高考数学二轮复习培优专题共23讲（原卷版）

这是一份高考数学二轮复习培优专题共23讲（原卷版），共264页。
第1讲 函数的概念与性质
【考点分析】
1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.
2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题
【题型目录】
题型一：函数的定义域
题型二：同一函数概念
题型三：函数单调性的判断
题型四：分段函数的单调性
题型五：函数的单调性唯一性
题型六：函数奇偶性的判断
题型七：已知函数奇偶性，求参数
题型八：已知函数奇偶性，求函数值
题型九：利用奇偶性求函数解析式
题型十：给出函数性质，写函数解析式
题型十一：奇函数+常数模型（）
题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，，中指定义域的中间值）
题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
题型十四：值域包含性问题
题型十五：函数性质综合运用多选题
【典型例题】
题型一：函数的定义域
【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．


【例2】函数的定义域为

【例3】(2020·集宁期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．

【例4】若函数的定义域为，则的范围为__________。

【例5】（2021·全国高三专题练习（理））若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2019·江苏如皋）函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
2.（2021·江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
3.（2018·重庆一中高二期末（理））已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4.（2019·全国）若函数的定义域为，且函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
5.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
(A)　　 (B) 　 　(C) 　 　(D)



题型二：同一函数概念
【例1】（2021·广东·深圳第二外国语学校高一期末）下列函数与是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2021·重庆巴蜀中学高一期中多选）下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
题型三：函数单调性的判断
【例1】下列函数中，满足“对于任意，都有”的是

【例2】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【例3】（2021·新疆高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．

2.（2021·贵州·凯里一中）已知函数，，且时，关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

3.函数在上是减函数,则实数的取值范围为________.
4.（2019年重庆七中高一上期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

题型四：分段函数的单调性
【例1】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（       ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．

【例2】（2021·广东·深圳市第二高级中学）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2021·河南焦作·）如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

2.（重庆巴蜀）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2） B． C． D．（0，1）

题型五：函数的单调性唯一性
【例1】已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．
【例2】（2019年重庆巴蜀）若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则
A．3 B． C． D．

【题型专练】
1.（2019年重庆南开）已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )
A. B. C. D.

题型六：函数奇偶性的判断
【例1】（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数


【例2】下列对函数奇偶性判断正确的是（ ）
A. 奇函数 B. 是奇函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数

【题型专练】
1.(2020•全国Ⅱ)设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

2.(2020重庆巴川中学高一月考多选)已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
A. B. C. D.

题型七：已知函数奇偶性，求参数
【例1】已知为奇函数，则________。

【例2】设函数是偶函数，则实数a的值为________．

【题型专练】
1.已知为偶函数，则 ________。

2.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则__________．

题型八：已知函数奇偶性，求函数值
【例1】已知为奇函数，且当时，，则

【例2】已知函数是偶函数，且则

【例3】已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则（ ）
A． B． C．-3 D．

【题型专练】
1.(2021•武侯模拟)设函数若是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·四川绵阳·（文））已知函数对任意实数，满足，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C． D．

题型九：利用奇偶性求函数解析式
【例1】已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________

【例2】已知为偶函数，，求解析式？

【例3】（2022韶关期中）若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，
则有　　
A． B．
C． D．

【题型专练】
1.（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________.

题型十：给出函数性质，写函数解析式
【例1】（2021·北京·）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②是偶函数；③在上是减函数，则的一个解析式是___________.



【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则______.


【题型专练】
1.（2022重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数:
（1） 是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是
则________

2.请写出一个最小正周期为的偶函数，则________

题型十一：奇函数+常数模型（）
【例1】已知且，求的值____

【例2】已知函数，且，则_________

【例3】（2019·山西高三月考（理））函数，则（ ）
A．0 B． C．4 D．1

【题型专练】
1.已知函数，则_______；


2.已知函数，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

3.已知函数，若定义在上的奇函数，有，则　　
A．2 B．0 C． D．

4.已知函数 满足条件，其中，
则（ ）
A． B． C． D．

题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，，中指定义域的中间值）
【例1】已知的最大值,最小值为,求的值

【例2】（2015全国卷2理科）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____


【题型专练】
1.（2019年重庆二外高一上期末）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
【例1】（2021年重庆18中高一月考）已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为
A. B. C. D.

【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________

【例3】已知奇函数在单调递增，且，则不等式的解集是_____

【例4】（2020·阜新市第二高级中学高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，且，则使得的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【例5】设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为 .


【题型专练】
1.（2020重庆7中高一期中）已知函数，为定义在上奇函数且单调递减.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

2.（2020重庆九校高一月考） 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.

3.（2019巴蜀高一月考）已知定义在上的函数的图像经过点，且在区间单调递减，又知函数为偶函数，则关于的不等式的解为

4.（2016·安徽高三月考（文））若偶函数在内单调递增，则不等式的解集是
A． B． C． D．
5.（2021·广西·玉林市育才中学（理））已知是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

6.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

7.定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .

8.若函数对于任意的，恒成立，则


9.已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意 ()，都有，若，则实数的取值范围是 (　　)
A． B． C. D．

题型十四：值域包含性问题
【例1】（2021·四川·石室中学（文））已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．



【题型专练】
1.（2021·福建省厦门第二中学）函数（），，对，，使成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十五：函数性质综合运用多选题
【例1】（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则（       ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称

【例2】（2022·广东·中山一中高三阶段练习）关于函数说法正确的是（       ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增

【例3】（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，则下列说法正确的是（       ）
A．一定是偶函数 B．一定是偶函数
C． D．
【例4】（2022·全国·高一学业考试）已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数在R上不具有单调性
C．函数的图象关于y轴对称
D．当a＞1时，函数的最大值是0
【例5】（2022·全国·高一单元测试）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（       ）
A．为偶函数 B．
C．为定值 D．

【例6】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有

【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（　　）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，



2．（2022·福建漳州·高二期末）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．的值域为R
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．

3．（2022·江苏淮安·高二期末）对于函数，下列说法正确的有（       ）
A．在其定义域上为偶函数
B．在上单调递减，在上单调递增
C．的值域为
D．有解集为

4．（2022·山东青岛·高二期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（       ）
A． B． C．是奇函数 D．若，则

5．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（       ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足

6．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知函数，则下列结论中正确的是（       ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
7．（2022·湖北·高一阶段练习）.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（       ）
A．是偶函数
B．是上的减函数
C．在上的最小值为
D．若，则实数的取值范围为

8．（2022·全国·高一）设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是（       ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是

9．（2023·全国·高三专题练习）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（       ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1

10．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（       ）
A． B． C． D．

第2讲 函数的对称性与周期性
【考点分析】
1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论
考点一：函数常见对称性结论
①若函数对于任意的均满足，则函数关于直线对称．
②若函数对于任意的均满足则关于点对称．
考点二：函数常见周期性结论
若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且
几个常见周期性结论
①若函数满足，则．
②若函数满足，则．
③若函数满足，则．
④若函数满足，则．
⑤若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．
⑥函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周
⑦函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．
⑧若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
【题型目录】
题型一：利用周期性求函数值
题型二：利用周期性求函数解析式
题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数
题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用




【典型例题】
题型一：利用周期性求函数值
【例1】设是定义在上周期为2的函数，当时，，其中．若，则的值是 ．

【例2】设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
【例3】定义在上的函数对任意，都有，则等于
A. B. C. D.

【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为( )
A. B. C. D.

【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（       ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，，则（       ）
A．3 B． C．255 D．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（       ）
A．0 B．1 C．6 D．216
3.（重庆南开高一上期末）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）
A B. -1 C. 0 D. 1
4．（2022·云南红河·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．
题型二：利用周期性求函数解析式
【例1】已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。
【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
【例3】（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
【题型专练】
1.（2021·上海南汇中学高三期中）设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．
2.（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.
3.（2021·江苏·高一专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________

4.（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：
（1）__________；
（2）当时，_________.

题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数
【例1】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.

【例2】（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）写出一个满足以下三个条件的函数：______．
①定义域为R；②不是周期函数；③是周期为的函数．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列性质①②③的函数：__________.①定义域为；②为偶函数；③为奇函数.


【题型专练】
1（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．
2.（2022·北京通州·高三期末）最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可）
3.（2022·全国·高三专题练习（理））函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________

题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用
【例1】（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（       ）
A．4 B． C．0 D．2


【例2】（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（       ）
A． B．0 C． D．1

【例4】（2022·山东日照·高二期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（       ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．2是一个周期 D．关于直线对称

【例5】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数为上的偶函数
C．的图象关于点对称函数
D．为上的单调函数

【例6】（2021新高考2卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．

【例7】若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1

【题型专练】
1.（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．0


2．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，若，则（       ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4

3．（2022·湖南·高二期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3

4.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数

5.（2021全国卷甲卷理科12）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）



6.已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则


7.（2020•岳麓区校级模拟）若对任意的，都有，且，，则的值为　　．


8.（2022·河北深州市中学高三阶段练习多选）已知函数对，都有，且，则（       ）
A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点中心对称
C． D．

9.（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末多选）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（       ）
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的零点有6个
C．
D．若，则
10．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末多选）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（       ）
A．为周期函数 B．为上的偶函数
C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称

11.（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（       ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C． D．时，
第3讲 导数中八大切线问题题型总结
【考点分析】
考点一：曲线在点处的切线方程
①把切点的横坐标带入导函数，得
②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为
考点二：过一点的切线方程
①设切点为，则斜率
②利用切点和斜率写出切线方程为：，
③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）
【题型目录】
题型一：导数与切线斜率的关系
题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）
题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）
题型四：已知切线求参数问题
题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
题型六：公切线问题
题型七：切线平行、垂直、重合问题
题型八：与切线相关的最值问题
【典例例题】
题型一：导数与切线斜率的关系
【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ）

A． B．
C． D．

【例2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（       ）

A． B．
C． D．




【题型专练】
1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．


2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（       ）

A． B．
C． D．

题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）
【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0

【例4】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（       ）
A． B．
C． D．
【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ）
A． B． C． D．1

【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1．【2018年新课标1卷理科】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．

2.【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．

3．【2019年新课标1卷理科】曲线在点处的切线方程为___________．

4．【2018年新课标2卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．

5．【2018年新课标3卷理科】曲线在点处的切线的斜率为，则________．


题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）
【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．


【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数过点的切线方程为（       ）
A． B． C．或 D．或

【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线与曲线相切，则的值为（       ）
A．2 B．-2 C．-1 D．1

【题型专练】
1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（       ）
A． B．
C． D．

2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ）
A．e B．1 C． D．

3.过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0 B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0

4.已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（       ）
A． B．
C．或 D．或

题型四：已知切线求参数问题
【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线是曲线的切线，则________．

【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线在点处的切线方程为，则_____

【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数在点处的切线方程为，则（       ）
A．或1 B．或 C．或2 D．或


【题型专练】
1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_________．


2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数的图象在处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，


3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4

题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（       ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．

【例3】【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B．
C． D．

【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A． B．
C． D．

4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

5.（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

题型六：公切线问题
【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（       ）
A． B． C． D．


【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（       ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．

【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ）
A．0 B．1 C．e D．

【例7】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（       ）
A． B．1 C．e D．


【题型专练】
1.已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（       ）
A．-1 B．1 C．2 D．3

2.【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

3.（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（       ）
A．2 B． C． D．

4.（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


5.（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（       ）
A． B． C． D．


6.若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为（       ）
A．+ B．- C．+ D．+





题型七：切线平行、垂直、重合问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【题型专练】
1.（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（       ）
A． B．1
C． D．2

3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

题型八：与切线相关的最值问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·山东聊城·二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．8

【题型专练】
1．（2022·山西·高二期末）已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.

2.（2022·江苏·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，

3.（2022·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（       ）
A． B． C． D．1

4.（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

5.（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ）
A． B．0 C． D．3

第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结
【典型例题】
题型一：构造比较大小

此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较
【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（       ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4

【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（       ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若，则（       ）
A． B．
C． D．

2.（2022·浙江台州·高二期末）设，，，则（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若，，，则（       ）
A． B． C． D．

5.（2022·山东日照·高二期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.

6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
题型二：利用常见不等式关系比较大小
1、常见的指数放缩：
证明：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即
2.常见的对数放缩：
3.常见三角函数的放缩：
【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（       ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知，，，则（       ）．
A． B． C． D．

【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若，,，则（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．



【题型专练】
1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设，，，则（       ）
A． B．
C． D．

2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．

3（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（       ）
A． B．
C． D．

题型三： 构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）
【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（       ）．
A． B． C． D．

【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．

【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设，，，则（       ）
A． B．
C． D．

【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设，，，则（       ）
A． B．
C． D．

【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（       ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1（2022·山东烟台·高二期末）设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·山东青岛·高二期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设，，，则（       ）
A． B． C． D．

4.（2022·福建宁德·高二期末）已知，，且，则（       ）
A． B．
C． D．

5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．

6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．

7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知，，，则（       ）
A． B． C． D．

8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知，且满足，，，则（       ）
A． B． C． D．

第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结
【考点分析】
考点一：含参数单调性讨论
①先求函数定义域；
②求导，化简，通分，分解因式；
③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；
④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导
【题型目录】
题型一：导函数为一次函数型
题型二：导函数为准一次函数型
题型三：导函数为二次可分解因式型
题型四：导函数为二次不可因式分解型
题型五：导函数为准二次函数型
【典型例题】
题型一：导函数为一次函数型
【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；

【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数（其中a为参数）．
(1)求函数的单调区间；

【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数，讨论的单调性。

【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性。



【题型专练】
1.已知函数，讨论函数在区间内的单调性；

2.已知函数，其中，讨论的单调性；

3.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；

题型二：导函数为准一次函数型
【例1】（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数（为自然对数的底数）．
求函数的单调区间；

【例2】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；

【例3】（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.
讨论的单调性；

【题型专练】
1.设函数，求的单调区间．

2.已知函数.讨论的单调性；

3.已知函数，讨论的单调性.


题型三：导函数为二次可分解因式型
【例1】（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；

【例2】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数
讨论f（x）的单调性；

【例3】（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．
讨论函数的单调性；

【例4】（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.
讨论函数的单调性；

【例5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．
求函数的单调区间；


【例6】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.





【题型专练】
1.设函数，其中．讨论的单调性.

2.已知函数，求函数f(x)的单调区间；

3.设函数，讨论函数的单调性.

题型四：导函数为二次不可因式分解型
【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；

【例2】（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；

【例3】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．
(1)讨论的单调性；


【题型专练】
1.已知函数，讨论的单调性；

2.已知函数，讨论函数的单调性；

3.已知函数，讨论的单调性；.



题型五：导函数为准二次函数型
【例1】（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数，
讨论的单调性。

【例2】（2022·全国·二模（理））已知函数．
讨论的单调性；

【例3】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．
试讨论函数的单调性；

【例4】（2022·浙江·模拟预测）已知函数.
讨论的单调性；

【题型专练】
1.已知函数，．若，求函数的单调区间.

2.【2021年新高考2卷】已知函数．
（1）讨论的单调性；

3.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)讨论的单调性；

第6讲 导数的极值与最值6种题型总结
【考点分析】
考点一：函数的驻点
若，我们把叫做函数的驻点．
考点二：函数的极值点与极值
①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点
②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点
考点三：求可导函数极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.
考点四：函数的最值
一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【题型目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数的值
题型三：根据极值、极值点求参数的范围
题型四：利用导数求函数的最值（不含参）
题型五：根据最值求参数
题型六：根据最值求参数范围
【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
【方法总结】
利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值

【例1】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．

【例2】(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )
A． B． C． D．1

【例3】若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；

【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；

【题型专练】
1.已知e为自然对数的底数，设函数，则
A．1是的极小值点 B．﹣1是的极小值点
C．1是的极大值点 D．﹣1是的极大值点

2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点
D．是的一个极小值点

3.（2022江西高三期中（文））已知函数，，其中.
（1）求函数的极值；
（2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值.







题型二：根据极值、极值点求参数的值
【方法总结】
解含参数的极值问题要注意：
①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．


【例1】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )
A． B． C． D．

【例2】(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．

【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4

【题型专练】
1．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________

2．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.

3．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ）
A． B． C． D．



题型三：根据极值、极值点求参数的范围
【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．
(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；
(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．





【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【题型专练】
1．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

3.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

4.（2020·辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.


5.（2022·江苏南通·高二期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.

7.(2018年北京高考题)设函数。
（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求；
（2）讨论的单调性,若在处取得极小值，求的取值范围。
题型四：利用导数求函数的最值（不含参）
【方法总结】
导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．


【例1】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是( )
A． B． C．0 D．

【例2】(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10


【例3】函数在上的最大值为（　　）
A． B．π C． D．




【例4】（2020·北京高三期中）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．

【题型专练】
1.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）
A． B．1 C． D．

2.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）
A． B． C． D．

3.函数在（0，e]上的最大值为（       ）
A．－1 B．1 C．0 D．e

4.已知函数，，则函数的最大值为（       ）
A．0 B．
C． D．
题型五：根据最值求参数
【例1】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为( )
A． B． C． D．
【例2】(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=( )
A．3 B．4 C．5 D．8

【例3】(2021·江苏测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为( )
A． B． C． D．

【例4】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

题型六：根据最值求参数范围
【例1】（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【例2】（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.

【例3】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.


【例4】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.

【例5】（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.

【题型专练】
1.（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．

2.(2021·全国课时已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_____．

3.(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．

4.（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.

5.（2022重庆高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____.

6.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
第7讲 导数中的5种同构函数问题
【考点分析】
考点一：常见的同构函数图像
八大同构函数分别是：，，，，，，，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．

图1 图2 图3 图4

图5 图6 图7 图8
考点二：常见同构方法
（1）（2）
（3）（4）
【题型目录】
题型一：利用同构解决不等式问题
题型二：利用同构求函数最值
题型三：利用同构解决函数的零点问题
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
题型五：利用同构证明不等式
【典例例题】
题型一：利用同构解决不等式问题
【例1】（2022·河南·模拟预测（理））不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知，，则下列关系式不可能成立的是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）若x，，，则（       ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知、，，，则（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知，且满足，为自然对数的底数，则（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·中山市迪茵公学高二阶段练习）已知，下列不等式，成立的一个是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题）已知满足，（其中是自然对数的底数），则（       ）
A． B． C． D．
5.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
6.（2022·福建·三明一中模拟预测）己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ）
A． B． C． D．
题型二：利用同构求函数最值
【例1】（2022·四川省通江中学高二期中（文））已知函数，若，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知函数，，若，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（       ）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【题型专练】
1.（2022·四川绵阳·高二期末（理））已知函数，，若，，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
2.（2022·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
题型三：利用同构解决函数的零点问题
【例1】（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数（且）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
【例2】（2022·全国·高三专题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3

【题型专练】
1.（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（）可化为同构方程，则________，________．


2.（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
【例1】（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知e是自然对数的底数.若，使，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·宁夏中卫·三模（理））不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·陕西渭南·二模（文））设实数，对任意的，不等式恒成立，则λ的最小值为（       ）
A．e B． C． D．

【例5】（2022·辽宁·高二期中）已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（       ）
A． B．1 C．2 D．

【例6】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（       ）
A．1 B．2 C． D．3


4.（2022·湖北·高二期末）若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

5.（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．


题型五：利用同构证明不等式
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知，且，若，求证：.

【例2】（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【例3】（2022·河北·高三阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．

【例4】（2022·河南郑州·二模（文））已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：

【题型专练】
1．（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.




3.（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．

第8讲 抽象函数7种导函数构造
【题型目录】
题型一：具体函数抽象化解不等式
题型二：构造幂函数型解不等式
题型三：构造指数函数型解不等式
题型四：构造对数函数型解不等式
题型五：构造三角函数型解不等式
题型六：构造型函数解不等式
题型七：复杂型：二次构造
【典例例题】
题型一：具体函数抽象化解不等式
【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（       ）
A． B． C． D．

2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设，若，则x的取值范围是___________.
题型二：构造幂函数型解不等式
【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（       ）
A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）

【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．

【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

【例4】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（       ）．
A． B．
C．或 D．或

【例5】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A． B．
C． D．

【题型专练】
1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（       ）
A． B． C． D．



2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．


3.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．


4.已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（     ）
A． B．
C． D．


5.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
题型三：构造指数函数型解不等式
【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为___________.

【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．


【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．



【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f（x）的导函数为，f（0）=2022，若对任意的，都有，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．


【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.


【题型专练】
1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则下列结论一定成立的是（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．


3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．


4.若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________


5.若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（       ）
A． B．
C． D．
题型四：构造对数函数型解不等式
【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（       ）
A．（－∞，0） B．（－∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）


【例2】已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______．



【例3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.



2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．



3.（多选）已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（       ）
A． B． C． D．


题型五：构造三角函数型解不等式
【例1】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．

【例2】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

2.已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

3.奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为
A． B．
C． D．
题型六：构造型函数解不等式
【例1】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．

【例2】设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数满足：，，且．若角满足不等式，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（       ）
A． B． C． D．
2.设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3.设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．


题型七：复杂型：二次构造
【例1】已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（       ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值



【例2】定义在上的函数满足，且，则（       ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值




【题型专练】
1.设函数满足：，，则时，（       ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值



2.函数满足：，，则当时，（       ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值


第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题
【典例例题】
题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．


【例3】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1.（2022·福建·莆田二中高二期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （       ）
A． B． C． D．



2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．


3．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．

4.（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______.




题型二：方程根的个数问题
【例1】（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期中）设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1




【例2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习多选）已知函数，下列选项正确的是（       ）
A．函数的单调减区间为、
B．函数的值域为
C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是




【例3】（2022·江西赣州·高二期中（文））已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．




【例4】（2022·江西省宜春中学高二开学考试（理））已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．





【题型专练】
1.（2022·广西百色·高二期末（理））设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


2.（2022·宁夏中卫·一模（文））设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


3.（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

第10讲 恒成立能成立3种常见题型
【考点分析】
考点一：恒成立问题
若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
考点二：存在性问题
若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
考点三：双变量问题
①对于任意的，总存在，使得；
②对于任意的，总存在，使得；
③若存在，对于任意的，使得；
④若存在，对于任意的，使得；
⑤对于任意的，使得；
⑥对于任意的，使得；
⑦若存在，总存在，使得
⑧若存在，总存在，使得．
【题型目录】
题型一：利用导数研究恒成立问题
题型二：利用导数研究存在性问题
题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【典型例题】
题型一：利用导数研究恒成立问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例2】【2022年全国甲卷】已知函数．
(1)若fx≥0，求a的取值范围；

【例3】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

【例4】已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；

【例5】已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．

【题型专练】
1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

4.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

5．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

题型二：利用导数处理存在性问题
【例1】（2022·河北秦皇岛·三模）函数，若存在，使得，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．


【例2】已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．

【例3】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为______．


【题型专练】
1.已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

2．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.

3.已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围




4.已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．


5.已知函数.
（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.


题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（       ）
A．0 B． C．1 D．


【例2】已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．




【例3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．


【题型专练】
1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（       ）
A．7 B．5 C． D．3





2．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．


3．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．



4.已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．



5.已知函数，f'x为的导函数．
(1)求的定义域和导函数；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．

第11讲 三角函数的图象与性质6大题型
【题型目录】
题型一： 三角函数的周期性
题型二：三角函数对称性
题型三：三角函数的奇偶性
题型四：三角函数的单调性
题型五：三角函数的值域
题型六：三角函数的图像
【典例例题】
题型一： 三角函数的周期性
【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）．
A． B．
C． D．

【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．

【例4】设函数，则的最小正周期(　　)
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（     ）
A． B． C．2 D．3

【题型专练】
1.（2023全国高三题型专练）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④

2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．

3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．

4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数的最小正周期是________．

5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，则___．

6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数的最小正周期为__________．


题型二：三角函数对称性
【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数的两个相邻的零点为，则的一条对称轴是（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022全国高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称

【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．

【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数的图像关于直线对称，则（    ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为

【例5】(2023江西省高三月考)若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8

【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）

【题型专练】
1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数则函数的图象的对称轴方程为( )
A． B．
C． D．

2.【2017·天津卷】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，

3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（    ）
A． B． C． D．

4.【2018·江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．



5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．最小正周期为 B．单调递增区间
C．图像的一个对移中心为 D．图像的一条对称轴为直线

题型三：三角函数的奇偶性
【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数向左平移个单位后为偶函数，其中.则的值为（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ）
A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心
B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴
C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心

【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数，若，，则（   ）
A． B．
C． D．

【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数在上的最大值与最小值的和为（    ）
A．-2 B．2
C．4 D．6

【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数在处取到最大值，则（   ）
A．奇函数 B．偶函数
C．关于点中心对称 D．关于轴对称

【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.

【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若，则（    ）
A．1 B．2 C． D．


3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为偶函数的一个充分条件是（       ）
A． B．
C． D．

4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4

6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数______．

7.（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，则的值为______．

8．（2022·河南·高二开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．

9.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．




题型四：三角函数的单调性
【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（    ）
A． B．
C． D．

【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6

【例5】（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数的单调增区间为________．

【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．


【题型专练】
1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数为偶函数，其图像与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数的一个单调递增区间为（    ）
A． B． C． D．

2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数，若，，则函数的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．

3.（2022六盘山高级中学）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．

4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，若对于一切恒成立，则的单调递增区间是（   ）
A． B．
C． D．

5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数，，则（    ）．
A．的图像关于点对称 B．图像的一条对称轴是
C．在上递减 D．在的值域为

6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数，给出下列结论：
①的一个周期为
②的图象关于直线对称
③的图象关于点对称
④在单调递减
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④

7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．的一个周期是 B．的最小值为2
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称

8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若在是增函数，则a的最大值是（    ）
A． B． C． D．

9．（2022·全国·高一专题练习）若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（    ）
A． B．2 C．3 D．

11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ）
A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值

题型五：三角函数的值域
【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（     ）
A． B．
C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.

【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（    ）
A． B．
C． D．

【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（       ）
A． B． C． D．
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．

【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为

【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．（2022·江西九江·高一期末）函数的最小值是（    ）
A． B． C． D．

2．（2022·河南焦作·高一期末）函数的最小值为（    ）
A． B． C． D．

3.【2018·北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数，则函数的最大值为__________．

5．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．

6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.

7.【2018·全国Ⅲ】函数在的零点个数为________．

8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.

9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．


题型六：三角函数的图像
【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（    ）

A．
B．
C．时，
D．




【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．在上的值域为

【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（    ）

A．在上是增函数
B．的图象关于对称
C．是奇函数
D．的最小正周期为
【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．
B．
C．在区间上存在506个零点
D．将的图像向右平移3个单位长度后，得到函数的图像

【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递増
D．为偶函数



【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ）

A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【题型专练】
1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）

A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．函数的最小值为


2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为

3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（    ）

A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．在 上单调递减
D．直线为图象的一条对称轴

4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象




6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C．在上单调递增 D．图像关于直线对称

7．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习多选题 ）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度

第12讲 解三角形解答题十大题型总结
【题型目录】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
题型二：解三角形与三角恒等变换结合
题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题
题型五：角平分线相关的定理
题型六：有关三角形中线问题
题型七：有关内切圆问题（等面积法）
题型八：与向量结合问题
题型九：几何图形问题
题型十：三角函数与解三角形结合
【典例例题】
题型一：利用正余弦定理面积公式解题
【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.

【例2】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．

【例3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1） 求角C；
（2）若，，求的周长.

【例4】已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.

【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．

【题型专练】
1.已知分别为三个内角的对边，
（1）求角 A （2）若，的面积为；求.

2.已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．

3.（2021新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．


4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积．

5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在中，角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求外接圆的半径.


题型二 解三角形与三角恒等变换结合
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.

【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．

【例3】在中，满足 ．
（1）求；
（2）设，求的值.
【题型专练】
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．


2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角中，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.


3.在中，已知.
（1）求证：；
（2）求角的取值范围.

题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为
A． B． C． D．

【例2】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【例3】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4

【例4】在中，，，分别为内角，，的对边，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4


【题型专练】
1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．

2.已知a，b，c分别为△ABC角A，B，C的对边，cos2A-cos2B-cos2C=cosAcosB+cosC-cos2B，且c=3，则下列结论中正确的是(   )
A. C=π3 B. C=2π3
C. △ABC面积的最大值为34 D. △ABC面积的最大值为334

3.的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.

4.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设sinAcosB＝sinB（2﹣cosA）．
（1）若b+c=3a，求A；
（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．

5.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___

6.（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．

题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题
【例1】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的周长的取值范围是________.
【例2】在锐角中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若的外接圆的半径为1，求的取值范围.


【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.

【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若角B为钝角，求的取值范围．

【题型专练】
1.在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.

2.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.

3.已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值．

题型五：角平分线相关的定理
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．


【例2】△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.

【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在中，内角的对边分别为，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
(1)求角的大小；
(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值．

【题型专练】
1.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为　　 ．






2.中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

题型六：有关三角形中线问题
遇到角平分线问题一般有两种思路：
思路一：中线倍长法
思路二：利用平面向量
【例1】在中，分别是内角所对的边，且满足 ，
（1）求角的值；
（2）若 ，AC边上的中线， 求的面积.

【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度；
(2)若E为边上一点，且，，求的最小值．

【题型专练】
1．（2022·广东广州·一模）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若，，AD是的中线，求AD的长.
2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角的对边分别为，且______．
(1)求角的大小；
(2)边上的中线，求的面积的最大值．
题型七：有关内切圆问题（等面积法）
【例1】在▵ABC中，sinC2=55，BC=1，AC=5，则
A. AB=25 B. ▵ABC 的面积为32
C. ▵ABC外接圆直径是552 D. ▵ABC内切圆半径是3-52

【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在中，．
(1)求角的大小；
(2)若的内切圆圆心为，的外接圆半径为4，求面积的最大值．

【题型专练】
1.三角形有一个角是，夹在这个角的两边长分别为8和5，则(    )
A. 三角形另一边长为6 B. 三角形的周长为20
C. 三角形内切圆面积为3π D. 三角形外接圆周长为733π

2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在中，角A，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，记为的内切圆半径，求的最大值.

题型八：与向量结合问题
【例1】锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．




【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若点D满足，求面积的最大值．

【题型专练】
1.在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）的值．

2.中，、、分别是三内角、、的对边，若．解答下列问题：
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若，求的面积．

题型九：几何图形问题
【例1】在中，，，点在边上，，．
（1）求；
（2）求的面积．





【例2】如图，在中，，，点在边上，且，．
（1）求；
（2）求，的长．


【例3】如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．


【例4】如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．



【例5】在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.

【题型专练】
1.如图，在平面四边形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．


2.在平面四边形中，的面积为2．
（1）求的长；
（2）求的面积．

3.如图，在平面四边形中，，，．
（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；
（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．

4.如图所示，已知圆内接四边形，记．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的值及四边形的面积．


5.如图，角，，，为平面四边形的四个内角，，，．
（1）若，，求；
（2）若，，求．


6.某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．
（1）如果，求四边形的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．



7.的内角的对边分别为已知.

（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.

8.四边形的内角与互补，．
（1）求和；
（2）求四边形的面积．

题型十：三角函数与解三角形结合
【例1】（2020·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）设向量，，，记函数
（1）求函数的对称轴及对称中心；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.

【例2】已知f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1．
(1)求f(x)的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a=1，b=2，f(A)=2，求角C．



【题型专练】
1．（2022·浙江大学附属中学高二期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值和函数的单调增区间；
(2)已知的三个内角分别为，其对应的边分别为，，，若有，，求面积的最大值.

2.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，为边上一点，，为锐角，且，求的正弦值．


第13讲 平面向量十大题型总结
【题型目录】
题型一：平面向量线性运算
题型二：平面向量共线问题
题型三：平面向量垂直问题
题型四：平面向量的夹角问题
题型五：平面向量数量积的计算
题型六：平面向量的模问题
题型七：平面向量的投影问题
题型八：万能建系法解决向量问题
题型九：平面向量中的最值范围问题
题型十：平面向量中多选题
【典型例题】
题型一：平面向量线性运算
【例1】在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．

【例2】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【例3】在中，点P为中点，点D在上，且，则( )
A． B．
C． D．

【例4】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【例5】如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（    ）

A． B．
C． D．
【题型专练】
1.设分别为的三边的中点，则( )
A． B． C． D．
2.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.
3.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
6．设为所在平面内一点，且满足，则（    ）
A． B． C． D．

题型二：平面向量共线问题
【例1】已知向量，，若，则（    ）
A． B． C． D．2


【例2】与模长为13的向量平行的单位向量为（    ）
A． B．
C．或 D．或

【例3】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________．

【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___．

【例5】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【题型专练】
1.已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
2.已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.
3.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A． B． C． D．
5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）

A．1 B． C．2 D．3
6.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量垂直问题
【例1】已知向量，且，则=（ ）
A． B． C．6 D．8

【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.

【例3】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （ ）
A． B． C． D．
【例4】已知向量，且，则实数___________.

【例5】已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【例6】已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．

【题型专练】
1.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．

2.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．

3.已知向量，若，则__________.

4.已知向量，且，则实数_____________．

5.（多选题）在中，，，，若为直角三角形，则的值为（    ）
A． B． C．－1 D．

题型四：平面向量的夹角问题
【例1】已知平面向量，满足，，则（    ）
A． B． C． D．

【例2】已知，，则与的夹角等于（    ）
A．150° B．90° C．60° D．30°



【例3】（多选题）已知向量=（2，1），，则（    ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．

【例4】若向量，满足，，，则与的夹角为_________．

【例5】已知向量满足，则(    )
A． B． C． D．
【例6】若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．

【例7】设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为 ． 

【例8】已知的三个顶点分别为求的大小．

【题型专练】
1.设非零向量满足，则向量与的夹角为（    ）
A． B． C． D．

2.已知，，且，则___________.

3.已知向量满足，，，则的夹角等于___________.

4.若两个非零向量、满足，则与的夹角___________.

5.已知单位向量，满足，若向量，则＝（    ）
A． B． C． D．

6.已知向量满足，则向量与所成的夹角为（    ）
A． B． C． D．

7.已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ）
A． B． C． D．

8.已知向量，，则
A． B．
C． D．


9.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为
A． B．
C． D．

10.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.

11.已知向量，的夹角为，则__________.

12.已知向量满足，则 （ ）
A． B． C． D．

题型五：平面向量数量积的计算
【例1】（2021新高考2卷）已知向量_______．

【例2】在△中，为△的外心，则等于
A． B．6 C．12 D．

【例3】已知边长为3的正，则（    ）
A．3 B．9 C． D．6

【例4】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（     ）
A． B．
C． D．

【例5】在中，，，，，则=______．


【题型专练】
1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（　　）

A． B． C． D．

2.在中，，﹒若，则______．

3.中，，，为线段上任一点，则（   ）
A．8 B．4 C．2 D．6

4.已知为等边三角形，为的中点，，则（    ）
A． B． C．2 D．4

5.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）

A．-3 B． C． D．

6．在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.

7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______


题型六：平面向量的模问题
【例1】已知，，则的最小值为________．

【例2】（2021新高考1卷多选题）已知为坐标原点，点，，，，则：
A． B． C． D．

【例3】已知向量，的夹角为60°，，，则= ．

【例4】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，

【例5】设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则


【题型专练】
1．设向量，，若(∈R)，则的最小值为
A． B．1 C． D．

2.已知向量，，且，则（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2

3.已知向量，满足，，，则（    ）
A． B． C． D．

4.（多选题）已知，，，且，则可能为（    ）
A． B． C． D．

5.平面向量与的夹角为，，则_____________．

6.已知向量满足，且，则__________．

7.设为单位向量，且，则______________.

8.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9.已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ．

题型七：平面向量的投影问题
【例1】已知向量，则在上的投影向量的模为（    ）
A． B． C． D．1

【例2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ）
A．12 B．8 C．-8 D．2

【例3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（    ）
A． B． C． D．1
【例4】已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（    ）
A． B．
C． D．

【例5】已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（    ）
A． B． C． D．

【例6】设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1．已知，，则在上的投影向量为（   ）
A． B． C． D．

2．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．
3.（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是

4.（多选题）已知，，下列结论正确的是（       ）
A．与同向共线的单位向量是
B．与的夹角余弦值为
C．向量在向量上的投影向量为
D．

5.（多选题）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）
A．若，则
B．点，与向量同方向的单位向量为
C．若，则与的夹角为60°
D．若向量，则向量在向量上的投影向量为

6．己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．

7.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．

8.已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．

9.若向量满足，则在方向上投影的最大值是
A． B． C． D．




题型八：万能建系法解决向量问题

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形

平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备 （1）三角函数知识；
（2） 向量三点共线知识（对面女孩看过来）．
【例1】如图，在等腰梯形中，，则（    ）

A． B． C． D．
【例2】如图，正八边形中，若，则的值为________．

【题型专练】
1.如图，在梯形中，，，，，，则___________.

2.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．

题型九：平面向量中的最值范围问题
【例1】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【例2】是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（    ）
A． B． C．3 D．－3

【例3】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（    ）
A． B． C．3 D．－3

【例4】如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【例5】已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（    ）
A．0 B． C． D．2
【例6】已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．

【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（    ）

A．12 B．24 C．36 D．18

【例8】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21



【题型专练】
1．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．

2．在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.

3.为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.

4．已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.
5.已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为
A． B．1 C． D．

6.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．



7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．


8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.

9.已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

题型十：平面向量中多选题
【例1】已知与均为单位向量，其夹角为，则（    ）
A． B．
C．若，则 D．若，则

【例2】已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（    ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2

【例3】已知向量=（2，1），，则（    ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．

【例4】在直角三角形中，，，，点P在斜边BC的中线AD上，则的值可能为（    ）
A． B．8 C． D．2

【例5】已知向量，，则下列命题正确的是（    ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得

【例6】已知非零平面向量，，，则下列结论正确的是（    ）
A．存在唯一的实数对，使
B．若，则
C．若且，则
D．若，则

【例7】正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（    ）

A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为
【例8】下列说法中错误的为（    ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为

【例9】已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（    ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．


【例10】如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ）

A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则

【题型专练】
1.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．

2.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心

3.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为

4.在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（    ）
A．1 B． C．2 D．

5.已知是平面向量，是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则可能取到的值为（    ）
A． B． C． D．

6.设向量，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．

7.已知是单位向量，且，则（    ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．

8.下列选项中正确的是（    ）
A．若平面向量，满足，则的最大值是5；
B．在中，，，O是的外心，则的值为4；
C．函数的图象的对称中心坐标为
D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；

9.向量 满足，，，则的值可以是（  ）
A．3 B． C．2 D．
10.已知，，，且，则可能为（    ）
A． B． C． D．

11.已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（    ）
A． B． C．4 D．6




12.八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（    ）

A． B．
C． D．

13.平面向量，其中，则（    ）
A． B．
C．若，则 D．若，则




第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型
【考点分析】
考点一：等差数列的基本概念及公式
①等差数列的定义：（或者）．
②等差数列的通项公式：，通项公式的推广：
③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）．
④等差数列的前项和公式：
考点二：等差数列的性质
①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则．
特别地，当时，则．
②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即．
③等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即
因为
当时，开口向上，有最小值；
当时，开口向下，有最大值；
【题型目录】
题型一：等差数列通项求和公式运用
题型二：等差中项及性质问题
题型三：等差数列前项和的性质
题型四：等差数列前n项和的最值
题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题
题型六：等差数列新文化试题
题型七：对于含绝对值的数列求和问题
【典型例题】
题型一：等差数列通项求和公式运用
【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（    ）
A．671 B．672 C．673 D．674

【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（       ）
A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（    ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）
A．18 B．16 C．14 D．12

【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5

【题型专练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ）
A．115 B．110 C． D．
2．（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且
（1）求数列的首项､公差；
（2）设，若，求正整数m的值.

3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．

4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则的取值可能是（   ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．


题型二：等差中项及性质问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ）
A．8 B．6 C． D．3

【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列的前项和为，若则（    ）
A．150 B．120 C．75 D．60
【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an}满足，且，是函数的两个零点，则的值为（    ）
A．4 B．－4 C．4040 D．－4040
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，，，求项数的值．
【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且，则（    ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.

2.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（    ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．

3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列中，已知，，，则______．

4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．


5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列的前项和为，若，满足，其中为边上任意一点，则（       ）
A．2020 B．1020 C．1010 D．2

6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是的两根，则（    ）
A． B． C． D．

题型三：等差数列前项和的性质
【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列的前n项和为，若，，则（    ）．
A．27 B．45 C．18 D．36

【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（    ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040

【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（    ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则

【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（    ）
A．110 B．150
C．210 D．280

2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018

3.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列的前项和分别是，且，则__________.

4.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ）
A． B． C． D．

5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ）
A． B． C．-2 D．2

6.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（    ）
A． B． C． D．


题型四：等差数列前n项和的最值
【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10

【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：
①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．
其中正确说法的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．

【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．

【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（    ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（    ）
A．公差 B．
C．是各项中最大的项 D．是中最大的值
2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（    ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项

3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ）
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13

4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（    ）
A．25 B．22 C．24 D．23


题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题
【例1】（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.


【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（       ）
A．672 B．1011 C．2022 D．6066

【题型专练】
1.（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（    ）
A．289 B．295 C．301 D．307

2.（2022·海南中学高三）已知数列满足，则（       ）
A．50 B．75 C．100 D．150


3.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ）
A． B． C． D．

4.（2022·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（       ）
A． B．0 C． D．


题型六：等差数列新文化试题
【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（       ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸

【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）2021年是中国共产党建党100周年，《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长、、、、（单位：）成等差数列，对应的宽为、、、、（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，，则（    ）
A．124 B．126 C．128 D．130


题型七：对于含绝对值的数列求和问题
【例1】（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．

【例2】（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.

【题型专练】
1.（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）数列中，，，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．

2.（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．


第15讲 等比数列的通项及前n项和性质7大题型总结
【考点分析】
考点一：等比数列的基本概念及公式
①等比数列的定义：（或者）．
②等比数列的通项公式：．
③等比中项：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有（）．
④等比数列的前项和公式：
考点二：等比数列的性质
①通项下标和性质：在等比数列中，当时，则．
特别地，当时，则．
②等比数列通项的性质：，所以等比数列的通项为指数型函数．
③等比数列前n项和的常用性质：，即，其中
【题型目录】
题型一：等比数列的基本运算
题型二：等比中项及性质
题型三：等比数列通项下标的性质及应用
题型四：等比数列前项片段和的性质及应用
题型五：等比数列前项和的特点
题型六：等比数列的单调性
题型七：等比数列新文化试题
【典型例题】
题型一：等比数列的基本运算
【例1】在各项为正的递增等比数列 ​中，​，则​（    ）
A．​ B．​ C．​ D．​
【例2】数列 中，， 若，则（    ）
A．5 B．6 C．7 D．17
【例3】已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【例4】各项为正数且公比为q的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【例5】已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（    ）
A． B． C． D．
【例6】若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ）
A． B． C． D．
【例7】已知等比数列：，2，，8，…，若取此数列的偶数项，…组成新的数列，则等于（    ）
A． B． C． D．
【例8】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （    ）
A．31 B． C．31或5 D．或5
【例9】已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【例10】已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．


【例11】设等比数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

【例12】已知等差数列的前项和为.
(1)求的通项；
(2)设数列满足：的前项和为，求使成立的最大正整数的值.

【题型专练】
1.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（    ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是公差为等差数列 D．
2．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．是等比数列 D．
3.（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，若存在两项，使得，且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（文））设是等比数列，且，，则（    ）
A．12 B．24 C．32 D．48
5．（2022·山东泰安·三模）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.
7.已知等比数列的公比，，，则___________.
8.设等比数列的前n项各为，已知，，则___________.
9.已知等比数列的前n项和为，，，则______．
10．已知在正项等比数列中成等差数列，则__________．
11．正项等比数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)记为的前项和.若,求.


12．已知公比小于的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值．
题型二：等比中项及性质
【例1】三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【例2】若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（    ）
A．5 B． C． D．
【例3】已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（    ）
A． B． C． D．


【例4】已知等比数列满足，公比，且，则（    ）
A．
B．当时，最小
C．当时，最小
D．存在，使得
【例5】设，，三个数成等比数列，则实数______．

【例6】已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.

【题型专练】
1．与的等比中项是（    ）
A． B． C． D．

2.若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

3.若不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当时，，，（    ）．
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列
4.已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．
5.已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则__________.

6.已知成等差数列，成等比数列，则____________.

7.若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．

8.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（       ）
A． B． C． D．10

题型三：等比数列通项下标的性质及应用
【例1】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ）
A． B． C． D．

【例2】已知为等比数列，，则（    ）
A．1或8 B．或8
C．1或 D．或 

【例3】设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ）
A． B． C． D．

【例4】等比数列满足且，则当时，（    ）
A． B． C． D．

【例5】在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．

【例6】已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（    ）
A．36 B．35 C．34 D．33

【例7】在正项等比数列中，，则（    ）
A． B．的最小值为1
C． D．的最大值为4

【例8】在等比数列中，，，则______．

【题型专练】
1.已知递增等比数列，，，，则（    ）
A．8 B．16 C．32 D．64

2.在等比数列中，，，则（    ）
A．5 B．7 C．－5 D．－7

3.等比数列中，且，则_______
4.若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（    ）
A． B．1011
C． D．1012
5.已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（    ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为4042
6.两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则(　　)
A．512 B．32 C．8 D．2
7.（多选题）已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，，则（       ）
A．
B．
C．
D．
8.若等比数列的各项均为正数，且，则___________.
9.在正项等比数列中，若，则___________.
题型四：等比数列前项片段和的性质及应用
【例1】已知等比数列的前项和为，，，（　　）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
【例2】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ）
A． B．
C． D．
【例3】若等比数列的前n项和为，，，则（    ）
A． B． C． D．
【例4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．

【例5】（多选题）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ）
A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列

【题型专练】
1．等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12

2.已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（    ）
A． B． C．12 D．15

3.若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（    ）
A． B．
C． D．

4.设等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A． B． C．5 D．7

5.设是等比数列的前n项和，若，则______.

题型五：等比数列前项和的特点
【例1】在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【例2】已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是
A． B． C． D．
【例3】已知等比数列的前项和为，则数列的通项公式______________.

【题型专练】
1.一个等比数列的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．

2．等比数列的前n项和，则（    ）
A． B．2 C．1 D．

3．记为等比数列的前项和，已知，，则_______.

题型六：等比数列的单调性
【例1】等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.

【例2】设是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要

【例3】已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(    )
A．， B．，
C．， D．，


【例4】（2022·全国·高二课时练习多选题）关于递增等比数列，下列说法正确的是（    ）．
A．当时， B．当时，
C．当时， D．

【题型专练】
1.设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（    ）
A．， B．，
C． D．

2.在等比数列中，公比是，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（    ）
A． B． C． D．

题型七：等比数列新文化试题
【例1】十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（       ）（参考数据：）
A． B． C． D．


【例2】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【例3】1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）．

A．7 B．8 C．9 D．10

【例4】我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（    ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【例5】费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足，则数列的前项和满足的最小自然数是（    ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（       ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只

2.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.


不妨记第个图中的图形的周长为，则（       ）
A． B． C． D．
3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ）
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
4.北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（       ）（参考数据，）


A． B． C． D．
5.十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（    ）（参考数据：）
A． B． C． D．
6.毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.

7．（多选题）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．
C． D．


第16讲 数列的通项6种常见题型总结
【题型目录】
题型一：已知，求
题型二：叠加法（累加法）求通项
题型三：叠乘法（累乘法）求通项
题型四：构造法求通项
题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
【典型例题】
题型一：已知，求
【例1】已知数列的前项和. 若，则（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．


【题型专练】
1.已知数列的前项和是，
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

2．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.

3．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列满足，则的前n项和（       ）
A． B．
C． D．

题型二：叠加法（累加法）求通项
【例1】在数列中，，则（    ）
A． B． C． D．

【例2】已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则（    ）
A． B． C． D．

【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（    ）
A．290 B．325 C．362 D．399


【例4】已知数列满足，，则______．

【例5】已知数列中，，，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，求使得成立的最小整数.


【题型专练】
1．若，，，则_________．

2．数列满足，则_____．

3．若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．


4．已知数列满足：，，（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．


5．已知无穷数列的前项和为，，，对任意的，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的通项公式；

题型三：叠乘法（累乘法）求通项
【例1】已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ）
A． B．
C． D．

【例2】在数列中，，，，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】已知数列满足，则___________．

【例4】记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.

【例5】设数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)对于任意的正整数，，求数列的前项和．


【例6】在数列中，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，且数列的前项n和为，证明：.

【题型专练】
1．数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．

2．数列满足：，，则通项________．

3．设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________

4．已知数列满足：，，求数列的通项公式.


5．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.


6．已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．

题型四：构造法求通项
【例1】已知数列中，，则等于（    ）
A． B．
C． D．



【例2】若数列和满足，，，，则（    ）
A． B． C． D．


【例3】（多选题）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和为

【例4】（多选题）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(    )
A． B．是递增数列
C． D．数列为周期数列


【例5】在①；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.
已知数列的前项和为，且，_____.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.


【例6】已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，若，求．



【题型专练】
1.（多选题）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）
A． B．数列是等比数列
C． D．

2．已知数列满足，则数列的前项和为______．


3．已知数列中，，，则通项______；



4．已知数列满足，.求数列的通项公式;



5．已知数列的前项和，求的通项公式．



6．设数列满足，.
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设的前n项和为，求满足的n的最大值.



7．已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为，证明：．



8．已知数列，，.
(1)求数列的前5项；
(2)求数列的前n项和.


9．已知数列和满足，，，，则______，______．


题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
【例1】已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列


【例2】（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.

【例3】已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.


【例4】数列中，为的前项和，，.
(1)求证: 数列是等差数列，并求出其通项公式；
(2)求数列的前项和.



【例5】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_____________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.


【题型专练】
1．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））设数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；


2．已知数列的前项和为，且满足，.求和.


3．已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式.


4．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.


5．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．


6．已知数列中，，其前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列的前n项和为，求证：.

第17讲 数列求和5种常考题型总结
【题型目录】
题型一：分组求和法
题型二：裂项相消法求和
题型三：错位相减法求和
题型四：先求和，再证不等式
题型五：先放缩，再求和
【典型例题】
【例1】已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.


【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.

【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．


【题型专练】
1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

2.已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和.


3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.


4.已知等差数列满足，设.
(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；
(2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.




题型二：裂项相消法求和
【例1】首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求．

【例2】已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．


【例3】数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.



【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.
(1)证明：数列为常数列；
(2)设数列的前项和为，求的通项公式.




【例5】已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)，是数列的前项和，求．


【题型专练】
1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求.


2．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.



3.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．





4.记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.



5．已知数列前n项和为，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.



题型三：错位相减法求和
【例1】已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.


【例2】已知各项均不为零的数列满足，且，，设.
(1)证明：为等比数列；
(2)求的前项和.

【例3】已知数列的首项.
(1)求；
(2)记，设数列的前项和为，求.


【例4】已知各项为正数的数列前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列前n项和为，求证：．


【例5】已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．


【题型专练】
1．若公比为c的等比数列的首项且满足．
(1)求c的值；
(2)求数列的前n项和．

2．已知数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.

3．已知数列前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.


4.已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.


5.已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．



题型四：先求和，再证不等式
【例1】设为数列{}的前n项和，已知，且．
(1)证明：{}是等比数列；
(2)若成等差数列，记，证明＜．





【例2】已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.




【例3】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)证明:




【例4】已知数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.





【题型专练】
1．已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求证：.


2.已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．



3．已知数列的首项，，.
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：.



4．已知数列{}的前项和为，，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.证明：




5.已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，
（i）证明：数列为等差数列；
（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.


6．已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.


题型五：先放缩，再求和
【例1】已知数列的前项和为， 当时，．
(1)求数列的通项公式;
(2)求证：．


【例2】已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若，求证：.

【例3】已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．


【例4】已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求；
(2)求证：．


【题型专练】
1.已知数列满足：，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，，求证：.




2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．




3.已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.




4．已知数列满足，且,是的前项和.
(1)求；
(2)若为数列的前项和，求证：.

第18讲 直线与圆常考6种题型总结
【考点分析】
考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
考点二：圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
考点三：圆的一般方程
圆的一般方程为，圆心坐标：，半径：
注意：①对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
②二元二次方程，表示圆的充要条件是
考点四：以 为直径端点的圆的方程为
考点五： 阿波罗尼斯圆
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆.
考点六：直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离，圆的半径为，则
直线与圆的位置关系 几何意义 代数意义 公共点的个数
①直线与圆相交 两个
②直线与圆相切 一个
③直线与圆相离 0个
注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程
考点七：直线与圆相交的弦长问题
法一：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长
法二：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 ，利用韦达定理，弦长公式即可


【题型目录】
题型一：圆的方程
题型二：直线与圆的位置关系
题型三：直线与圆的弦长问题
题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题
题型五：圆中最值问题
题型六：圆与圆的位置关系问题
【典型例题】
题型一：圆的方程
【例1】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．

【例2】已知圆关于直线对称，则的最小值为（   ）
A． B． C．4 D．8
【例3】过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．

【例4】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（       ）米.（注意：≈）

A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48
【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．4

【题型专练】
1．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

2.经过三个点的圆的方程为（       ）
A． B． C． D．

3.过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

4.已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

5.若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（       ）．
A． B． C． D．
6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（　　）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

题型二：直线与圆的位置关系
【例1】直线与圆的位置关系是（    ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定

【例2】若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

【例3】直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（    ）
A． B．
C． D．

【例4】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切

【题型专练】
1.直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个

2.已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.

3.（2022全国新高考2卷）设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆C：
＋＝1有公共点，则a的取值范围为_______．

题型三：直线与圆的弦长问题
【例1】已知圆C：与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C的面积为（       ）
A． B． C． D．

【例2】已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（    ）
A．10 B．11 C．12 D．13

【例3】已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（       ）
A．4 B． C．8 D．

【例4】（多选题）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（    ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

2.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（       ）
A． B． C． D．

3.若直线 与圆相交于两点， 且(其中为原点)，则的值为（       ）
A．或​ B．​ C．或​ D．​

4.直线：与圆：相交于A，B两点，则的最小值是（       ）
A． B．2 C． D．4

题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题
【例1】直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．

【例2】已知圆：，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为，，则______.

【例3】点在圆：上，，，则最大时，___________.

【例4】过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．四边形的外接圆方程为
C．直线方程为
D．三角形的面积为


【题型专练】
1.过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（       ）
A． B．
C． D．

2.直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2

3.过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．

题型五：圆中最值问题
【例1】已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（       ）
A． B． C． D．

【例2】已知点是圆上的点，点是直线上的点，点是直线上的点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

【例3】已知直线与、轴的交点分别为、，且直线与直线相交于点，则面积的最大值是（    ）
A． B．
C． D．


【例4】已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

【例5】已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（          ）
A．2 B． C． D．1

【例6】若，则的取值范围为

【例7】AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（       ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]

【题型专练】
1．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

2.（多选题）已知点P在圆O:上,直线:分别与轴,轴交于两点,则（    ）
A．过点作圆O的切线,则切线长为 B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为 D．的最小值是

3．已知动点，分别在圆：和圆：上，动点在直线上，则的最小值是_______


4．过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为______．

5．已知圆 是圆上的动点，则的最大值为_________；的最小值为____________．

6.世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．

题型六：圆与圆的位置关系问题
【例1】已知圆与圆，则圆与的位置关系是（    ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离

【例2】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0

【例3】圆与圆的公共弦长为（    ）
A． B． C． D．

【例4】已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（       ）
A．12 B．11 C．10 D．9


【题型专练】
1．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.

2.（2022全国新高考1卷）写出与圆＋＝1和＋＝16都相切的一条直线的方程_______．

3.（多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（       ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为

4.已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

5.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（       ）
A． B．9 C．7 D．

第19讲 椭圆中6种常考基础题型
【考点分析】
考点一：椭圆的通径
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
考点二：椭圆中有关三角形的周长问题

图一 图二
如图一所示：的周长为
如图一所示：的周长为
考点三：椭圆上一点的有关最值
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
考点四：椭圆的离心率
椭圆的离心率，
考点五：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）

考点六：中点弦问题（点差法）
中点弦问题：若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
【题型目录】
题型一：椭圆的定义有关题型
题型二：椭圆的标准方程
题型三：椭圆的离心率
题型四：椭圆中焦点三角形面积
题型五：椭圆中中点弦问题
题型六：椭圆中的最值问题
【典型例题】
题型一：椭圆的定义有关题型
【例1】已知△ABC的周长为10，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．

【例2】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线

【例3】设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则
A． B． C． D．

【例4】、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例5】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【例6】方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．

【例7】点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．

【例8】椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）
A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍

【题型专练】
1.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）

2.焦点在x轴上的椭圆 焦距为8，两个焦点为，弦AB过点，则的周长为（ ）
A．20 B．28 C． D．
3.（2021新高考1卷） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6

4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ）
A． B． C． D．

5.设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（       ）
A． B． C． D．

6.已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线

7.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（       ）
A． B． C． D．

8.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（       ）
A． B．2 C． D．4


9.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6


10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（       ）
A． B． C． D．

11．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）
A． B． C． D．

12.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10

题型二：椭圆的标准方程
【例1】已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．



【例2】已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为，，的面积为，焦距为2，过，且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，则的周长是（    ）
A． B．8 C． D．16



【例3】如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（    ）
A． B． C． D．

【例5】过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．

【例6】已知分别是椭圆的左､右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于C，D两点，的周长为8，且直线，的斜率之积为，则椭圆的方程为（    ）
A． B． C． D．

【例7】已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（    ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1．已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．

2．已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ）
A． B． C． D．

3．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ）
A． B． C． D．

4．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．


5．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（    ）
A． B． C． D．

6．已知椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．

7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．

8．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

9．已知椭圆C的焦点为，，过的直线交于C与A，B，若，，则C的方程为（    ）
A． B． C． D．

题型三：椭圆的离心率
【例1】已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．

【例2】已知椭圆C：的左焦点为，直线与C交于点M，N.若，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

【例3】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．

【例4】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ）
A． B． C． D．

【例5】设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【例6】是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：

①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（    ）
A．① B．②③ C．①② D．①③

【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．


【题型专练】
1．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．

2．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．



3.设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在C上（M位于第-象限），且点M，N关于原点O对称，若，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．


4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（     ）

A． B． C． D．



5．如图圆柱的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱内部，现用一垂直于轴截面的平面去截圆柱，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．

7．已知点，，为椭圆：上不重合的三点，且点，关于原点对称，若，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．

8．已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（    ）
A． B． C． D．



题型四：椭圆中焦点三角形面积
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点， ，若的面积为，则的短袖长为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6

【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【题型专练】
1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．

2．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．

3．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（    ）
A． B． C． D．9




题型五：椭圆中中点弦问题
【例1】已知椭圆C：（）的长轴为4，直线与椭圆C相交于A、B两点，若线段的中点为，则椭圆C的方程为（    ）
A． B． C． D．

【例2】平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（    ）
A． B．
C． D．-1

【例3】椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．

【例4】已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（    ）
A． B． C． D．

【例5】离心率为的椭圆与直线的两个交点分别为A，B，P是椭圆不同于A、B、P的一点，且、的倾斜角分别为，，若，则（    ）
A． B． C． D．


【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

【例7】（2022·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.

【例8】椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为__________．

【题型专练】
1．已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（      ）
A． B．
C． D．

2.椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

3．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为，则的斜率与直线的斜率的乘积（    ）
A． B．1 C． D．

4．点，在椭圆上，点，，则直线的方程是（    ）
A． B． C． D．

5．已知椭圆上有三个点､､，，，的中点分别为､､，，，的斜率都存在且不为0，若(为坐标原点)，则（    ）
A．1 B．-1 C． D．

6．直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

7．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（    ）
A． B． C． D．

8．已知过点的直线与椭圆交于两点，且满足则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．

题型六：椭圆中的最值问题
【例1】已知椭圆的上、下焦点分别是，，点P在椭圆C上则下列结论正确的是（    ）
A．有最大值无最小值 B．无最大值有最小值
C．既有最大值也有最小值 D．既无最大值也无最小值

【例2】若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

【例3】已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（    ）
A．（0，） B．（0，2）
C．（l，2） D．（，2）

【例4】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

【例5】已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

【例6】设、满足则的最大值为（     ）
A．2 B．3 C．4 D．6

【例7】设，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ）
A．9 B．1 C．2 D．0

【题型专练】
1．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

2．已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（    ）
A．10 B．9 C．8 D．2

3．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是

A． B． C． D．

4．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ）
A． B． C．2 D．

5．若点，分别在椭圆和直线上运动，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为10，则的值是（    ）
A． B． C． D．
7．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为，，其中，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

8．设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（   ）
A． B． C． D．

第20讲 双曲线高考6大常考基础题型总结
【考点分析】

考点二：双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
考点三：双曲线常考性质结论
①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
【题型目录】
题型一：利用双曲线定义解题
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线焦点三角形面积
题型四：双曲线的渐近线有关题型
题型五：双曲线的离心率问题
题型六：双曲线的最值问题
【典型例题】
题型一：利用双曲线定义解题
【例1】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（       ）
A． B． C．或 D．或


【例2】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则

【例3】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 ．

【例4】已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ）
A．若，则曲线为椭圆
B．若，则曲线为双曲线
C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则
D．若为双曲线，则渐近线方程为

【题型专练】
1.设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（       ）
A． B．1 C． D．2

2.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2| = .

3.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（       ）
A． B．
C．或 D．

题型二：求双曲线的标准方程
【例1】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．

【例2】已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．

【例3】已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．

【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（    ）
A． B． C． D．

2．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．


3．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．

4.已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________.

5．（2022·重庆·三模多选）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（       ）
A．的周长 B．的周长与之差
C． D．

题型三：双曲线焦点三角形面积
【例1】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8

【例2】已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．

【题型专练】
1．（多选）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（    ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4

2.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2

题型四： 双曲线的渐近线有关题型
焦点在轴上的渐近线为
焦点在轴上的渐近线为
若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可
即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
【例1】双曲线与有相同的（       ）
A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点


【例2】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．


【例3】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．



【例4】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．

【例5】设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若，，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．


2.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（       ）
A．3 B． C． D．


3.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 （ ）
A． B．2 C． D．

4.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．

5.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．

题型五： 双曲线的离心率问题
【例1】已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆去双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5

【例2】双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（    ）
A．2 B． C． D．

【例3】已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

【例4】已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

【例5】设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】
1．过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

2．已知双曲线，左、右焦点分别为、，O为坐标原点，P为右支上一点，且，O到直线的距离为b，则双曲线C的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．

3．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
4．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3

5．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．

6．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C． D．2

7．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ）
A．2 B． C． D．

题型六： 双曲线的最值问题
【例1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

【例2】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.

【例3】已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．



【题型专练】
1.设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ）
A．6 B．9 C．12 D．14

2．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（            ）
A． B． C． D．

3.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．

4．已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为___________.

第21讲 抛物线定义及性质常考5种题型
【考点分析】
考点一：抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
考点二：抛物线焦点弦焦半径公式

图1-3-1 图1-3-2
焦半径：，，．
焦点弦：．
三角形面积：．
【题型目录】
题型一：抛物线的定义及方程
题型二：抛物线的性质
题型三：抛物线焦点弦焦半径
题型四：有关三角形面积问题
题型五：抛物线中的最值问题
【典型例题】
题型一：抛物线的定义及方程
【例1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则（    ）
A．1 B．2 C． D．

【例2】抛物线的准线方程是（       ）
A． B． C． D．
【例3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（    ）
A． B． C． D．

【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（    ）

A．18米 B．21米 C．24米 D．27米

【例5】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（       ）
A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为
C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴

2.抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ）
A．4 B．8 C．10 D．12

3.已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ）
A． B．1 C．2 D．4

4．（2022·广东广州·高二期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8

5.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．


题型二：抛物线的性质
【例1】抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（       ）
A．2 B． C．6 D．

【例2】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例3】已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（    ）
A． B． C． D．4

【例4】已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（       ）
A． B．6 C． D．7

【例5】（2022·全国·高考真题多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．

【题型专练】
1．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、，与直线交于点，若，，则（    ）
A．1 B．3 C．2 D．4

2.（多选题）已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（       ）
A． B．
C．A，，三点共线 D．

3.已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（       ）
A．2 B． C． D．
4.（多选题）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ）
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
5.（多选题）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（       ）
A． B．为线段的中点
C． D．

6.已知点F是抛物线的焦点，A，B，C为E上三点，且，则___________．

题型三：抛物线焦点弦焦半径
【例1】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（       ）
A． B． C．或 D．或

【例2】（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（       ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．若，则直线的斜率为
C．若为坐标原点，则三点共线
D．

【例3】已知抛物线 ， 过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作轴的垂线，垂足分别为C，D， 则的最小值为（      ）
A． B．2 C．3 D．5




【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）
A．2 B． C．3 D．

2.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ）
A． B．8 C．12 D．

3．（2022·全国·高考真题多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．

4.已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________

题型四：有关三角形面积问题
【例1】经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．

【例2】抛物线的焦点为，直线与抛物线分别交于两点（点​在第一象限），则的值等于________.



【题型专练】
1.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ）
A． B． C． D．

2.已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（       ）
A． B． C． D．

题型五：抛物线中的最值问题
【例1】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ）
A．1 B． C． D．

【例2】已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．

【例3】（多选题）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为

【例4】已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.

【题型专练】
1.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．

2.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________.

3.已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.

4．已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值4．
(1)求；
(2)若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．





第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型
【考点分析】
考点一：弦长公式
设，根据两点距离公式．
注意：
①设直线为上，代入化简，得;
②设直线方程为，代入化简，得
③，其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，为二次项系数
考点二：三角形的面积处理方法
①底·高 （通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
②水平宽·铅锤高或

③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
考点三：四边形面积处理方法
①若四边形对角线与相互垂直，则
②将四边形面积转化为三角形面积进行解决
【题型目录】
题型一：求弦长及范围问题
题型二：三角形面积及范围问题
题型三：四边形面积及范围问题
【典型例题】
题型一：求弦长及范围问题
【例1】已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当求此时直线的方程；




【例2】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.




【例3】已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．

(1)求椭圆的方程；
(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．





【题型专练】
1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．


2.已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．



3.已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．

4.已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.


题型二：三角形面积及范围问题
【例1】在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．


【例2】已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点．
(1)求E的方程；
(2)设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．



【例3】已知椭圆：的离心率，短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右顶点，，是轴上关于轴对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，点为中点，点在直线上且满足（为坐标原点），记，的面积分别为，，若，求直线的斜率．

【例4】已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率存在且不为0，点在轴上的射影分别为，且三点共线，求证：与的面积相同.
【例5】已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设的面积为的面积为，求的取值范围．




【题型专练】
1.已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.
(1)是上一动点，求的范围；
(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.




2．已知O为坐标原点，点皆为曲线上点，为曲线上异于的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求曲线的方程：
(2)设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为、，若恰好构成等比数列，求的取值范围.




3.已知椭圆：的长轴为4，离心率为

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由


4．已知椭圆经过点且焦距为4，点分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，求的值；
(3)是椭圆上的两点，且不在坐标轴上，满足，
，问的面积是否是定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请你说明理由.


5．已知圆：，点，是圆上的一个动点，线段的中垂线交于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若点，过点A的直线与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与平行的直线与C交于P、G两点，求的值.

6.若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.


(1)求椭圆与椭圆的方程；
(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.
①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.
②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.


7.已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为、，离心率，P为椭圆上任意一点，的周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由




题型三：四边形面积及范围问题
【例1】已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.


【例2】设椭圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为，O是坐标原点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形面积的取值范围.


【例3】椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.




【例4】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.


【题型专练】
1．已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．



2．已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．




3．已知过点的椭圆：上的点到焦点的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过椭圆：上一点的切线方程为.已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆的两条切线 ，为切点，与（O为原点）交于点D，当最小时求四边形的面积.



4.设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．




5．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．

第23讲 圆锥曲线中定点定值定直线问题
【考点分析】
考点一：直线过定点问题
①设直线为，根据题目给出的条件找出与之间的关系即可
②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为的形式，即可求出定点。
考点二：定值问题
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值
考点三：定直线问题
①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的相同，然后再用韦达定理带入化简即可得的关系即为定直线
【题型目录】
题型一：直线圆过定点问题
题型二：斜率面积等定值问题
题型三：定直线问题
【典型例题】
题型一：直线过定点问题
【例1】已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.

【例2】已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．


【例3】已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点．



【例4】已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．



【例5】已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.



【题型专练】
1．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．


2.已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.


3.已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.
(1)求E的方程；
(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.


4.焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．
(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．


题型二：斜率面积等定值问题
【例1】动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过定点的直线交曲线于，两点，设，直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值．


【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且位于第一象限，的面积为，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若M，N是椭圆C上异于点Q的两动点，记QM，QN的倾斜角分别为，，当时，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．


【例3】已知点在椭圆上，的长轴长为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.
(1)求证：为定值；
(2)若直线与轴交于点，求的值.

【例4】已知椭圆的离心率,且椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为,直线与椭圆C交于E,D两点,且点E的纵坐标大于0,直线与y轴分别交于两点,问:的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．
【例5】已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.


【例6】已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.


【例7】已知椭圆：的右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【题型专练】
1．已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，且在轴上方，轴，斜率为的直线交于两点，
(1)若直线过点，求的面积.
(2)直线和的斜率分别为和，当直线平行移动时，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.
2．已知椭圆：过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求证为定值.







3．如下图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，．

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；
（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．







4．如图，椭圆的左右焦点分别为，，点是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，，的圆与y轴正半轴交于点，经过点且与x轴垂直的直线l与直线交于点Q．

(1)求证：．
(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线，的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．



5．已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，且在轴上方，轴，斜率为的直线交于两点，
(1)若直线过点，求的面积.
(2)直线和的斜率分别为和，当直线平行移动时，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.


6．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

7．已知平面上一动点到的距离与到直线的距离之比为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)曲线上的两点，，平面上点，连结，并延长，分别交曲线于点A，B，若，，问，是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．


8．已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.

(1)求证：；
(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

9．已知椭圆的左、右焦点分别为且离心率为，椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以线段为直径作圆，若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点试判断是否为定值，并说明理由.

10．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，直线与圆相切，切点为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过圆上任意一点作圆的切线，交椭圆于、两点，试判断：是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.


11．已知椭圆，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，若为椭圆上一点，的最大值为，点在直线上，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，其中不与左右顶点重合.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)从点向直线作垂线，垂足为，证明：存在点，使得为定值.



题型三：定直线问题
【例1】已知如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆恰好过两点，

(1)求椭圆的标准方程；
(2)根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.

【例2】已知椭圆（）的离心率为，且为上一点.
(1)求的标准方程；
(2)点，分别为的左､右顶点，，为上异于，的两点，直线不与坐标轴平行且不过坐标原点，点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点位于定直线上.


【例3】已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2.

(1)求C的标准方程；
(2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上.


【题型专练】
1．已知椭圆：的离心率为，是上一点.
(1)求的方程.
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.


2.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.




3.已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.