2023届海南省华侨中学高三第四次模拟考试数学试题含解析

2023届海南省华侨中学高三第四次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的性质，以及分式不等式的解法，分别求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解.

【详解】由，可得，解得，所以，

又由不等式，即，解得，所以，

所以.

故选：B.

2．已知复数z满足，其中i是虚数单位，为z的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出复数，由复数相等求解即可.

【详解】设，则，由于，

所以，整理得：.

所以由复数相等可知：，所以.

故选：C

3．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论.

【详解】因为、，且余弦函数在上为减函数，

在中，.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

4．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据古典概型运算公式进行求解即可.

【详解】设甲、乙、丙三人用，

由题意可知：传球的方式有以下形式，

，

所求概率为.

故选：C

5．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系．假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.

【详解】由，,时，；，

.又,

故选：C.

6．已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】作出辅助线，利用向量的线性运算及数量积运算法则得到，数形结合得到当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，从而求出最小值.

【详解】设AC中点为O，连接OB，则OB＝3，

因为，所以P点在以B为圆心，1为半径的圆上，

所以，

显然，当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，

．

故选：A

7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左、右两支上，点在轴上，且，，三点共线，若，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据平面向量共线的性质，结合双曲线的定义、等边三角形的判定及性质、余弦定理、双曲线的离心率公式进行求解即可.

【详解】依题意，得，，故；又，故；不妨设，由双曲线的定义可得，，，故，故，则，故为等边三角形，故在中，，即，，，由余弦定理，，则，

故选：B．

【点睛】关键点睛：根据双曲线的性质结合已知判断为等边三角形是解题的关键.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用、的形式构造函数，应用导数研究其在上单调性，进而比较相应函数值的符号，即可知参数的大小关系.

【详解】由，令且，

所以，

令且，则，即递减，

所以，故在上恒成立，则在上递减，

所以，即，则；

由，令且，

所以在上递增，故，

故在上递增，，即，则；

综上，.

故选：C

【点睛】关键点睛：应用作差法得到某种函数形式，并构造函数研究单调性判断函数值的符号即可.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）．

A．一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，去掉x与不去掉x，它们的80％分位数都不变，则

B．两组数据，，，…，与，，，…，，设它们的平均值分别为与，将它们合并在一起，则总体的平均值为

C．已知离散型随机变量，则

D．线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强

【答案】AB

【分析】根据百分位数的计算公式，计算即可验证选项A；由平均值的定义和公式验证选项B；由二项分布的方差公式计算结果验证选项C；由线性相关系数的性质判断选项D.

【详解】对于A：一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，共10个数据，

因为80%×10=8，所以样本数据的80%分位数为第8个和第9个数据的平均数，即，

若去掉x，一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，11，11，共9个数据，

因为80%×9=7.2，所以样本数据的80%分位数为第8个数据，即，

去掉x与不去掉x，它们的80％分位数都不变，则，解得，A选项正确；

对于B：两组数据，，，…，与，，，…，，设它们的平均值分别为与，将它们合并在一起，有，则总体的平均值为 ，B选项正确；

对于C：已知离散型随机变量， 有，则，C选项错误；

对于D： 线性回归模型中，相关系数的值越大，则这两个变量线性相关性越强，D选项错误.

故选：AB

10．在四棱锥中，底面为矩形，侧面为等边三角形，，则（    ）

A．平面平面

B．直线与所成的角的余弦值为

C．直线与平面所成的角的正弦值为

D．该四棱锥外接球的表面积为

【答案】ABD

【分析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、线面角定义、异面直线所成角的定义、球的几何性质逐一判断即可.

【详解】因为为矩形，所以，

因为侧面为等边三角形，

所以，因为，

所以，由为矩形可得，

因为平面，

所以平面，而平面，

所以平面平面，因此选项A正确；

由为矩形可得，所以是直线与所成的角（或其补角），

设的中点为，连接，

因为侧面为等边三角形，

所以，而平面平面，平面平面，

所以平面，因为平面，

所以，

由勾股定理可知：，

，

，

在中，由余弦定理可得，所以选项B正确；

因为平面，

所以是直线与平面所成的角，

因此，所以选项C不正确；

设该四棱锥外接球的球心为，矩形的中心为，显然平面，

即，过作，连接，设该四棱锥外接球的半径为，

所以在直角三角形中，有，

在直角梯形中，有，，

在直角三角形中，有，

即，

解得，

所以该四棱锥外接球的表面积为，因此选项D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用线面垂直的判定定理和球的几何性质是解题的关键.

11．抛物线的焦点为F，点O为坐标原点，，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，则（    ）

A．，则P到y轴的距离为8

B．直线OP，OQ的斜率之积恒为-4

C．的最小值为

D．若直线l：，则P到y轴的距离与到直线l的距离之和的最小值为

【答案】BCD

【分析】对A，由抛物线定义列式，即可判断；

对B，设直线，联立直线与抛物线，结合韦达定理表示即可判断；

对C，由，结合均值不等式判断；

对D，所求距离之和的最小值为点F到直线l的距离，由点线距离可求.

【详解】对A，，故A错误；

对B，若直线过点F，设直线，联立，消去得，

设、，则，，

所以，故B正确；

 对C， ，则，

当且仅当时等号成立，故C正确；

对D，设P到y轴的距离为，P到l的距离为到

则，易知+的最小值为点F到直线l的距离为，

则距离之和最小值为，故D正确.

故选：BCD.

12．已知函数、的定义域均为．且满足，，，则（    ）

A． B．

C．的图象关于点对称 D．

【答案】BC

【分析】利用题干等式逐项递推，可判断A选项的正误；利用函数的对称性的定义可判断BC选项；记，，其中，分析可知，这两个数列均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，结合等差数列的求和公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，

所以，，

因为，所以，，即，

因为，所以，，

则，所以，，A错；

对于B选项，因为定义域为的函数的图象关于点对称，则，B对；

对于C选项，因为，所以，，

联立，可得，

所以，函数的图象关于点对称，C对；

对于D选项，因为，令可得，

所以，，故，

因为，所以，，可得，

所以，，可得，则，

记，，其中，且，，

则，，

所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，则，

数列是首项为，公差为的等差数列，，

所以，，D错.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数基本性质的推导，解题的关键在于通过不断的迭代、消元，结合函数基本性质的定义进行判断.

三、填空题

13．的展开式中常数项是___________.(用数字作答)

【答案】

【分析】化简得到，结合二项展开式的通项，即可求解.

【详解】由题意，化简，

又由展开式的通项为，

当时，可得，

所以的展开式中常数项是.

故答案为:

14．已知，，若，则的最小值为_____________.

【答案】4

【分析】因为，，将化为，利用基本不等式，转化为关于的一元二次不等式解决.

【详解】因为，，且，所以，即，化简得，，

解得：或，因为，，所以，当且仅当时，取“=”，所以的最小值为4.

故答案为：4

15．三棱锥中，平面，，若，，则该三棱锥体积的最大值为______；

【答案】

【分析】设三棱锥的高，分别求得，，得到三棱锥的体积为，结合基本不等式，即可求解.

【详解】如图所示，因为平面，即为三棱锥的高，设为，

又因为平面，所以，

在直角中，由，可得，

因为，且，可得，

所以三棱锥的体积为：

，

当且仅当时，即时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为.

故答案为：.

16．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）

附参考数据：；；．

【答案】

【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.

【详解】由题意可知，，事件为，，，

所以，，

，

由条件概率公式得，故答案为.

【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题

17．在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．

(1)求角A的大小；

(2)记的面积为S，若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；

（2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）因为，即

由正弦定理可得，，化简可得，

且由余弦定理可得，，所以，

且，所以.

（2）

因为，则可得，

所以

且，

即，

当且仅当，即时，等号成立.

所以

18．数列中，，对任意正整数n都有.

(1)求的通项公式；

(2)设的前项和为，证明：

①；

②.

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）根据题意化简得，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；

（2）①易得；

②由①得，设，利用乘公比错位相减法求得，即可求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，即，

又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

从而，则.

（2）①因为，所以；

②由①得，

设，

则，

两式相减得，

即，

从而，故.

19．“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表：

(1)求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标；

(2)为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，；

参考数据，.

【答案】(1)，年水产品年产量能实现目标

(2)有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系

【分析】（1）利用最小二乘法即可求得线性回归方程，代入得到预估值，由可得结论；

（2）由已知数据可得列联表，进而求得，对比临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格数据知：，，，，

，，

关于的线性回归方程为：，

当时，，年水产品年产量能实现目标.

（2）列联表如下：

则，

有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.

20．如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)见详解

(2)侧棱上存在点，或

【分析】（1）利用相似三角形和勾股定理证出，根据平面与平面垂直的性质和直线与平面垂直的性质，证得，根据直线和平面垂直的判定定理，证出平面；

（2）根据平面与平面垂直的性质以及为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角与平面与平面的夹角公式及关系，求出存在点，得出或.

【详解】（1）证明：设交于点，

底面为矩形，在中，，

为的中点，，

在中，，

，，，，，

，，，即,

∵，为等边三角形，为的中点，，

∵平面平面平面SAO，平面平面=，，

平面，

平面，，即，

又，，平面，平面.

（2）设，，

底面为矩形，∴，

∵平面平面，平面平面=，，

平面.

以坐标原点，过点作平行于的直线为轴，以和所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

∵，为等边三角形，

为的中点，

，，

,,,,，

,，，；

,

，

设平面的法向量为，

，即，令，

设平面的法向量为，

由可得，

令，，

,

平面与平面夹角的余弦值为，

，

整理得，或，均符合，

或，

侧棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，

或.

21．已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程.

【答案】(1)

(2)，或

【分析】（1）根据给定条件列方程，求出a，b即可作答.

（2）先判断直线的斜率不为0，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理、三角形面积列出函数式，利用基本不等式求解作答.

【详解】（1）由，得，

所以椭圆C的方程为，

把点的坐标代入上式，得，可得，

所以，，故椭圆C的方程为.

（2）由（1）知焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，

则O，A，B三点不能构成三角形，

所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，

联立方程组，消去x，得，

方程的判别式，

设，，则，，

.

令，则，

当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为.

令，解得，

所以此时直线l的方程为或.

【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若存在，且，使得，求证：.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导函数与原函数单调性的关系求解即可；

（2）由（1）得，设，，利用导函数可得，从而可得；设，，利用导函数的几何意义可得，从而可得，两式联立即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

令，得或，

在上，，在上，，在上，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，

设，，  

则，

因为，所以，在上单调递增.

又，所以当时，，即.

因为，所以，所以，

因为在上单调递增，且，，

所以，即.①

设，，

则.

因为，所以，在上单调递增，

又，所以当时，，即，

因为，所以，所以.

因为在上单调递增，且，，

所以，即.②

由①得，由②得，所以.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.