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备战2024高考一轮复习数学（理） 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件PPT
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这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件PPT，共29页。PPT课件主要包含了a1qn－1等内容，欢迎下载使用。
1．等比数列的有关概念
2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.解析：由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案：63
4．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝________.
5．若正项等比数列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为________．
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)基础点 等比数列基本量的运算 [题点全训]1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A．14 B．12 C．6 D．3
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )A．4 B．10 C．16 D．32解析：设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.答案：C
[一“点”就过]等比数列基本运算中的2种常用数学思想
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一) 等比数列的判定与证明 [典例] 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.求证：{bn}是等比数列．[证明] a1＝2，a2＝2(a1＋1＋1)＝2×(2＋2)＝8，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*) ①，an＝2(Sn－1＋n)(n≥2) ②，①－②得，an＋1＝3an＋2(n≥2)，经检验，当n＝1时上式也成立，即an＋1＝3an＋2(n∈N*)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即bn＋1＝3bn，且b1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
[针对训练]已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
[方法技巧](1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[针对训练]1．(2023·衡水中学高三模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝( )A．5 B．10 C．15 D．－20解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝7，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，即1，S20－1,7－S20，S40－7成等比数列，所以(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍去)，所以1,2,4，S40－7成等比数列，所以S40－7＝8，解得S40＝15，故选C.答案：C
3．(2023·长沙模拟)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1>1，其前n项积为Tn，且T15＝T8，则Tn取得最大值时，n的值是( )A．10 B．10或11 C．11或12 D．12或13
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)1．(忽视等比数列中项的符号)已知数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝( )A．8 B．±8 C．－8 D．1
4．(借助数学文化)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“有一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情境，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，所需的天数为( )A．7 B．8 C．9 D．10
5．(体现数学应用)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死，至少需要( )A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．7秒
6．(强化开放思维)等比数列满足如下条件：①a1<0；②数列{an}单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝________.
“课时验收评价”见“课时验收评价(三十六)” (单击进入电子文档)
1．等比数列的有关概念
2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.解析：由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案：63
4．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝________.
5．若正项等比数列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为________．
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)基础点 等比数列基本量的运算 [题点全训]1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A．14 B．12 C．6 D．3
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )A．4 B．10 C．16 D．32解析：设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.答案：C
[一“点”就过]等比数列基本运算中的2种常用数学思想
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一) 等比数列的判定与证明 [典例] 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.求证：{bn}是等比数列．[证明] a1＝2，a2＝2(a1＋1＋1)＝2×(2＋2)＝8，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*) ①，an＝2(Sn－1＋n)(n≥2) ②，①－②得，an＋1＝3an＋2(n≥2)，经检验，当n＝1时上式也成立，即an＋1＝3an＋2(n∈N*)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即bn＋1＝3bn，且b1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
[针对训练]已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．
[方法技巧](1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[针对训练]1．(2023·衡水中学高三模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝( )A．5 B．10 C．15 D．－20解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝7，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，即1，S20－1,7－S20，S40－7成等比数列，所以(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍去)，所以1,2,4，S40－7成等比数列，所以S40－7＝8，解得S40＝15，故选C.答案：C
3．(2023·长沙模拟)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1>1，其前n项积为Tn，且T15＝T8，则Tn取得最大值时，n的值是( )A．10 B．10或11 C．11或12 D．12或13
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)1．(忽视等比数列中项的符号)已知数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝( )A．8 B．±8 C．－8 D．1
4．(借助数学文化)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“有一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情境，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，所需的天数为( )A．7 B．8 C．9 D．10
5．(体现数学应用)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死，至少需要( )A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．7秒
6．(强化开放思维)等比数列满足如下条件：①a1<0；②数列{an}单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝________.
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