【暑假初升高】(人教A版2019)数学初三（升高一）暑假-2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》讲学案

§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

一．一元二次不等式

    1．对于开口向上的二次函数对应的一元二次不等式，解不等式的口诀是__________________________；若开口向下，则_________________________．

2．解分式型不等式的方法是：________________________，需要注意_______________.

【注意】：1．解一元二次不等式都是利用二次函数的图像来理解；2．解一元二次不等式重点是求出两根．

二．二次函数的恒成立问题

【注意】：二次项系数是否为“0”．

三．二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

【注意】：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标；（2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

四．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

【注意】：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间；（2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

解下列不等式：

（1）                     （2）

（3）                    （4）

（5）

【答案】见第0讲

解下列不等式：

（1）                   （2）

（3）                  （4）

（5）                   （6）

【答案】见第0讲

解关于的不等式．

设，则关于的不等式的解集为（　　）

二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式ax2﹣8x﹣a≥0的解集为（　　）

解关于的不等式.

设，则关于的不等式的解集为（    ）

解关于的不等式.

已知关于的不等式.

（1）若不等式的解集为，求，的值；

（2）当，且满足，有，求实数k的取值范围.

已知关于的不等式：.

（1）当时解不等式；

（2）当时解不等式.

关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）

若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）

【答案】D

已知不等式的解集为，则不等式的解集是（　　）

【答案】A

已知不等式的解集为.

（1）求b和c的值；

（2）求不等式的解集.

关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

已知二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）

不等式的解集为，则不等式的解集为（　　）

关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

【答案】C

已知.

（1）如果，恒成立，求实数a的取值范围；

（2）如果，使成立，求实数a的取值范围.

【答案】略

若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ）

【答案】B

若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是       .

【答案】

对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

【答案】C

（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（2）对任意，函数的值恒大于0，求a的取值范围．

【答案】略

若不等式对一切恒成立，则的取值范围是       .

【答案】

若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ）

若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

【答案】B

已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

【答案】略

若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是       .

【答案】

汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为

“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，

发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超

10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s

乙＝0.05x+0.005x2．则交通事故的主要责任方是　 　（填“甲”或“乙”）．

某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，

x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是　   　台．

某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，

每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，

每小时的油耗为11.5L，则k=　  　，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为　  　．

某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百

分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）

个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；

（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

1.解下列不等式：

（1）                       （2）

（3）                      （4）

（5）                           （6）

【答案】见第0讲

2.解关于x的不等式．

【答案】略。

3.当时，解关于x的不等式．

【答案】略

4.若不等式的解集为，则m的取值范围是________.

【答案】m<0

1.不等式的解集为，则的值分别为（    ）

【答案】D

2.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

【答案】A

3.若不等式与关于x的不等式x2+px+q>0的解集相同，则x2-px+q<0的解集是（    ）

【答案】A

4.已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

5.（多选）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（    ）

1.使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

【答案】A

2.对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

【答案】D

3.若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，1]恒成立，则m的取值范围为________．

【答案】m≤-3

4.若不等式在上有解，则实数m的取值范围是________．

【答案】m>-1

5.设函数，

（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；

（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：

【答案】略

6.已知关于的不等式．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】略

7.已知二次函数，若不等式的解集为（1，2），且方程有两个相等的实数根．

 （1）求函数的解析式；

 （2）若，成立，求实数的取值范围．

【答案】略