2023届高三全国各地试题精选13 圆锥曲线（小题）

这是一份2023届高三全国各地试题精选13 圆锥曲线（小题），共18页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
13 圆锥曲线（小题）

一、单选题
1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．11
2．（2023·陕西西安·统考三模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，实轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，当面积最大时，双曲线的离心率为（   ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（    ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆的下焦点为，右顶点为，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为6，则下列说法错误的是（    ）
A． B．双曲线的渐近线方程为：
C．双曲线的离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为2
9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则（    ）
A．2 B． C．4 D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，过双曲线右焦点F且与渐近线平行的直线交双曲线于点P，若，则双曲线的虚轴长为（    ）
A． B．3 C． D．
12．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ）
A．2 B． C． D．3
13．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知分别为双曲线E： 的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若是等边三角形，则双曲线E的离心率为（    ）
A． B．3 C． D．
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
15．（2023·云南保山·统考二模）折纸艺术大约起源于公元1世纪的中国，6世纪传入日本，后经由日本传到全世界.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动.现有一张半径为6，圆心为O的圆形纸片，在圆内选定一点P且，将圆翻折一角，使圆周正好过点P，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O，P两点距离之和最小的点为M，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设M点的轨迹为曲线C，在C上任取一点Q，则面积的最大值是（    ）
A． B． C． D．4
16．（2023·江苏·统考模拟预测）已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
17．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
18．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（    ）
A． B．
C． D．
19．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为（    ）
A． B． C．2 D．
20．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图所示），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则的取值范围是（    ）
  
A． B． C． D．

参考答案：
1．A
【分析】根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值.
【解析】  
设椭圆的半焦距为，则，，
如图，连接，则，
而，当且仅当共线且在中间时等号成立，
故的最大值为.
故选：A.
2．B
【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.
【解析】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且，
又，，
则
由于，所以，
于是可得，，所以椭圆C的离心率.
故选：B.
3．C
【分析】根据题意列出满足的方程，求得a的值，即得答案.
【解析】由题意知，的焦点在轴上，所以直线与轴的交点是的一个焦点，
故；
又因为直线与的一条渐近线平行，故的一条渐近线的斜率为-2，
即，联立，解得，
因此的实轴长为，
故选：C.
4．B
【分析】根据点到直线的距离求出的高，由勾股定理得出，当面积最大时，求出关系式，此时可求离心率.
【解析】设双曲线的一条渐近线为，为的中点，可得，右焦点为，
所以到渐近线的距离为，实轴长为半径,
可知，
，
根据基本不等式，当且仅当时取到等号，
所以面积最大时，
此时双曲线的离心率.
故选: B.

5．C
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合抛物线的定义，列出方程，即可求得结果.
【解析】设直线与轴交点为，
由抛物线的对称性，易知为直角三角形，且，
，即，去绝对值，解得或，
所以抛物线的准线方程为或.
故选：C.
6．B
【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．
【解析】设，，因为，，
所以，，
由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则．
故选：B．
7．C
【分析】先用求得的坐标，再将的坐标代入椭圆方程即可求解
【解析】由得，所以，
把代入椭圆得，化简得，
则椭圆的离心率为.
故选：C.
8．A
【分析】根据双曲线方程及焦点坐标有，应用点线距离公式得，进而求出参数值，写出双曲线方程，即可判断各项正误.
【解析】依题意，双曲线的标准方程中①，
双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，
∴，即②，结合①②得，
∴双曲线的方程为，故，
则离心率为，渐近线方程为，上的点到焦点距离的最小值为，即B、C、D均正确.
故选：A
9．D
【分析】求出点、的坐标，设点，其中，可得出，由已知可得出，可得出，整理可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【解析】将代入双曲线的方程可得，可得，
不妨取点、，设点，其中，且，
，，

因为，所以
，
因为，则，所以，，
可得，即，
整理可得，因为，解得.
故选：D.
10．A
【分析】由已知可得.点作，垂足为，根据已知结合几何性质，可得.然后在在中，即可得出答案.
【解析】由已知可得，，.
  
如图所示，过点作，垂足为.
由题得，所以.
根据抛物线的定义可知，
所以是等边三角形.
因为，
所以.
在中，.
故选：A.
11．B
【分析】根据离心率表示双曲线的方程，不妨设直线PF的斜率．过点P作轴于点H，则结合，表示点P的坐标，代入双曲线方程求得结果.
【解析】如图，
由题意得，，解得，
∴双曲线的方程可化为．
根据双曲线的对称性，不妨设直线PF的斜率．
过点P作轴于点H，则结合，可得，，
∴．将点P的坐标代入双曲线方程，得，
则．又，，
代入化简得，，解得，则，
∴双曲线的虚轴长为．
  
故选：B．
12．B
【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案.
【解析】由题意知,设，则,
所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.
故选：B.
  
13．C
【分析】由双曲线的定义可求出，再由余弦定理代入化简即可求出答案.
【解析】由双曲线的定义，得，，
又，所以，
在中，
即 ，所以 ，即，  
所以   
故选：C．
14．A
【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解.
【解析】设，则，由，
消去，得，
注意到，则.于是，
同理，. 因此.
的倾斜角为，∴直线的斜率，
根据弦长公式，可得.
由，可得，故.
．
故选：A
15．B
【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线C，再利用椭圆的性质计算即可.
【解析】如图所示，设折痕为直线，点P与关于折痕对称，，在上任取一点B，由中垂线的性质可知：，当且仅当M、B重合时取等号.
即折痕上到O，P两点距离之和最小的点为M，且.
故M的轨迹是以O，P为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，，
故短半轴长，所以当Q为椭圆上（下）顶点时，面积的最大值为.
  
故选：B.
16．D
【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.
【解析】  
设，，则，，
设、、，分别为直线、、的斜率，
则，，，
因直线是以为直径的圆的切线
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
因、在上，
所以，，
两式相减得，
整理得，
故，即，
，
故，
故选：D
17．D
【分析】首先得出直线的方程，与双曲线方程联立得出点和的坐标，并得出不等式关系，再表示出，根据大于列出不等式，求解即可．
【解析】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，
由，得，且，
所以，，
因为，且大于，
所以，
所以，解得，
又因为，解得，
所以，
故选：D．

18．C
【分析】设，由双曲线定义结合题目条件可得，后利用余弦定理可得答案.
【解析】设，则.因.
  
则.因的周长为8a，，
则.
则.由余弦定理：.
则在中，由余弦定理，
.
故选：C
19．A
【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的最大值.
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
  
设双曲线上的点，所以，即
则到两条渐近线的距离分别为，，
所以，
又，
因为恒成立，所以，整理得，即
所以离心率，则的离心率的最大值为.
故选：A.
20．C
【分析】解法1、设直线为，联立方程组，利用弦长公式求得，求得直线与的距离为，得到的面积为，设，得到，转化为的值最小即可，结合函数的单调性和椭圆的性质，即可求解.
解法2、设直线的倾斜角为，求得，原点的距离为，得到矩形面积，设，得到，结合基本不等式的成立的条件，得到，进而求得实数的取值范围.
【解析】解法1：设所在直线方程为且
联立方程组，整理得，
可得，所以，
由直线方程为，所以直线与垂线的距离为，
矩形的面积为，
设，则，所以，
要使最大，则只需的值最大，即的值最小即可，
当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，即当时，有最大值，
即时，的值最小，
由双勾函数性质在上单调递减，在区间为单调递增，
又由，当时，有最小值，
所以，所以，可得，即，解得，所以，
又因为，解得，所以实数的取值范围是.
解法2：设所在直线方程为且
联立方程组，整理得，
可得，所以，
设直线的倾斜角为，可得，即，
代入上式，化简得，
又由原点的距离为，
所以矩形的面积：
，
设，则，且，可得，
则，
要使最大，则只需的值最大，即的值最小即可，
当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，即当时，有最大值，
即时，的值最小，
因为，当且仅当时，即，
所以，即，所以，可得，即，解得，所以，
又因为，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
【小结】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.