湖南省郴州市九校2023届高三下学期适应性测试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省郴州市九校2023届高三下学期适应性测试数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省郴州市九校2023届高三下学期适应性测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、已知集合，，则集合的真子集的个数为( )
A.3 B.7 C.15 D.31
3、若双曲线的离心率e是方程的一个根，则( )
A.2 B.或2 C. D.2或
4、已知向量，满足，，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
5、古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图，等腰梯形ABCD，，已知，则其重心G到AB的距离为( )

A. B. C. D.
6、经过抛物线的焦点F，作斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则( )
A. B.或3 C.或2 D.3
7、已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
8、若存在直线与曲线，都相切，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、为了了解学生对于高中数学重要性的认识，进行了一个问卷调查.用分层随机抽样法从某校高三年级2000名学生的问卷成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，将这120个学生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图（每组数据以区间的中点值为代表），下列说法正确的是( )

A.学生成绩的样本数据在内的频率为0.015
B.学生成绩的样本数据的众数为100
C.学生成绩的样本数据的第75百分位数为118
D.根据样本可以估计全体高三学生问卷成绩在110分以上的学生为840名
10、电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则( )
A.为周期函数，且最小正周期为
B.为奇函数
C.的图象关于直线对称
D.的导函数的最大值为7
11、已知点P，Q分别是直线和圆上的动点，则( )
A.点Q到直线l的最大距离为7
B.当直线l被圆O所截得的弦长最大时，m的值为1
C.若直线l与圆O相切，则m的值为
D.若直线l与被圆O截得的弦长为，则m的值为
12、已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，O为BD的中点，在翻折过程中，则( )
A.在任何位置，都存在
B.若，当平面平面ABD时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为
C.若，当二面角为时，三棱锥的体积为
D.若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为
三、填空题
13、已知，且，则的最小值为___________.
14、已知多项式，则的值为___________.
15、已知定义在R上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________.
四、双空题
16、已知某种商品的直播平台支出x（单位：万元）与农产品销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
3
4
6
7
8
y
7.5
11.5
m
31.5
36.5
43.5
根据上表可得线性回归方程，但由于操作员不慎，导致一个数据丢失，但可以知道在函数的图象上，据此估计，可以得到m的值为___________；当投入12万元时，销售额大约为___________万元.
五、解答题
17、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若的外接圆半径为1，求的周长的最大值.
18、已知数列的前n项和为，，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前n项和为，（取整函数表示不超过x的整数，如），求数列的前100项的和.
19、在三棱锥中，已知为正三角形，，.

（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值.
20、第19届亚运会组委会消息，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随机选取了男生､女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查发现甲组成员96人，其中男生36人.

甲组
乙组
合计
男生



女生



合计



（1）根据以上数据，补充上述列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢排球还是篮球是否与“性别”有关；
（2）现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，发放礼品的3人在甲组中的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：.
参考数据：

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.841
10.828
21、已知椭圆的离心率，直线与椭圆交于B，C两点.当直线l的方程为时，经过椭圆长轴的一个顶点.
（1）求E的方程；
（2）坐标原点为O，在E上有异于B，C的一点，满足，试判断的面积是否为定值？如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由.
22、已知函数，.
（1）若，判断的零点个数；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：
，则复平面内对应的点位于第一象限.
故选A.
2、答案：A
解析：方法一：联立，解得或，
，，，集合的真子集的个数为.
方法二：在同一直角坐标系中画出函数以及的图象，由图象可知两图形有2个交点，所以的元素个数为2，进而真子集的个数为.

故选：A.
3、答案：A
解析：由，解得，，
由题意可知e是方程的根，则或，
，，即，而，
应舍去，.
故选：A.
4、答案：B
解析：由，得，则，
由，得，即，整理得，
因此，而，解得，
所以向量，的夹角为.
故选：B.
5、答案：C
解析：分别过点C，点D作于点E，于点F，，，，，
等腰梯形ABCD绕底边AB旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体的体积；
等腰梯形ABCD的面积，
记重心G到AB的距离为，则重心绕旋转轴旋转一周的周长为，
根据题意可知，则.

故选：C.
6、答案：C
解析：由题意可知，直线l的方程为，
由，可得，解得或，，或者.

故选：C.
7、答案：B
解析：，，，，
令，，则，
所以当时，函数单调递增，
，即，
即，，从而可知.
故选：B.
8、答案：D
解析：设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
所以，
所以，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在和上单调递减；在和上单调递增.
又-1，所以，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
故选：D.
9、答案：BC
解析：学生问卷成绩在内的频率为，故错误；
由图可得，学生问卷成绩的众数为，故B正确；
样本数据在内的频率为，
样本数据在内的频率为，
所以第75百分位数在区间内，该数为，故C正确；
样本中110分以上的学生的频率为，
则全体高三学生问卷成绩110分以上学生为名，故D错误.
故选：BC
10、答案：BCD
解析：.
对于A，，不是的周期，故A错误；
对于B，的定义域为R，
为奇函数，故B正确；
对于C，，且为奇函数，
的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，，当时，，取最大值7，故D正确.
故选：BCD.
11、答案：ACD
解析：对于A项，由，可知l过定点，圆的圆心为坐标原点O，半径r=2，设圆心O到直线l的距离为d，
如图所示，当时，，
当OM与直线
l不垂直时，，
从而可知点Q到直线l的最大距离为，此时Q、O、M三点共线，故A正确；

若直线l被圆O所截得的弦长最大，则直线经过圆心，则，解得，故B错误；
若直线l与圆O相切，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；
若直线l被圆O截得的弦长为，如图设为弦CD，
则圆心O到直线l的距离为，

解得，故D正确.
故选：ACD.
12、答案：AB
解析：连接AO，CO，则，，
对于A，，AO，平面AOC平面AOC，平面AOC，，故A正确；
对于B：由题目条件可知，，，为二面角的平面角，平面平面ABD所以，取AD的中点M，AC的中点N，连接OM，ON，MN，则，

且，，，
（或其补角）为异面直线与所成的角，，
在中，，，，异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故B正确；
对于C：由上面的推导可知为二面角的平面角，
，由（2）可知，当时，，又平面AOC，三棱锥的体积为，故C错误；
对于D：由上面的推导可知为二面角的平面角，所以，且平面AOC，，，，外接圆的半径为.
设E为外接圆的圆心，则，
所以三棱锥的外接球的球心在过点E且与OB平行的直线上，
设，则由得，得，
所以，所以外接球的体积为，故D错误.
故选：AB.

13、答案：或
解析：，，且，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
14、答案：80
解析：令，则，
则的通项为，
令，则，故
令，则，故，
.
故答案为：80.
15、答案：
解析：函数为奇函数，函数关于中心对称.
又在上单调递增，
在单调递增，从而可化为：，
，，，原不等式的解集为.
故答案为：.
16、答案：19.5；67
解析：由上表可知：，在函数的图象上，，，解得19.5，
又满足线性回归方程，则，，
当时，（万元）.
故答案为：19.5；67.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，则，
又因为，则.
（2）由正弦定理，可得，
由余弦定理得，
整理得，当且仅当时，等号成立，
所以的周长为，
当且仅当时，取等号，的周长取到最大值.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
即，
当时，，又适合上式，所以当时，，
所以当时，，
当时，，符合上式，.
（2），，
，
则，，
，，，，
.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，

为正三角形，，
，又，平面PCE，平面PCE，平面PCE，
又平面PCE，.
（2），为正三角形，，
又，，又，，
，又，PE，CE，AB两两互相垂直，
如图，以点E为坐标原点，EC，EB，EP所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，
平面ABC的法向量为，又，，
设平面APC的一个法向量为，则，
即，令，则，
设二面角的大小为，
则，
，
二面角的正弦值为.
20、答案：（1）列联表答案见解析，认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.
（2）分布列答案见解析，数学期望：.
解析：（1）列联表补充如下：

甲组
乙组
合计
男生
36
64
100
女生
60
40
100
合计
96
104
200
零假设为：学生选择排球还是篮球与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.
（2）按分层抽样，甲组中男生9人，乙组中男生16人，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




数学期望.
21、答案：（1）
（2）的面积为定值，定值为
解析：（1）直线l的方程为，令，得，
由题意可知，又，
，，
所求的E的方程为
（2）如图，

设，，
，
，，
，，
由直线l的方程和椭圆方程联立，
可得，
，
由韦达定理可得，，
，
，，
又点在椭圆上，，
化简可得，





，
点A到直线l的距离，
，
的面积为定值.
22、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1），，
，定义域为，
令，可得，设，则，
令，得，在，上单调递增；
令，得，
在上单调递减，
.当时，；
当时，，从而可画出的大致图象，

①当或时，没有零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有两个零点.
（2）当时，不等式恒成立，
可化为在上恒成立，
该问题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，，，
即，即
①当时，，，不等式恒成立；
②当时，令，显然单调递增，
且，，故存在，使得，
所以，
即，而，此时不满足，
所以实数a不存在.
综上可知，使得恒成立的实数a的取值范围为.