湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校2023届高三下学期5月第二次联考数学试卷（含答案）

这是一份湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校2023届高三下学期5月第二次联考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校2023届高三下学期5月第二次联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
2、已知复数是关于x的方程（）的一个解，则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、已知平面向量a，b，c满足，，且.若，则( )
A. B. C. D.
4、由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最大夹角为.现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为3m，高为1m.现在为了节省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分呈圆锥形.已知该容器的底面半径为，则该容器的高至少为( )
A.1m B. C. D.
5、若，，则等于( )
A. B. C. D.
6、某同学喜爱球类和游泳运动.在暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为( )
A. B. C. D.
7、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与E交于点A，B.直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线.若，，则( )
A. B. C. D.
8、设函数，若正实数a使得存在三个两两不同的实数b，c，d满足，，，恰好为一个矩形的四个顶点，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知正四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则( )
A. B.面PAB
C. D.面PAD
10、某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数y(人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则( )
A.样本中心点为
B.
C.时，残差为-0.2
D.若去掉样本点，则样本的相关系数r增大
11、已知函数在上有最大值，则( )
A.的取值范围为 B.在区间上有零点
C.在区间上单调递减 D.存在两个，使得

12、在平面直角坐标系中，已知点是圆上的一个动点，直线OP与圆M交于另一点Q，过点O作直线OP的一条垂线，与圆交于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.的最大正切值为
三、填空题
13、已知的展开式的第7项为常数项，则正整数n的值为________.
14、若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为________.
15、科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定.如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的n的所有不同值的和为________.
16、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点.记的面积为，的面积为.当时，________.
四、解答题
17、已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知.
（1）若，求；
（2）若，，求的面积.
19、如图，在三棱柱中，平面ABC，点D为棱AC的中点，.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.

20、某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；
（2）若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；
（3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有k名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的k值.
附：若随机变量X服从正态分布，则：，
，.
21、已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线，l与x轴交于点H，l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且，.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线，分别交l于点M，N，求证：.
22、设函数，.
（1）若函数在处的切线的斜率为2.
①求实数b的值；
②求证：存在唯一极小值点且.
（2）当时，若在上存在零点，求实数b的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：
2、答案：D
解析：因为复数是关于x的方程的一个解，则方程的另一解为，
由韦达定理可得，解得
所以复数在复平面内对应的点为在第四象限.
故选：D
3、答案：A
解析：设，
因为，所以，
又
解得，，
所以，所以

思路点拨：根据，，
则，，作答
4、答案：B
解析：依题意，沙堆的体积是


5、答案：D
解析：利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.
依题意可知，，
即，即，
得，因为，，
所以，即.
故选：D
6、答案：C
解析：设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，
则，
故，
所以，
所以上午打球的概率为.
故选:C.
7、答案：C
解析：
8、答案：D
解析：
9、答案：BC
解析：对于A，因为平面PBC，平面PBC，直线PBC，平面PBC，所以MN与PB是异面直线，故A错误；
对于B，取E为PA的中点，连接ME、BE，所以，，又，，所以，，即四边形BNME为平行四边形，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以面PAB，故B正确;
对于C，因为，E为PA的中点，所以，因为，所以，故C正确：
对于D，若面PAD，面PAD，所以，，MN、平面MNF，所以平面MNF，平面MNF，所以，又，所以，这与为等边三角形矛盾，故MN不垂直于平面PAD，故D错误.
故选:BC.

10、答案：ACD
解析：
11、答案：ABC
解析：
12、答案：ABD
解析：
13、答案：8
解析：根据展开式的通项公式
由题意可知，，.
故答案为:8
14、答案：
解析：
15、答案：190
解析：设对正整数n按照上述变换，得到数列：，，，，则:

16、答案：
解析：
17、答案：（1）
（2），前n项见解析
解析：（1）因为，所以.
两式相减，得.
因为，所以.
所以是以1为首项，4为公差的等差数列，是以3为首项，4为公差的等差数列.
所以，.
故.
（2）因为，
所以.
因为，所以.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为，代入上式可解得，即，
所以，，
所以.
（2）因为，所以，即，
因为，，所以，
由余弦定理知，所以，
解得，
所以.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为点D为棱AC的中点，，所以.
因为平面ABC，平面ABC，所以.
又因为，BC，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）设.
以CA为x轴，为z轴，过点C与CA垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，，
设平面的法向量为，所以
令，则，.所以.
所以
(当且仅当，即时，等号成立).
所以直线与平面所成角的正弦的最大值为.

20、答案：（1）51.67
（2）
（3）1
解析：（1）第85%分位数=（岁）.
（2）因为，
所以，所以，
所以使用该APP且年龄大于61周岁的人数占左右喜欢使用该APP的.
（3）根据题意，要使取得最大值，则
所以解得，
因为，所以.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设双曲线C的焦距为2c，其中，则，，.
所以，.
由，有，得.所以，.
因为双曲线C的渐近线方程为，有，
所以，.
由，有，即，得.
所以.所以的方程为.
（2）设AB的方程为，，.
联立方程组得.
所以，，，.
所以.
所以，即.
因为，所以.
22、答案：（1）①1
②证明见解析
（2）
解析：（1）①因为，所以.
所以切线的斜率.
又因为切线的斜率为2，所以.解得.
②由①得，所以，.
因为恒成立，所以单调递增.
又，，所以存在，使.
x




-

+


极小值

所以存在唯一的极小值点，.
因为，所以.所以.
所以.
（2）.
令，即，所以.
令，则.
令，得，，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当，，时，取得极小值.
即当时，取得极小值.
又因为，，所以.
又因为在上单调递减，所以.
当，，时，取得极大值，即当时，取得极大值.
又因为，，所以.
所以.
当时，.
所以.
因为，所以时，在上有零点.
所以实数b的取值范围为.