期末)函数是关于的反比例函数,则  .
    32. (2019秋•诸城市期末)若函数是反比例函数,则  .
    33. (2014•槐荫区二模)若直线与双曲线的交点为,、,,则的值为  .
    34. (2021春•余姚市期末)已知反比例函数的图象经过点.
    (1)求函数表达式;
    (2)当时,求函数的值;
    (3)当且时,直接写出的取值范围.
    35. (2021•益阳)如图,已知点是一次函数的图象与轴的交点,将点向上平移2个单位后所得点在某反比例函数图象上.
    (1)求点的坐标;
    (2)确定该反比例函数的表达式.














    第15讲 实际问题与反比例函数
    根据实际问题列反比例函数关系式
    根据实际问题列反比例函数关系式,注意分析问题中变量之间的联系,建立反比例函数的数学模型,在实际问题中,往往要结合题目的实际意义去分析.首先弄清题意,找出等量关系,再进行等式变形即可得到反比例函数关系式.
    根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式,都是利用待定系数法去完成的.
    注意:要根据实际意义确定自变量的取值范围.
    【例题1】 (2020春•顺德区校级)面积是160平方米的长方形,它的长米,宽米之间的关系表达式是  
    A. B. C. D.
    【例题2】 (2020•莫旗一模)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米时的平均速度用了6小时到达目的地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度(千米时)与时间(小时)的函数关系为  
    A. B. C. D.
    【例题3】 (2018秋•自贡期末)今年,某公司推出一款新手机深受消费者推崇,但价格不菲.为此,某电子商城推出分期付款购买手机的活动,一部售价为9688元的新手机,前期付款3000元,后期每个月分别付相同的数额,则每个月付款额(元与付款月数为正整数)之间的函数关系式是  
    A. B. C. D.
    【例题4】 (2021春•海州区期末)近视眼镜的度数(度与镜片焦距(米成反比例, 已知 400 度近视镜片的焦距为 0.2 米, 则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式是  .
    【例题5】 (2020春•海陵区期末)某厂计划建造一个容积为的长方体蓄水池,则蓄水池的底面积与其深度的函数关系式是  .
    【例题6】 (2021秋•金安区校级月考)如图所示,制作某种食品的同时需将原材料加热,设该材料温度为,从加热开始计算的时间为分钟.据了解,该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为,加热一段时间使材料温度达到时停止加热,停止加热后,材料温度逐渐下降,这时温度与时间成反比例函数关系,已知第12分钟时,材料温度是.
    (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式(写出的取值范围);
    (2)根据该食品制作要求,在材料温度不低于的这段时间内,需要对该材料进行特殊处理,那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?



    【例题7】 (2021秋•合肥月考)为应对全球爆发的新冠疫情,某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造,其月生产数量(万支)与月份之间的变化如图所示,技术改造完成前是反比例函数图象的一部分,技术改造完成后是一次函数图象的一部分,请根据图中数据解答下列问题:
    (1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支?
    (2)该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支?









    【巩固复习】
    1. (2018秋•芷江县期末)某工厂现有原材料100吨,每天平均用去吨,这批原材料能用天,则与之间的函数表达式为  
    A. B. C. D.
    2. (2017秋•宝安区期末)今年,某公司推出一款的新手机深受消费者推崇,但价格不菲.为此,某电子商城推出分期付款购买新手机的活动,一部售价为9688元的新手机,前期付款2000元,后期每个月分别付相同的数额,则每个月的付款额(元与付款月数为正整数)之间的函数关系式是  
    A. B. C. D.
    3. (2018•绥化)如果等腰三角形的面积为10,底边长为,底边上的高为,则与的函数关系式为  
    A. B. C. D.
    4. (2018•金华一模)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映与之间的关系的式子是  
    体积
    100
    80
    60
    40
    20
    压强
    60
    75
    100
    150
    300
    A. B. C. D.
    5. (2017秋•思明区校级月考)矩形面积是,设它的一边长为,则矩形的另一边长与的函数关系是  
    A. B. C. D.
    6. (2021•庆元县模拟)如图,在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强.根据如表中的数据规律进行探求,当汽缸内气体的体积压缩到时,压力表读出的压强值最接近  
    体积
    压强
    100
    60
    90
    67
    80
    75
    70

    60
    100

    A. B. C. D.
    7. (2021•云岩区模拟)阿基米德说:“给我一个支点,我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理,即“阻力阻力臂动力动力臂”.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和,则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是  

    A.B. C.D.
    8. (2021春•衢州期末)某杠杆装置如图,杆的一端吊起一桶水,阻力臂保持不变,在使杠杆平衡的情况下,小康通过改变动力臂,测量出相应的动力数据如表.请根据表中数据规律探求,当动力臂长度为时,所需动力最接近  
    动力臂
    0.5
    1.0
    1.5
    2.0
    2.5
    动力
    600
    302
    200

    120

    A. B. C. D.
    9. (2021春•镇江期末)学校的自动饮水机,开机加热时每分钟上升,加热到,停止加热,水温开始下降.此时水温与通电时间成反比例关系.当水温将至时,饮水机再自动加热,若水温在时接通电源,水温与通电时间之间的关系如图所示,则下列说法中正确的是  

    A.水温从加热到,需要 B.水温下降过程中,与的函数关系式是
    C.上午8点接通电源,可以保证当天能喝到不超过的水
    D.水温不低于的时间为
    10. (2021•石景山区一模)下列两个变量之间的关系为反比例关系的是  
    A.圆的周长与其半径的关系 B.平行四边形面积一定时,其一边长与这边上的高的关系
    C.销售单价一定时,销售总价与销售数量的关系 D.汽车匀速行驶过程中,行驶路程与行驶时间的关系
    11. (2020秋•沂水县期末)在温度不变的条件下,气体的压强和气体体积对应数值如下表,则可以反映与之间的关系的式子是  
    体积
    100
    80
    60
    40
    20
    压强
    60
    75
    100
    150
    300
    A. B. C. D.
    12. (2020•枣阳市校级模拟)如图所示,小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物,在中点右侧用一个弹簧秤向下拉,改变弹簧秤与点的距离,观察弹簧秤的示数的变化情况.实验数据记录如下:

    15
    20
    25
    30


    20
    15
    12
    10

    猜测与之间的函数关系,并求出函数关系式为  .

    13. (2018秋•宝山区期末)矩形的长为,宽为,面积为9,则与之间的函数关系及定义域是  .
    14. (2019春•常州期末)某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金,经过技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:请你认真分析表中数据,写出可以表示该变化规律的表达式是  
    年度
    2008
    2009
    2010
    2011
    投入技术改进资金(万元)
    2.5
    3
    4
    4.5
    产品成本(万元件)
    7.2
    6
    4.5
    4
    15. (2018秋•阳山县期末)已知一菱形的面积为,对角线长分别为和,则与的函数关系式为  
    16. (2017秋•隆尧县期末)某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米,6小时可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时立方米,那么将满池水排空所需要的时间为(小时),写出时间(小时)与之间的函数表达式  .
    17. (2017秋•梁山县期末)已知一个矩形的面积为2,两条边的长度分别为、,则与的函数关系式为  .
    18. (2017春•灌云县月考)验光师测的一组关于近视眼镜的度数与镜片的焦距的数据,如表:
    (单位:度)
    100
    200
    400
    500

    (单位:米)
    1.00
    0.50
    0.25
    0.20

    则关于的函数关系式是   .
    19. (2016春•钦南区校级期中)、两地之间的高速公路长为,一辆小汽车从地去地,假设在途中是匀速直线运动,速度为,到达时所用的时间是,那么是的   函数,可以写成的函数关系式是   .
    20. (2016秋•新宁县期中)一批零件300个,一个工人每小时做15个,用关系式表示人数与完成任务所需的时间之间的函数关系式为   .
    21. (2021春•苏州期末)心理学家研究发现,一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指数随时间(分的变化规律如图所示,其中、分别为线段,为双曲线的一部分.上课开始时,注意力指数为20,第10分钟时,注意力指数为40.根据图象信息,若开始上课第分钟学生的注意力指数与下课时的注意力指数相等,则的值为   .





    22. (2021•开封一模)疫情防控期间,某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,完成1间办公室和1间教室的喷洒共需;完成2间办公室和3教室的喷洒共需.
    (1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间?
    (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度(单位:与时间(单位:的函数关系如图所示,校医进行药物喷洒时与的函数关系式为,药物喷洒完成后与成反比例函数关系,两个函数图象的交点为点.当教室空气中的药物浓度不高于时,对人体健康无危害,校医依次对(1)班至班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当把最后一间教室药物喷洒完成后,(1)班学生能否进入教室?请通过计算说明.








    23. (2021•花溪区模拟)货轮从甲港往乙港运送货物,甲港的装货速度是每小时30吨,一共装了8小时,到达乙港后开始卸货,乙港卸货的速度是每小时吨,设卸货的时间是小时.
    (1)当是的函数时,求与之间的函数关系式;
    (2)若卸货的速度是每小时40吨,求乙港卸完全部货物所需的时间;
    (3)在(2)的条件下,当卸货时间在4小时的时候,问船上剩余货物是多少吨?













    24. (2021春•金坛区期末)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度与时间之间的函数关系,其中线段,表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:
    (1)求与的函数表达式;
    (2)若大棚内的温度低于时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多长时间,才能使蔬菜避免受到伤害?











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