高中数学高考复习 第54讲抽象函数问题 练习

  第五十四讲 抽象函数问题

A组

一、选择题

1.设是定义在上的周期为3的函数，当时，则（      ）

1.               B.           C.            D.

解析：  选B

2.定义在R上的奇函数满足，且在.则

A.    B.    C.    D.

解析：得出f(x)的周期为4，= 选C

3.给出下列三个命题：

①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网

②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；

③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。

其中真命题是

A. ①②       B. ①③         C.②③        D. ②

【答案】C

【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。

4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(       ).     

A.           B.

C.           D.

【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.     

答案:D.

5、设函数为偶函数，且，满足时，，则当时，

A.   B.   C.   D.

答案选D。

解析：由题意，f（x）的周期为2，当

6、定义在上的函数满足.当时，，当时，。则

（A）335           （B）338           （C）1678           （D）2012

【答案】B

【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.

二、填空题

7、设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时， f(x)＝则f＝________.

解析：f＝f＝f＝－4×2＋2＝1.

答案：1

8．已知是奇函数，且，若，则      。

【答案】

【解析】因为为奇函数，所以，所以，，

所以。

9.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.

解析：当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.

答案：－

三、解答题

10. ．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数．

∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，

得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，

即f(1＋x)＝f(1－x)．

从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4×＝4.

(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，

单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．

B组

一、选择题

1. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B

2.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为

（A）6    （B）7     （C）8      （D）9

【答案】A

【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为6个,选A.

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　)

A．335　　　　　　　　　　　　　　 B．338

C．1 678   D．2 012

解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.

答案：B

4.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π） 且x≠时 ，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为

A .2  B .4  C.5   D. 8

【答案】Ｂ

【解析】由当x∈（0，π） 且x≠时 ，，知

又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：当x≥0时，f(x)＝，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈，选B.

答案：B

二、填空题

6、设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，

其中．若，

则的值为  ▲  ．

【答案】。

【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。

        又∵，，

        ∴②。

        联立①②，解得，。∴。

7、函数对于任意实数满足条件，若则_______________。

解：由得，所以，则。

8、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．

解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①

由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

答案：－10

9、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则     

【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以

答案:-8

三、解答题

10、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求函数的最小正周期；

(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．

[解]　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)的最小正周期为4.

(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

又∵f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.

C组

一、选择题

1、函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为（   ）

A.  B. C. 或   D. 或

    解析：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，于是   x∈[1，2]，则（x-2）∈[-1，0]．于是，①当a=0时，联立,解得x=0，y=0,或x=y=1，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当-2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x-2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=y=，其切点为∴a=，=x-, y=(x-2)2（1≤x＜2）解之得x= 综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或- 又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为或 （n∈Z）．故应选C．

2．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是

A.    B.   C.   D.

    解析：是定义在R上的偶函数, 的周期为4，分别在同一坐标系中作出y=与y=的图象， 选D

3.设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为

(A)5                   (B)6              (C)7             (D)8

【答案】B

【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，

当时，g(x)=xcos；当时，g(x)= xcos，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B

二、填空题

4、 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．

解析：数形结合，答案：　

5.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是______．

【答案解析】604解析：y=x2与 y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，但当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x=16无根

即当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，由f（x）+f（x+5）=16，

即当x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点

又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，

∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，

在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]

在x∈[0，4]函数有两个零点，

在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，

在x∈（2004，2013]共有两个零点，

综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604

故答案为：604

6．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③>0；④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是              .

 【解析】由 f(x)= lgx的图象和性质，选②③

7．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有，且当 时，，若在区间 内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是      ．

【答案】（，2）

【命题立意】本题旨在考查指数函数与对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判定．

【解析】由题f（x－2）=f（x+2）可得函数f（x）是一个周期为4的周期函数，又当x∈[－2，0]时，f（x）=（）x－1，而f（x）是偶函数，则有当x∈[0，2]时，f（x）=2x－1，又在区间（－2，6] 内关于x的方程f（x）－loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（－2，6]上有3个不同的交点，又f（－2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题可得，当x=2时的函数值必须小于3，当x=6时的函数值必须大于3，即loga4<3且loga8>3，解得<a<2．

8．  定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.

解析：本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．

当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)．又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.

答案：－

9.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是              。

【答案】

【解析】图象如图所示。

的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。

三、解答题

10、设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,

从而知函数不是奇函数,

由

,从而知函数的周期为

又,故函数是非奇非偶函数;

(II)由

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.