2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数在复平面内对应的点是，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

5.  抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：“正面向上的硬币数为”，其中，，，，“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是(    )

A. 与相互独立 B. 与对立 C.  D.

6.  轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，为底面圆的直径，在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线与所成角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在长方体中，底面是边长为的正方形，是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  月日，世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达亿元，已超去年全年的，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”某珍珠商户销售，，，四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图同比第一季度，下列说法正确的是(    )

A. 今年商品的营收是去年的倍
B. 今年商品的营收是去年的倍
C. 今年商品的营收比去年减少
D. 今年商品，营收的总和与去年相比占总营收的比例不变

11.  如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为若、分别为、的中点，则(    )

A.
B. 平面
C. 平面平面
D. 点到平面的距离为

12.  在中，为的中点，点满足若，则(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  函数的最小正周期为______．

14.  某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离已知甲在某处静止不动，乙在点时，显示与甲之间的距离为米，之后乙沿直线从点点走到点，当乙在点时，显示与甲之间的距离为米，若，两点间的距离为米，则乙从点走到点的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为______ 米

15.  已知一组样本数据，，，，的方差为，且满足，则样本数据，，，，的方差为______ ．

16.  直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
记、、为平面单位向量，且．
求；
若，求．

18.  本小题分
在正方体中，棱长为，是上底面的一个动点．
求三棱锥的体积；
当是上底面的中心时，求与平面所成角的余弦值．

19.  本小题分
为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形中，，，点为上一点，且，过点作于点，设，．
利用图中边长关系，证明：；
若，求．

20.  本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分分，现随机抽取了名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．
求的值，并估计这名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到
乒乓球项目场地志愿服务需要名志愿者，有名男生和名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将张写有“中签”和张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．

21.  本小题分
如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，．
已知，且，
当时，求的面积；
若，求．
已知，且，求的最大值．

22.  本小题分
如图，在正三棱台中，，，分别为，的中点．
证明：平面；
设，分别为棱，上的点，且，，，均在平面上，若与的面积比为：，
证明：；
求与平面所成角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内对应的点是，，
．
故选：．
由题得到，再由复数的四则运算求解．
本题考查复数的运算及几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据、、、、、、、、、共个数，
因为，因此，该组数据的第百分位数为．
故选：．
利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，
对于，，，A错误；
对于，，，B错误；
对于，由于，即与不共线，C错误；
对于，，因此，D正确．
故选：．
根据给定条件，利用向量的坐标运算判断；利用共线向量的坐标表示判断；利用垂直关系的坐标表示判断作答．
本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，则或，A错误；
对于，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；
对于，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；
对于，若，则平面存在直线，满足，由于，则有，必有，故D正确．
故选：．
根据题意，由直线与平面平行、垂直的判断方法依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：总的可能有：
正，正，正，正，正，反，正，反，正，正，反，反，反，正，正，反，正反，反，反，正，反，反，反，
故，，，，
而，，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
正，反，反，反，正反，反，反，正，正，正，反，正，反，正，反，正，正，
正，正，反，正，反，正，正，反，反，反，正，正，反，正反，反，反，正，
所以，故选项D正确．
故选：．
列出所有基本事件，计算出对应概率，再根据独立事件和对立事件，即可逐一验证．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了独立事件的概率公式，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在直角圆锥中，为底面圆的直径，在底面圆周上且为弧的中点，，
则，
过点作交底面圆于点，连接，，如图，

则是异面直线与所成角或其补角，
显然，即是正三角形，
所以，
即异面直线与所成角的大小为．
故选：．
根据给定条件，利用几何法求出异面直线与所成角的大小作答．
本题考查异面直线所成角及其求解，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数，的周期为，
令，可得，，
所以，即，，
又，
所以，，，
又，所以，
所以．
故选：．
求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：令长方体的高为，，于是，解得，

在中，，则外接圆半径，显然平面，
因此三棱锥外接球的球心在线段的中垂面上，球心到平面的距离为，
则球半径，所以三棱锥外接球的表面积．
故选：．
根据给定条件，确定点的位置，求出的外接圆半径，再求出球心到平面的距离，求出球半径作答．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选：．
对于，逆用二倍角余弦公式，即可求解，对于，利用辅助角公式，即可求解，对于，逆用二倍角正弦公式，即可求解，对于，逆用正切的和差公式即可求解．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，
由扇形图可得：
款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，A正确；
款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，B正确；
款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，C错误；
因为商品，今年第一季度营收的总和占总营收的比例为，
商品，去年第一季度营收的总和占总营收的比例为，
所以今年商品，营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．
故选：．
由条件，根据扇形图分别计算，，，四款珍珠商品的营收，由此确定正确选项．
本题主要考查了扇形图的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接交于点，连接，取的中点，连接、，

对于选项，在正方形中，因为，，，
所以，≌，则，
所以，，则，即，
翻折后，则有，，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，对；
对于选项，因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，，则四边形为梯形，
又因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，则平面，
因为，、平面，则平面平面，
因为平面，故平面，对；
对于选项，因为，且，，，
所以，，所以，，
则，
在中，，
所以，，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，，且，
翻折前，，翻折后，，
若平面平面，且平面平面，平面，
所以，平面，
因为平面，则，
事实上，，，，则，
即、不垂直，假设不成立，故平面与平面不垂直，错；
对于选项，因为，且平面，
所以，，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，，
所以，，
设点到平面的距离为，由，即，
所以，，对．
故选：．
连接交于点，连接，取的中点，连接、，推导出平面，利用线面垂直的性质可判断选项；证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断选项；利用反证法可判断选项；利用等体积法计算出点到平面的距离，可判断选项．
本题考查线线垂直的判断，线面平行的判断，面面垂直的判断，点面距的求解，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，为的中点，，，如图，

对于，，有，A正确；
对于，，B正确；
对于，过作交的延长线于，由为的中点，得是的中位线，
则，于是，D正确；
对于，由选项D知，，假定，则，，
，与矛盾，因此，C错误．
故选：．
根据给定条件，利用三角形面积公式推理判断；
利用向量线性运算计算判断；
作辅助线结合三角形中位线性质判断；
反证法推理判断作答．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期为，
故答案为：．
利用函数的周期为，得出结论．
本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令甲的位置为点，如图，在中，，，，

由余弦定理得，，
过作于，所以所求距离的最小值为米．
故答案为：．
根据给定条件，利用余弦定理求出，进而求出作答．
本题主要考查解三角形，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，数据，，，，的平均数为，
方差，
又因为，
数据，，，，的平均数，
所以方差


．
故答案为：．
由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如下图所示：

将面、面沿着延展为一个平面，
将面、面沿着延展为一个平面，连接，
此时，线段的长即为周长的最小值，
则，，
由于，，，则≌，
延展后，则四边形为矩形，
因为，，则为等腰直角三角形，所以，
延展后，则，
由余弦定理可得．
故答案为：．
将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接，则线段的长即为周长的最小值，利用余弦定理求出线段的长，即为所求．
本题主要考查了真三棱柱的结构特征，考查了余弦定理的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知，且，
所以，，则，
所以，，
因为，所以，；
由已知可得，且，
所以． 

【解析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值；
由平面向量数量积的运算性质可得出的值．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．
 

18.【答案】解：如图所示，根据题意得：
．

如图所示，过点做平面的垂线，垂足为，易知为中点，
故为与平面所成线面角，
又，
所以与平面所成角的余弦值为：．
 

【解析】利用等体积，即可求解．
根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解．
本题考查直线与平面所成的角，属于中档题．
 

19.【答案】证明：在中，，，，则，，
在中，，，，则，
在，中，，，
则，，
依题意，四边形是矩形，则，
所以．
解：由及知，，
则，而，为锐角，即有，
，又是锐角，于是，
所以． 

【解析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答．
利用的信息结合已知，证得，再借助二倍角公式及同角公式计算作答．
本题主要考查三角和的正弦公式，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图可知，解得，
，
众数为，
因为前组的频率和为，前组的频率和为，
所以中位数在第组，设中位数为，
则，解得，
所以中位数为．
记名男生分别为，，，记名女生分别为，，则所有抽签的情况有：
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签，共有种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签，共种，
所以中签者中男生比女生多的概率为． 

【解析】由频率和为列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；
利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可．
本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，在中，由余弦定理得，解得，
在中，，则底边上的高，
所以的面积．
设，依题意，，
则，，即，而，
所以．
连接，中，，，

由余弦定理得，
则，，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以的最大值是． 

【解析】利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答．
连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答．
本题主要考查正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：延长，，交于点，
因为，
所以三棱锥为正四面体，
连接并延长，分别交，于点，，则为等边的中心，
连接，则面，
所以，
所以，
所以面．
证明：延长，交于点，
若，，，均在平面上，则，，共线，
设，则，
过点作，交于点，
设，则，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以点与点重合，均为的中点，
所以，即．
连接，，
由题知，且，，，
连接交于点，
易知，且，，
，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为． 

【解析】解：延长，，交于点，连接并延长，分别交，于点，，则为等边的中心，根据题意可得面，则，进而可得，即可得出答案．
延长，交于点，若，，，均在平面上，则，，共线，设，则，过点作，交于点，设，则，，，，，进而可得，解得，即可得出答案．
连接，，由题知，且，，，连接交于点，，，解得，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角的计算，解题中需要理清思路，属于中档题．