山东省滨州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份山东省滨州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共33页。试卷主要包含了，其中a满足，﹣1﹣π0，两点，的一次函数等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•滨州）计算：（﹣）÷．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023•滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a满足．
3．（2022•滨州）先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
六．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
七．二次函数综合题（共2小题）
8．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
9．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
八．菱形的性质（共2小题）
10．（2023•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐
为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
11．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
九．菱形的判定与性质（共1小题）
12．（2021•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．
一十．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
14．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
15．（2022•滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．
16．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．
一十三．条形统计图（共1小题）
17．（2023•滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间“进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
山东省滨州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2021•滨州）计算：（﹣）÷．
【答案】﹣．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•
＝•
＝
＝
＝﹣
＝﹣．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023•滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a满足．
【答案】a2﹣4a+4，1．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷[﹣]
＝÷
＝•
＝（a﹣2）2
＝a2﹣4a+4，
∵，
∴a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝﹣3+4＝1．
3．（2022•滨州）先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
【答案】，0．
【解答】解：原式＝
＝•
＝•
＝，
∵a＝tan45°+（）﹣1﹣π0
＝1+2﹣1
＝2，
∴当a＝2时，原式＝＝0．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【答案】（1）10%；
（2）6件．
【解答】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1﹣x）2＝48.6，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20﹣a）件，
由题意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，
解得a≥5，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
【答案】（1）当x＝50（秒）时，两车相距250米，当x＝150（秒）时，两车相距250米；
（2）y＝；
（3）函数图象见解答．
【解答】解：（1）∵500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当x＝50时，两车相距：20×50+500﹣25×50＝1000+500﹣1250＝250（米），
当x＝150时，两车相距：25×150﹣（20×150+500）＝3750﹣（3000+500）＝3750﹣3500＝250（米），
答：当x＝50（秒）时，两车相距250米，当x＝150（秒）时，两车相距250米；
（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当0≤x≤100时，y＝20x+500﹣25x＝﹣5x+500，
当x＞100时，y＝25x﹣（20x+500）＝25x﹣20x﹣500＝5x﹣500，
由上可得，y与x的函数关系式是y＝；
（3）在函数y＝﹣5x+500中，当x＝0时，y＝﹣5×0+500＝500，当x＝100时，y＝﹣5×100+500＝0，
即函数y＝﹣5x+500的图象过点（0，500），（100，0）；
在函数y＝5x﹣500中，当x＝150时，y＝250，当x＝200时，y＝500，
即函数y＝5x﹣500的图象过点（150，250），（200，500），
画出（2）中所求函数的图象如右图所示．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①M、N在双曲线的同一支上，当x1＜x2时，y1＜y2；②M、N在双曲线的不同的一支上，当x1＜x2时，y1＞y2；（3）x＜﹣1或0＜x＜2．
【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝，
∴2＝．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y＝﹣．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得，
∴．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y＝﹣，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
六．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【答案】（1）y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
七．二次函数综合题（共2小题）
8．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
【答案】（1）（﹣，）；（2）（，）；（3）y＝x2+2；（4）4．
【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，
∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝，
即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，
则AC∥BD∥PE，
∵点P为线段AB的中点，
∴PA＝PB，
由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，
设点P的坐标为（x，y），
则x﹣（﹣3）＝﹣x，
∴x＝＝﹣，
同理可得，y＝＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4，
∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8，
∴点B的坐标为（4，8），
∴OD＝4，DB＝8，
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），
∴CO＝﹣a，AC＝a2，
∴，
解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，），
∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，
∴线段AB中点P的坐标为（，）；
（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，
由（2）知，△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），
∴，
解得，ab＝﹣4，
∵点P（x，y）是线段AB的中点，
∴x＝，y＝＝＝，
∴a+b＝2x，
∴y＝＝x2+2，
即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；
（4）当y＝6时，6＝x2+2，
∴x2＝4，
∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点，
∴AB＝2OP＝4，
即线段AB的长是4．
9．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）（1，﹣1）；
（3）（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．
【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；
（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，
过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．
八．菱形的性质（共2小题）
10．（2023•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐
为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
【答案】（1）S＝（0≤x≤4），
（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，
∵顶点A的坐标为（2，2），
∴OA＝，OG＝2，AG＝2，
∴cs∠AOG＝＝，
∴∠AOG＝60°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥BD，AO＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵DE⊥OB，
∴DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴ED＝OD＝x，
∵DF∥OB，
∴△CDF∽△COB，
∴，
∵A（2，2），AO＝4，则B（6，2），
∴OB＝，
∴＝，
∴DF＝（4﹣x），
∴S＝＝，
∴S＝（0≤x≤4），
（2）∵S＝＝（0≤x≤4），
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
11．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
【答案】（1）50；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面积是50；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．
九．菱形的判定与性质（共1小题）
12．（2021•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴BF＝OB•sin∠AOB＝2×＝，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF＝2×＝2．
一十．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【答案】见解答．
【解答】（1）解：过点D作FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：
∵点E是△ABC的内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵FH⊥AC，FG⊥AB，
∴FG＝FH，
∵S△ABF，S△ACF，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，
∵S△ABF＝，S△ACF＝，
∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，
由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
∴AB：AC＝BF：FC，
（3）证明：连接DB、DC，如图，
∵，，
∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，
∴△BFD∽△AFC，
∴BF•CF＝AF•DF，
∵，
∴∠FBA＝∠ADC，
又∠BAD＝∠DAC，
∴△ABF∽△ADC，
∴，
∴AB•AC＝AD•AF，
∴AB•AC＝（AF+DF）•AF＝AF2+AF•DF，
∴AF2＝AB•AC﹣BF•CF．
（4）连接BE，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴DB2＝DA•DF，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE＝+，
∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE＝+，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∴DE2＝DA•DF，
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
14．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；
（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
求证：CD＝AB，
证明：延长CE到D，使得DE＝CE，
∵CD是AB边上的中线，
∴BE＝AE，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵∠BCA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴CE＝CD＝AB．
一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
15．（2022•滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）连接OB，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠OCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD+∠OCB＝90°，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴PD是⊙O的切线；
（2）由（1）知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝90°，
∴∠APM＝∠OAM，
∴△OAM∽△APM，
∴，
∴AM2＝OM•PM．
16．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）证明：连接OD，如右图1所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴∠ODE+∠DEA＝180°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）方法一：证明：连接BD，如右图1所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF＝∠ADB＝90°，
∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，
∴∠EFD＝∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF＝EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴DF＝DB，
∴DF2＝EF•AB．
方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，如右图2所示，
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF＝DF，
∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝∠OMD，
又∵∠DEF＝∠OMD，
∴△DEF∽△OMD，
∴，
∴EF•OD＝DF•MD，
∵OD＝AB，DM＝DF，
∴EF•AB＝DF•DF，
∴DF2＝EF•AB．
一十三．条形统计图（共1小题）
17．（2023•滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间“进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
【答案】（1）8人；
（2）43.2°；
（3）9600人；
（4）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．
【解答】解：（1）24÷24%﹣56﹣24﹣12＝8（人），
答：此次调查，选项A中的学生人数是8人；
（2）360°×＝43.2°，
答：在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为43.2°；
（3）15000×＝9600（人），
答：该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
（4）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为 54° ；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
【答案】（1）100；
（2）见解答；
（3）54°；
（4）．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（名），
所以此次调查共抽取了100名学生；
（2）C项目的人数为：100﹣20﹣30﹣15﹣10＝25（名），
条形统计图补充为：
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角为：360°×＝54°；
故答案为：54°；
（4）画树状图为：
共有25种等可能的结果，其中相同项目的结果数为5，
所以他俩选择相同项目的概率＝＝．