2023届高三全国各地试题精选18 函数及其性质

这是一份2023届高三全国各地试题精选18 函数及其性质，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
18 函数及其性质
一、单选题
1．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
3．（2021·陕西咸阳·校考二模）已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于（　　）
A．－2 B．2 C．－98 D．98
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，则的解集为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是(    )
A．的图象关于点中心对称
B．与均为周期为4的周期函数
C．
D．
7．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
8．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在t使得成立，则k的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知定义在R上的函数，对于给定集合A，若，当时都有，则称是“A封闭”函数.已知给定两个命题：
：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数；
：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数.
则下列判断正确的为（   ）
A．对，对 B．不对，对 C．对，不对 D．不对，不对

二、多选题
11．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）已知向量，，则函数的大致图象可能为（    ）
A．   B．  
C．   D．  
12．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（    ）
A． B． C．1 D．2
13．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）下列命题中的真命题有（    ）
A．当时，的最小值是3
B．的最小值是2
C．当时，的最大值是5
D．若关于的不等式的解集为，则
14．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ）
A．在处的切线方程为
B．
C．若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则
D．有唯一零点
15．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（    ）
A．函数的周期为 B．函数图象关于直线对称
C．函数在上递增 D．函数的最大值为1
16．（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的最大值为1，最小值为
C．函数的图像在区间上单调递减
D．函数的图像关于对称
19．（2023·河北·校联考一模）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，若方程在上恰有个实数解，则（    ）
A．的周期为4 B．在上单调递减
C．的值域为 D．
20．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数，，有下列结论，正确的是（    ）
A．任意的，等式恒成立
B．任意的，方程有两个不等实根
C．任意的，，若，则一定有
D．存在无数个实数，使得函数在上有个零点．

三、填空题
21．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是__________.
22．（2023·上海徐汇·统考三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________.
23．（2023·安徽黄山·统考三模）定义在上的奇函数，满足对且，都有成立，则当不等式成立时，的最小值为________.
24．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为________．
25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．
26．（2023·全国·模拟预测）已知函数则的解集为________．
27．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，若（），则的最大值为______.
28．（2023·云南保山·统考二模）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______.
29．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
30．（2023·浙江·校联考二模）对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.

参考答案：
1．B
【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.
【解析】若在上单调递减，
则，解得.
所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.
故选：B
2．D
【分析】根据函数为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到时，，可排除C选项，即可求解.
【解析】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.
故选：D.
3．A
【分析】根据题意结合周期性、奇偶性分析运算.
【解析】由，可得，
所以是以4为周期的周期函数，
可得，
因为在R上是奇函数，则，
又因为当时，，则.
故选：A.
4．C
【分析】构造函数，求导得函数的单调性，进而可判断，结合的奇偶性和单调性即可求解.
【解析】由题意知，，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
又，所以，即，
又为奇函数且在上单调递减，所以在上单调递减，
所以，即.
故选：C.
5．C
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合奇偶性求不等式即可.
【解析】均为偶函数，故函数为偶函数，
令则，
，即在R上单调递减，
又在恒成立，
故函数在上递减，在递增.
.
故选：C.
6．C
【分析】由为偶函数可得函数关于直线轴对称，结合和可得的周期为4，继而得到的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【解析】因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，
因为等价于②，
又③，②+③得④，即，即，
所以，故的周期为4，
又，所以的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项正确，
由，可得，且，故，
故，
因为与值不确定，故选项错误，
因为，所以，
所以，故，
故，所以选项D正确，
故选:.
7．D
【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案.
【解析】由已知可得，.
因为，所以，解得，所以.
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值，
所以，在处取得最大值，
所以，函数在处取得最大值.
因为，所有点构成一个正方形区域，
所以，所以.
故选：D.
8．C
【分析】化简，得到，，构造函数和，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.
【解析】由题意得，
可得，
设，可得，所以单调递减，
则，即，所以；
又由，
设函数，可得，
当时，，单调递增，
所以，即，所以，
所以.
故选：C.
9．B
【分析】作出函数图象，结合函数的对称性将问题转化为与在内有交点，分离参数计算即可.
【解析】如图所示，作出函数与的图象，
易得两函数交点位于两侧，不妨设，
若存在t使得成立，即，
又关于对称，
故，
因为，所以，
即在有解，
则.
故选：B
  
10．C
【分析】根据定义可得都有，都有，再判定所给定区间里是否有成立即可判断作答.
【解析】对命题：对于集合使，则,而是“封闭”函数，
则，即都有，
对于集合使，则，
而，
所以，
即，故一定是“封闭”函数正确；
对命题，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“[a,b]封闭”函数，
只需判断出其逆否命题的正误即可，使，则，
若，则，由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“[a,b]封闭”函数，
所以命题的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，错误.
故选：C
【点睛】思路点睛：函数性质及命题真假判断，根据给定条件可得都有，都有，再利用递推关系及函数新定义判断正误即可.
11．ABD
【分析】根据向量的坐标表示得函数解析式，然后分，，讨论即可.
【解析】因为，所以.
当时，，A正确；
当时，的零点为0和，且，B正确，C错误；
当时，的零点为0和，且，D正确.
故选：ABD.
12．AD
【分析】令，则.讨论的奇偶性和单调性，由得，由的单调性得，解出实数的取值范围即可得到答案.
【解析】令，则，因为，
所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.
因为，所以，等价于，即，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：AD
13．AC
【分析】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断.
【解析】对于选项A：因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B：因为，
等号成立的条件是，所以等号不成立，不能使用基本不等式，
令，则在上单调递增，所以时取得最小值，
故选项B错误；
对于选项C：因为，则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：因为关于的不等式的解集为，
所以的根为2,3，
则，解得，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
14．ABD
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.
【解析】对于A，函数，求导得，有，
所以在处的切线方程为，即，A正确；
对于B，函数，有，
而，所以，B正确；
对于C，函数，函数的图象与的图象关于坐标原点对称，
所以，C错误；
对于D，函数的定义域为R，求导得，令，
，当时，当时，，则函数在上递增，在上递减，
于是，函数在上单调递增，而，
由零点存在性定理知在内存在唯一零点，所以有唯一零点，D正确.
故选：ABD
15．BC
【分析】由平方关系可得，根据、是否成立判断A、B；令得，并利用导数研究单调性、最值判断C、D.
【解析】因为，
，故的周期不是，A错误；
因为，故关于直线对称，B正确；
当时，设，，则，
故、上，上，
所以在上递增，而，则，
而在上递增，所以在上递增，故C正确；
由C分析知：在上递减，在上递增，在上递减；
且，，所以函数的最大值为，故D错误.
故选：BC.
16．CD
【分析】根据函数解析式判断出函数对称性，根据函数导数判断函数单调性，根据函数单调性将外函数的大小比较转化为内函数大小比较即可.
【解析】因为，
所以，
所以关于对称，
，
当且仅当，即时等号成立，
又因，所以恒成立，则是增函数，
因为，所以，
则.
故选：CD.
17．ABD
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．
【解析】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，
所以的图象也关于对称，
又，两个函数的图象关于直线对称，
故两交点，关于直线对称，
所以，，故A正确；
对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；
对于C，结合选项A得，令，则，
所以在上单调递减，则，故C错误；
对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．
故选：ABD．

18．AD
【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．
【解析】，
对于A：设的周期为，
则,
所以，其中，解得，
所以最小值为，故A正确；
对于B：设，
则，
所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；
对于C：由B得当时，，且在上单调递减，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D：由

，
，
所以，
所以关于直线对称，故D正确，
故选：AD．
19．AD
【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A、B，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C，画出函数与的图象，数形结合，即可判断D.
【解析】由的图象关于对称可得，
再由为偶函数可得，故，即的周期为4，即A正确；
当时，由，可得在上单调递增，故在上单调递增，即B错误；
又，，故的值域为，即C错误；
在同一坐标系下画出函数与的图象如图所示.
  
由图可知，要使与在上恰有个不同交点，
只需，即，解得，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD
20．ACD
【分析】计算判断A；举例说明判断B；探讨函数单调性判断C；由函数零点的意义分析判断D作答.
【解析】函数，，
对于A，，，A正确；
对于B，当时，由，得，解得，即方程只有1个实根，B错误；
对于C，当时，，即函数在上单调递减，
由选项A知，函数是上的奇函数，则在上单调递减，
因此函数是上的减函数，，，则一定有，C正确；
对于D，，则有或，即0是的零点，
当时，，则，当时，或，
因此当，函数有3个零点，D正确.
故选：ACD
21．
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】因为函数，定义域为，且，
则
，
即，即为奇函数，
当时，，均单调递增，所以在上单调递增，
则在上单调递增，
所以是奇函数且在上单调递增，
由，可得，则，解得，
即的取值范围为.
故答案为：
22．6
【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答.
【解析】显然函数的图象关于点成中心对称，
依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称，
于是，所以.
故答案为：6
23．
【分析】由题设易知在R上递减，利用单调性及已知不等式知，结合对勾函数性质求目标式的最小值.
【解析】由题设在上递减，又在R上为奇函数，
所以在上递减，则在R上递减，
由，则，可得，
，仅当，即时等号成立，
所以，上述等号取不到，而，且在上递增，时，
所以的最小值为4.
故答案为：4
24．4
【分析】根据题意，由条件可得为偶函数，可得其所有零点之和为0，然后即可得到结果.
【解析】将函数向左平移1个单位，所以，
因为是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则为偶函数，
所以为偶函数，
又因为函数恰有四个零点，即函数恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于轴对称，其四个零点之和为0，
而是由向左平移了1个单位，
所以的四个零点之和为4.
故答案为：4
25．
【分析】首先根据函数是奇函数，求的值，再利用导数的几何意义求切线方程.
【解析】因为是奇函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
26．
【分析】画出的图象，令，结合图象利用在上单调递减、为偶函数可得，再解不等式可得答案．
【解析】的图象如下，
  
依题意，的图象关于直线对称，且在上单调递减，
令，则为偶函数，且在上单调递减，
故．
故答案为：.
27．
【分析】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值.
【解析】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
可得，则，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故答案为：
28．
【分析】根据新定义得到存在，使，转化为有解，建立不等式求解即可.
【解析】因为函数是定义在上的“倒戈函数”，
所以存在，使，
即，
即，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
解得，当或时，，解得，
所以.
故答案为：
29．
【分析】设，根据的范围，讨论求得的解析式.根据解析式得出函数的性质，作出的图象，根据函数图象，即可得出答案.
【解析】设，
当时，，；
当时，，；
当时，，.
综上可得，.
函数的定义域为，
由复合函数单调性可知函数单调递增.
又，
作出的图象如图所示
  
由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，
即有两个零点，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：根据函数的解析式（或导函数）得出函数的性质，然后作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出参数的取值范围.
30．
【分析】由，得，由已知条件可得函数的图像的对称性和周期性，可作出函数的图像，由题意的图像函数在上的图像相切，联立方程组利用判别式求解.
【解析】，，，
令，则有，
任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，
在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示，

函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，
由，消去得，则，解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．