2023年北京市中考数学真题（含解析）

这是一份2023年北京市中考数学真题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市中考数学真题
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为(    )
A. 23.9×107 B. 2.39×108 C. 2.39×109 D.
0.239×109
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 如图，，，则∠BOC的大小为(    )

A. 36∘ B. 44∘ C. 54∘ D. 63∘
4. 已知a−1>0，则下列结论正确的是(    )
A. −1<−a C. −a<−1 5. 若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为(    )
A. −9 B. −94 C. 94 D. 9
6. 十二边形的外角和为(    )
A. 30∘ B. 150∘ C. 360∘ D. 1800∘
7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是(    )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
8. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB a2+b2；③ 2(a+b)>c；
  
上述结论中，所有正确结论的序号是(    )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是          ．
10. 分解因式：x2y−y3=          ．
11. 方程35x+1=12x的解为          ．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)，则m的值为          ．
13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：小时)，数据整理如下：
使用寿命
x<1000
1000⩽x<1600
1600⩽x<2200
2200⩽x<2800
x⩾2800
灯泡只数
5
10
12
17
6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为          只．

14. 如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为          ．

15. 如图，OA是⊙O的半径，BC 是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE 是⊙O的切线，AE 交OC 的延长线于点E.若，BC=2，则线段AE 的长为          ．  

16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要          分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要          分钟．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：4sin 60∘+(13)−1+|−2|− 12．

18. (本小题5.0分)
解不等式组：x>x+235x−3<5+x．

19. (本小题5.0分)
已知x+2y−1=0，求代数式2x+4yx2+4xy+4y2的值．

20. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．
  
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)AE=BE，AB=2，，求BC的长．

21. (本小题6.0分)
对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110.某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．(书法作品选自《启功法书》)


22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和B(1,2)，与过点0,4且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当x<3时，对于x的每一个值，函数y=23x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值．

23. (本小题5.0分)
某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______(填“甲组”或“乙组”)；
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．

24. (本小题6.0分)
如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分∠ABC，．
    
(1)求证DB 平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C 作CF//AD交AB 的延长线于点F .若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．

25. (本小题5.0分)
某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为x1+x2个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为 C.记录的部分实验数据如下：
x1
11.0
9.0
9.0
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
x2
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
x1+x2
11.8
10.0
10.3
8.9
8.1
7.7
7.8
7.0
8.0
9.1
12.5
C
0.990
0.989
0.990
0.990
0.990
0.990
0.990
0.988
0.990
0.990
0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
(Ⅰ)选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
(Ⅱ)通过分析(Ⅰ)中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；
  
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量(精确到个位)时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量(结果保留小数点后一位)；
(2)当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990(填“>”“=”或“<”)．

26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x1=1，x2=2有y1=y2，求t的值；
(2)若对于0
27. (本小题7.0分)
在△ABC中、，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE ．
    
(1)如图1，当点E在线段AC 上时，求证：D是MC 的中点；
(2)如图2，若在线段BM 上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC ，连接AE ，EF ，直接写出的大小，并证明．

28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：
若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．

(1)如图，点A(−1,0)，B1(− 22, 22)，B2( 22,− 22)
①在点C1(−1,1)，C2(− 2,0)，C3(0, 2)中，弦AB1的“关联点”是______．
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；
(2)已知点M(0,3)，N(6 55,0).对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1⩽|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：239000000=2.39×108，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1⩽|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；
B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】由，，可求出∠COD的度数，再根据角与角之间的关系求解．
【详解】，，
，
，
．
故选：C．
  
4.【答案】B 
【解析】
【分析】由a−1>0可得a>1，则a>0，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：a−1>0得a>1，则a>0，
∴−a<−1，
∴−a<−1<1 故选：B．
  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，
．
解得：m=94．
故选：C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故选：C．
  
7.【答案】A 
【解析】
【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图法解决．
【详解】  
如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为14．
故选：A
  
8.【答案】D 
【解析】
【分析】如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，则DF=AC=a+b，由DFBE，可得a+b> a2+b2，进而可判断②的正误；
由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2(a2+b2)，则c= 2× a2+b2< 2(a+b)，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，
  
∴ DF=AC=a+b，
∵DF ∴a+b ∵△EAB≌△BCD，
∴BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE=∠CDB，
，
，，
∴△BDE是等腰直角三角形，
由勾股定理得，BE= AB2+AE2= a2+b2，
∵AB+AE>BE，
∴a+b> a2+b2，②正确，故符合要求；
由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2(a2+b2)，
∴ c= 2× a2+b2< 2(a+b)，③正确，故符合要求；
故选：D．
  
9.【答案】x≠2 
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式5x−2有意义，则x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
  
10.【答案】y(x+y)(x−y) 
【解析】【详解】原式提公因式得：y(x2−y2)=y(x+y)(x−y)．

11.【答案】x=1 
【解析】
【分析】方程两边同时乘 2x(5x+1)化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘 2x(5x+1)，得6x=5x+1，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
故答案为：x=1．
  
12.【答案】3 
【解析】
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)
∴把点A(−3,2)代入得k=−3×2=−6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
把点B(m,−2)代入得：−2=−6m，
解得：m=3，
故答案为：3．
  
13.【答案】460 
【解析】
【分析】用1000乘抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．
【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×17+650=460(只)，
故答案为：460．
  
14.【答案】 32 
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OEEC=OFFD=12，得出BO=2OE，EC=2OE，从而BEEC=2OE+OE2OE=32．
【详解】∵AB//EF//CD，AO=2，OF=1，
∴BOOE=AOOF=21，
∴BO=2OE，
∵OEEC=OFFD=12，
∴EC=2OE，
∴BEEC=2OE+OE2OE=32；
故答案为：32．
  
15.【答案】 2 
【解析】
【分析】根据OA⊥BC，得出，DC=12BC=1，根据等腰直角三角形的性质得出OC= 2DC= 2，即OA=OC= 2，根据，，得出△AOE为等腰直角三角形，即可得出AE=OA= 2．
【详解】解：，
，DC=12BC=1．
，
∴△ODC为等腰直角三角形，
∴OC= 2DC= 2，
∴OA=OC= 2．
∵AE是⊙O的切线，
，
，
为等腰直角三角形，
∴AE=OA= 2．
故答案为： 2．
  
16.【答案】53 
28
 
【解析】
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【详解】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53(分钟)，
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟．
假设这两名学生为甲、乙．
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟．
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28(分钟)，
故答案为：53，28；
  
17.【答案】解：原式=4× 32+3+2−2 3
=2 3+3+2−2 3
=5．
 
【解析】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简即可．  
18.【答案】解： x>x+23①5x−3<5+x②
解不等式①得：x>1
解不等式②得：x<2
∴不等式组的解集为：1  
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．  
19.【答案】解：原式=2(x+2y)(x+2y)2=2x+2y，
由x+2y−1=0可得x+2y=1，
将x+2y=1代入原式可得，原式=21=2．
 
【解析】
【分析】先将分式进行化简，再将x+2y−1=0变形，整体代入化简分式即可．  
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴平行四边形是矩形；
(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形，
，
∵AE=BE，AB=2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE= 22AB= 2，
又，
∴ 2EC=12，
∴EC=2 2，
∴BC=BE+EC= 2+2 2=3 2．
 
【解析】
【分析】(1)利用平行四边形的性质求出AF=EC，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；
(2)证明△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE= 2，然后解直角三角形求出EC即可．
  
21.【答案】解：设天头长为xcm，
由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为23xcm，
边的宽为110(x+23x)cm=16xcm，
装裱后的长为(23x+x+100)cm=(53x+100)cm，
装裱后的宽为(16x+16x+27)cm=(13x+27)cm，
由题意可得：53x+100=(13x+27)×4
解得x=24，
∴16x=4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
 
【解析】
【分析】设天头长为xcm，则地头长为23xcm，边的宽为110(x+23x)cm=16xcm，再分别表示出装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．  
22.【答案】(1)解：把点A(0,1)，B(1,2)代入y=kx+b(k≠0)得：b=1k+b=2,
解得：k=1b=1,
∴该函数的解析式为y=x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y=x+1=4时，
解得：x=3，
∴C(3,4)；
(2)n=2．
 
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
(2)根据函数图象得出当y=23x+n过点3,4时满足题意，代入3,4求出n的值即可．
【详解】(1)见答案；
(2)解：由(1)知：当x=3时，y=x+1=4，
因为当x<3时，函数y=23x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4，
所以如图所示，当y=23x+n过点3,4时满足题意，
代入3,4得：4=23×3+n，
解得：n=2．
    
  
23.【答案】(1)解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数n=165，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数m=166+1662=166，
∴m=166，n=165；
(2)甲组；
(3)170，172．
 
【解析】
【分析】(1)根据中位数和众数的定义求解即可；
(2)计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
(3)根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于329，结合其余学生的身高即可做出选择．
【详解】(1)见答案；
(2)解：甲组身高的平均数为15(162+165+165+166+166)=164.8，
甲组身高的方差为15[(162−164.8)2+(165−164.8)2+(165−164.8)2+(166−164.8)2+(166−164.8)2]=2.16
乙组身高的平均数为15(161+162+164+165+175)=165.4，
乙组身高的方差为15[(161−165.4)2+(162−165.4)2+(164−165.4)2+(165−165.4)2+(175−165.4)2]=25.04，
∵25.04>2.16
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
(3)解：168，168，172的平均数为13(168+168+172)=16913
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
∴只能选择170，172．
故答案为：170，172．
  
24.【答案】(1)解：
∴AB=BC，
，即DB 平分∠ADC．
∵ BD 平分∠ABC，
，
∴AD=CD，
∴AB+AD=BC+CD ，即
BAD=BCD，
∴ BD 是直径，
 
(2)解：，CF//AD，
，则．
∵AD=CD，
∴AD=DC．
∵AC=AD，
∴AC=AD=CD，
是等边三角形，则∠ADC=60∘．
∵ BD 平分∠ADC，
．
∵ BD 是直径，
，则BC=12BD．
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
，则∠ABC=120∘，
，
，
∴FB=12BC．
∵BF=2，
∴BC=4，
∴BD=2BC=8．
∵ BD 是直径，
∴此圆半径的长为4．
 
【解析】
【分析】(1)根据已知得出AB=BC，则，即可证明DB 平分∠ADC，进而根据BD 平分∠ABC，得出AD=CD ，推出BAD=BCD ，得出BD 是直径，进而可得∠BAD=90∘；
(2)根据(1)的结论结合已知条件得出，，△ADC是等边三角形，进而得出，由BD 是直径，根据含30° 角的直角三角形的性质可得BC=12BD，在中，根据含30 °角的直角三角形的性质求得BC 的长，进而即可求解．
  
25.【答案】(Ⅰ)表格如下：
x1
11.0
9.0
9.0
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
x2
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
x1+x2
11.8
10.0
10.3
8.9
8.1
7.7
7.8
7.0
8.0
9.1
12.5
C
0.990 √
0.989 
0.990 √
0.990 √
0.990 √
0.990 √
0.990 √
0.988 
0.990 √
0.990 √
0.990 √
(Ⅱ)函数图象如下：
  
4；
(1)11.3；
(2)<
 
【解析】
【分析】(Ⅰ)直接在表格中标记即可；
(Ⅱ)根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
(1)根据表格，可得用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；
(2)根据表格，可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】(Ⅰ)见答案
(Ⅱ)函数图象如下：
  
由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量(精确到个位)时，总用水量最小．
(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19−7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
(2)由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C<0.990，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
  
26.【答案】(1)解：∵对于x1=1，x2=2有y1=y2，
∴抛物线的对称轴为直线x=x1+x22=32 ．
∵抛物线的对称轴为x=t，
∴t=32 ．
(2)解：∵当0 ∴12 ∵y10，
∴x1,y1离对称轴更近，x1 ∴x1+x22>t，
即t⩽12．
 
【解析】
【分析】(1)根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
(2)根据题意可得x1,y1离对称轴更近，x1t，即可求解．
  
27.【答案】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE，，
，
，
，
∴DE=DC，
∴DM=DC，即D是MC 的中点．
 ．
证明：如图2，延长FE 到H使FE=EH，连接CH，AH ．
∵DF=DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE//CH，CH=2DE．
由旋转的性质得：DM=DE，，
，
，
，△ABC是等腰三角形，
，AB=AC，
设DM=DE=m，CD=n，则CH=2m，CM=m+n，DF=CD=n，
∴FM=DF−DM=n−m，
，
∴BM=CM=m+n，
∴BF=BM−FM=m+n−(n−m)=2m，
∴CH=BF，
在△ABF和△ACH中，
∴△ABF≌△ACH(SAS)，
∴AF=AH，
∵FE=EH，
，即．
  
 
【解析】
【分析】(1)由旋转的性质得DM=DE，，利用三角形外角的性质求出，可得DE=DC ，等量代换得到DM=DC 即可；
(2)延长FE 到H使FE=EH ，连接CH，AH ，可得DE 是△FCH的中位线，然后求出，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，证明△ABF≌△ACH(SAS)，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
  
28.【答案】(1)① C1，C2；
② OC= 2；
(2)1⩽t⩽2 33或2 63⩽t⩽ 3．
 
【解析】
【分析】(1)根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；
(2)根据M(0,3)，N(6 55,0)两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．
【详解】(1)解：①由关联点的定义可知，若直线CA,CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，
∵点A(−1,0)，B1(− 22, 22)，C1(−1,1)，C2(− 2,0)，C3(0, 2)，
∴直线AC2经过点O，且B1C2与⊙O相切，
∴C2是弦AB1的“关联点”，
又∵C1(−1,1)和A(−1,0)横坐标相等，与B1(− 22, 22)都位于直线y=−x上，
∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O，
∴C1是弦AB1的“关联点”．
②∵A(−1,0)，B2( 22,− 22)，
设C(a,b)，如下图所示，共有两种情况，

a.若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，
则C1B2、AC1所在直线为：y=x− 2y=0,
解得：C1( 2,0)，
∴OC1= 2，
b.若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，
则C2B2、AC2所在直线为：x=−1y=−x,
解得：C2(−1,1)，
∴OC2= 2，
综上，OC = 2．
(2)解：∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，
又∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M(0,3)，N(6 55,0)，OM>ON，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，

①当S位于点M(0,3)时，MP为⊙O的切线，作，
∵M(0,3)，⊙O的半径为1，且MP为⊙O的切线，
，
，
∴△MPO∽△POJ，
∴OPOJ=OMOP，即1OJ=3，
解得OJ=13，
∴根据勾股定理得，PJ= PO2−OJ2=2 23，Q1J=23
根据勾股定理，PQ1= PJ2+Q1J2=2 33，同理，PQ2= PJ2+Q2J2=2 63，
∴当S位于点M(0,3)时，PQ1的临界值为2 33和2 63．
②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，
∵点M(0,3)，N(6 55,0)，
∴MN= OM2+ON2=9 55，
∴OK=OM×ON÷MN=2，
又∵⊙O的半径为1，，
∴三角形OPQ为等边三角形，
∴在此情况下，PQ=1，PQ= 3，
∴当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，PQ1的临界值为1和 3，
∴在两种情况下，PQ 的最小值在1⩽t⩽2 33内，最大值在2 63⩽t⩽ 3，
综上所述，t的取值范围为1⩽t⩽2 33或2 63⩽t⩽ 3 ．