适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量解答题专项四第1课时利用空间向量证明平行垂直与利用空间向量求距离北师大版

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解答题专项四　立体几何中的综合问题
第1课时　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离
解答题专项练
1.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.

求证:(1)EF∥平面A1B1BA;
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
证明:(1)由AB=AC,E为BC的中点,则AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,

过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3,BE=,所以AE=2,
所以E(0,0,0),C(,0,0),A(0,2,0),B(-,0,0),B1(-,0,2),A1(0,2,),F,1,,所以=,1,,=(-,-2,0),=(0,0,).
设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=-2,则n=(-2,,0),
而·n=×(-2)+1××0=0,
所以⊥n.
又EF⊄平面A1B1BA,
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为EC⊥平面AEA1,则=(,0,0)为平面AEA1的一个法向量.
又EA⊥平面BCB1,则=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量.
因为=0,故,故平面AEA1⊥平面BCB1.
2.(2023·内蒙古赤峰高三开学考试)在如图所示多面体中,平面EDCF⊥平面ABCD,EDCF是面积为的矩形,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2.

(1)证明:BD⊥EA;
(2)求点D到平面ABFE的距离.
(1)证明:因为平面EDCF⊥平面ABCD,且平面EDCF∩平面ABCD=CD,ED⊥DC,ED⊂平面EDCF,所以ED⊥平面ABCD,
又BD⊂平面ABCD,所以ED⊥BD,
在四边形ABCD中,作DM⊥AB于M,CN⊥AB于N,
因为CD∥AB,AD=CD=CB=1,AB=2,
所以四边形ABCD为等腰梯形,则AM=BN=,所以DM=,BD=,
所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,又ED∩AD=D,ED⊂平面EAD,AD⊂平面EAD,所以BD⊥平面EAD,又因为EA⊂平面EAD,所以BD⊥EA.

(2)解:由(1)知ED⊥平面ABCD,AD⊥BD,以点D为原点,为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,因为矩形EDCF的面积为,CD=1,所以ED=.所以A(1,0,0),B(0,,0),E(0,0,),
则=(-1,0,),=(0,-),=(0,0,),
设平面ABFE的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则可取n=(,1,1),
设点D到平面ABFE的距离为d,则d=.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BB1的中点.

(1)求BC1到平面AD1E的距离;
(2)若A1C∩平面AED1=M,求.
解:(1)如图,以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),A1(0,0,2),
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,AD1⊂平面AD1E,
所以BC1∥平面AD1E,则BC1到平面AD1E的距离即为C1到平面AD1E的距离,而=(0,2,0),=(2,0,2),=(0,2,1),
设平面AD1E的一个法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,则x=2,z=-2,故n=(2,1,-2),
故C1到平面AD1E的距离d=,
即BC1到平面AD1E的距离为.
(2)=(2,0,0),=(0,-2,2),由题意可得.
4.(2023·山东聊城高三期末)

如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,G为棱DD1上的动点.
(1)求证:B,E,D1,F四点共面;
(2)是否存在点G,使得平面GEF⊥平面BEF?若存在,求出DG的长度;若不存在,说明理由.
(1)证明:如图所示,连接D1E,D1F,取BB1的中点为M,连接MC1,ME,

因为E为AA1的中点,所以EM∥A1B1∥C1D1,且EM=A1B1=C1D1,
所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1.
又因为F为CC1的中点,所以BM∥C1F,且BM=C1F,
所以四边形BMC1F为平行四边形,
所以BF∥MC1,
所以BF∥D1E,
所以B,E,D1,F四点共面.

(2)解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
假设存在满足题意的点G,设G(0,0,t),由已知B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1),
则=(-1,1,0),=(0,1,-1),=(-1,0,t-1),
设平面BEF的一个法向量n1=(x1,y1,z1),则
即取x1=1,则n1=(1,1,1).
设平面GEF的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
即
取x2=t-1,则n2=(t-1,t-1,1).
因为平面GEF⊥平面BEF,
所以n1·n2=0,
所以t-1+t-1+1=0,
所以t=.
所以存在满足题意的点G,使得平面GEF⊥平面BEF,DG的长度为.