77中考冲刺：代数综合问题--知识讲解（提高）

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中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）

【中考展望】
初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

【方法点拨】
(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；
(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；
(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；
(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．
* 审题(读题、断句、找关键)；
* 先宏观(题型、知识块、方法)；
后微观(具体条件，具体定理、公式)
* 由已知，想可知(联想知识)；
由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；
* 观察——挖掘题目结构特征；
联想——联系相关知识网络；
突破——抓往关键实现突破；
寻求——学会寻求解题思路．
(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．

【典型例题】
类型一、函数综合
1．已知函数和y＝kx+1(k≠0)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
【思路点拨】
本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．
【答案与解析】
解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，
∴ 解得
(2)将代入y＝kx+1，消去y，得．
∵k≠0，
∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．
∵△＝1+8k．
∴1+8k≥0，解得k≥．
∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．
【总结升华】
两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．
举一反三：
【变式】如图，一元二次方程的两根，（＜）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

【答案】
解：(1)解方程，得=-3，=1.
抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.
将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得
解这个方程组，得
抛物线解析式为.
(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得
解这个方程组，得
直线AC的函数关系式为y=x+3.
由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，
故解方程组得 点Q坐标为（-1，2）.
(3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点.

设直线的函数关系式为y=kx+b.
∴ 解这个方程组，得 直线的函数关系式为y=-2x.
令x=0，则y=0.
点M的坐标为（0，0）.

类型二、函数与方程综合
2．已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；
(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；
(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?
【思路点拨】
本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．
【答案与解析】
解：(1)对于关于x的二次函数，
由于△＝(-m)2－4×1×，
所以此函数的图象与x轴没有交点．
对于关于x的二次函数，
由于△＝，
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．
故图象经过A，B两点的二次函数为．
(2)将A(-1，0)代入，得．
整理，得．
解之，得m＝0，或m＝2．
①当m＝0时，．令y＝0，得．
解这个方程，得，．
此时，B点的坐标是B(1，0)．
②当m＝2时，．令y＝0，得．
解这个方程，得x3＝-1，x4＝3．
此时，B点的坐标是B(3，0)．
(3)当m＝0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．
当m＝2时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．
【总结升华】
从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．

举一反三：
【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在－3≤x≤之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．









【答案】
（1）证明：∵ △= (3m+1)2－4×m×3 =(3m－1)2.

∵ (3m－1)2≥0，
∴ △≥0，
∴ 原方程有两个实数根．

（2）解：令y=0，那么 mx2+(3m+1)x+3=0.
解得 ，.
∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m=1.
∴抛物线的表达式为.
（3）解：∵当x=0时，y=3，∴C（0，3）.
∵当y=0时，x1=－3，x2=－1.
又∵点A在点B左侧，
∴A（－3，0），B（－1，0）.
∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0）.
设直线CD的表达式为y=kx+b.
∴
解得
∴直线CD的表达式为y=－3x+3.
又∵当时，.
∴A（－3，0），E（，），
∴平移后，点A，E的对应点分别为A'（－3+n，0），E'（，）.
当直线y=－3x+3过点A'（－3+n，0）时，
∴－3(－3+n)+3=0，
∴n=4.
当直线y=－3x+3过点E'（，）时，
∴，
∴n=.
∴n的取值范围是≤n≤4.
类型三、以代数为主的综合题
3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．

(1)求点B的坐标；
(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

【思路点拨】
(1)由∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标；
(2)利用待定系数法可求出解析式；
(3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；
(4)利用转化的方法列出关于点P的横坐标x的函数关系式求解．
【答案与解析】
解：(1)B(1，)．
(2)设抛物线的解析式为，代入点B(1，)，得．所以．
(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．

设直线AB的解析式为，则
解得
因此直线AB的解析式为．
当时，．
因此点C的坐标为．
(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．

设点P的横坐标为x．
则




．
当时，△PAB的面积的最大值为，此时．
【总结升华】
本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为就是利用了这一规律．

4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标;
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.

【思路点拨】
（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；
（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；
（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.
【答案与解析】
解：（1）∵抛物线过点，，
∴
∴
∴抛物线的函数关系式为.
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线.
设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为.
连接交直线于点，此时的周长最小.
设直线的函数表达式为，代入的坐标，
则
解得
所以，直线的函数表达式为.
当时，.
∴ 点的坐标为.
（3）存在.
①当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴点的坐标为.
设直线对应的一次函数的表达式为，代入的坐标，
则
解得
所以，直线的函数表达式为.
令，则.
∴点的坐标为.
②当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点.
与①同理可得是等腰直角三角形，
∴.
∴点的坐标为.
∵，，
∴.
∴直线的函数表达式为.
令，则.
∴点的坐标为.
综上，在对称轴上存在点，，使成为以为直角边的直角三角形．
【总结升华】
求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.

举一反三：
【变式】如图所示，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，，．

(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(3)若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标．
【答案】
解：(1)∵，∴C(0，3)．
又∵，∴A(1，0)．
又∵，
∴，
∴AB＝4。
∴B(-3，0)．
(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入得：

∴a＝-1，b＝-2，
∴．
∵．
∴顶点坐标(-1，4)．
(3)如图1和图2．

当AC为平行四边形的一边时，
(-1，0)，E2(，0)，E3(，0)．
当AC为平行四边形的对角线时，E4(3，0)．
5．已知函数y1＝x，y2＝x2+bx+c，α，β为方程的两个根，点M(t，T)在函数y2的图象上．
(1)若，，求函数y2的解析式；
(2)在(1)的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；
(3)若0＜α＜β＜1，当0＜t＜l时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

【思路点拨】
第(1)问由得的两根为α，β，利用根的定义代入得到b，c的方程组可求出b，c值；
第(2)问分别求出A，B两点坐标，利用直线y＝x与x轴夹角为45°得到关于t的方程；
第(3)问利用求差法比较T，α，β的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T，α，β的大小关系．
【答案与解析】
解 (1)∵y1＝x，y2＝x2+bx+c，y1－y2＝0，
∴．
将，分别代入，得
．
解得，．
∴函数y2的解析式为．
(2)由已知，y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为，．得，
设ABM中AB边上的高为h，
则，即．
由直线y1＝x与x轴的夹角为45°可得．
由，得．
当时，解得；
当时，解得，
∴t的值为，，．
(3)由已知，得，，．
∴，
，
，
化简得．
∵，得，
∴．
有a+b＝1－β＞0，β+b＝1－α＞0．
又0＜t＜1时，∴t+α+b＞0，t+β+b＞0．
∴当0＜t≤α时，T＜α≤β；
当α＜t≤β时，α＜T≤β；
当β＜1时，α＜β＜T．
【总结升华】
本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．