2023届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟考试数学试题Word版含解析

  2022—2023学年下学期高三年级

第五次模拟考试数学学科试卷

考试时间：120分钟    试卷满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.

2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知（为虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 集合满足，，则集合中的元素个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

4. 在数列中,若,则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（    ）

A.  B.  C. 2 D.

6. 已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C 与相交，且交线平行于 D. 与相交，且交线垂直于

7. 已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在所在平面内，分别以为边向外作正方形和正方形．记的内角的对边分别为，面积为,已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知展开式中的第三项的系数为45，则（    ）

A.  B. 展开式中所有系数和为

C. 二项式系数最大的项为中间项 D. 含的项是第7项

10. 年月日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比如表所示. 已知，于是分别用p＝和p＝得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，百分比y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（     ）（附：，）

A.  B.  C.  D.

11. 设，圆（为圆心），为圆上任意一点，线段的中点为，过点作线段的垂线与直线相交于点．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（    ）

A. 曲线的方程为 B. 当点在圆上时，点的横坐标为

C. 曲线的方程为 D. 与无公共点

12. 若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C  D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设，若，则a的取值范围为______.

14. 已知圆及直线，当直线被圆截得弦长为时，的值等于________.

15. 已知正四棱柱的体积为，侧棱，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为______．

16. 将数列中的项排成下表：

，

，，，

，，，，，，，

…

已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.

四、解答题：本题共6个小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）设，若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．

18. 数列，满足，，．

（1）求证：是常数列；

（2）设，，求最大项．

19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．

20. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角正弦值．

21. 已知抛物线：与圆：相交于四个点．

（1）当时，求四边形面积；

（2）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．

22. 已知函数.

（1）讨论的极值点个数；

（2）若有两个极值点，直线过点.

（i）证明：；

（ii）证明：.