专题09 函数零点问题的综合应用-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题09函数零点问题的综合应用
【方法技巧与总结】
1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.


【题型归纳目录】
题型一：零点问题之一个零点
题型二：零点问题之二个零点
题型三：零点问题之三个零点
题型四：零点问题之max，min问题
题型五：零点问题之同构法
题型六：零点问题之零点差问题
题型七：零点问题之三角函数
题型八：零点问题之取点技巧

【典例例题】
题型一：零点问题之一个零点
例1．已知，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知：，
令．
当，，
此时，在，单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增．
当，，
此时，在上单调递增，在单调递减．
综上，当时，的增区间为，的减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的增区间为，的减区间为．
（2）由题可得：
（a）；

由（1）可得：
当时，，所以仅在有一个零点，满足要求；
当时，仅有一个零点，满足要求；
当时，，又在上仅有一个零点，则（a），即，
综上，若在上仅有一个零点，则的取值范围时．
例2．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
是函数的一个极值点，则．
，．
，
当时，恒成立，在上单调递减．
当时，．
在，上单调递减，在递增．
综上，当时，在上单调递减．
当时，在，上单调递减，在递增．
（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，
令，，令，可得或．
时，，时，，时，
在递增，在，递减，
且时，，时，
或．
，或
所以，的取值范围，．
例3．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
【解答】解：（Ⅰ），，
①当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，可得或，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
时，
且等号不恒成立，在上单调递增，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：
当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；
当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．
注意到．
在 上有一个零点；
，
由 得，，
，当 时，，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另解：当，时，有，，
而，于是
，
所以在没有零点，当时，，
于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，
在，上单调递减，在 上单调递增．
，
，，，，
当 时，，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到，
取，，，又易证，
，
在上有唯一零点，即在上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
题型二：零点问题之二个零点
例4．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由，解得或，
若，则恒成立，即有在上递增；
若时，由，可得或；
由，可得；
即有在，，递增，
在，递减；
若，由，可得或；
由，可得
即有在，，递增；在，递减；
综上：当时，在递减；在递增；
当时，时，在上递增；
时，在，，递增，在，递减；
时，在，，递增；在，递减．
（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，
且（1），（2），故在上存在1个零点，
取满足，且，
则（b），
故在是也存在1个零点，
故时，有2个零点；
②当时，，所以只有一个零点，不合题意；
③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；
若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，
当时，在单调增，在，递减，在，递增，
极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；
综上，有两个零点时，的取值范围为．
例5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，且，
当时，，此时在上单调递增；
当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，函数至多有一个零点，不合题意；
当时，，
由于，且，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，
由于，且（由于，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
例6．已知函数为自然对数的底数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
①时，，则
时，，在递减，
时，，在递增，
②当时，由得，，
若，则，故在递增，
若，则
当或时，，时，，
故在，递增，在递减；
综上：时，在递减，在递增，
时，在，递增，在递减；
时，在递增；
（2）①时，在递增，不可能有2个零点，
②当时，在，递增，递减，
故当时，取极大值，极大值为，
此时，不可能有2个零点，
③当时，，由得，
此时，仅有1个零点，
④当时，在递减，在递增，
故，
有2个零点，，
解得：，，
而（1），
取，则（b），
故在，各有1个零点，
综上，的取值范围是，．
题型三：零点问题之三个零点
例7．已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
当时，在上递减，在上递增，
所以在处取得极小值，
当时，，所以无极值，
当时，在上递增，在上递减，
所以在处取得极大值．
（2）设，即，
．
①若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，至多有两个零点．
②若，则，（仅（1），
单调递增，至多有一个零点．
③若，则，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
要使有三个零点，必须有成立．
由（1），得，这与矛盾，所以不可能有三个零点．
④若，则．当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
要使有三个零点，必须有成立，
由（1），得，
由及，得，
．并且，当时，，，
，
．
综上，使有三个零点的的取值范围为．
例8．已知函数，．
（1）求函数的单调区间和极值
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，没有极大值，
由）整理可得，
令，则可得，
易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
故时，函数取得最小值即，
故原方程可转化为，
令，则，
因为，
易得当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值（1），当时，函数取得极小值（e），
由题意可得，与个交点，则，
解可得，，
故的范围．
例9．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）．，
时，，在递增，
时，令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在，递减，在，递增，
综上，时，在递增，
时，在递增，在，递减，在，递增；
（2）由（1）得：，，，
若有三个零点，
只需，解得：，
故．
题型四：零点问题之max，min问题
例10．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线．
（2）设在，单调递增，求的取值范围．
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解答】解：（1）．
设曲线与轴相切于点，，
则，，
，
解得，，
因此当时，轴为曲线的切线；
（2），
导数为，
由题意可得在，恒成立，
即有的最小值，
由的导数为在递增，
即有最小值为4，
则，解得；
（3）当时，，
函数，，
故在时无零点．
当时，若，则（1），
（1），（1）（1），
故是函数的一个零点；
若，则（1），
（1），（1）（1），
故不是函数的零点；
当时，，
因此只考虑在内的零点个数即可．
①当或时，在内无零点，
因此在区间内单调，
而，（1），
当时，函数在区间内有一个零点，
当时，函数在区间内没有零点．
②当时，函数在内单调递减，在，内单调递增，
故当时，取得最小值．
若，即，则在内无零点．
若，即，则在内有唯一零点．
若，即，由，（1），
当时，在内有两个零点．
当时，在内有一个零点．
综上可得：当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，函数有三个零点．
例11．已知函数，．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解答】解：（1）若函数的定义域为，
则任意，使得，
所以△，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）若函数在上单调递减，
又因为在上为减函数，
所以在上为增函数且任意，，
所以，且（1），
即，且，
解得，
所以的取值范围为，．
（3）因为当时，，
所以，，
所以在上无零点，
①当时，过点，且对称轴，
作出的图象，可得只有一个零点，

②当时，过点，且对称轴，
当△，即时，只有一个零点，

当△，即时，的零点为，由两个零点，，

当△，即时，令，解得，，且，，
若，即时，函数有3个零点，，，

若，即时，函数有1个零点，

若若，即时，函数有2个零点，，

综上所述，当，，时，只有一个零点，
当或时，有两个零点，
当，时，有三个零点．
例12．已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，中较大者，记函数，，．若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，在上单调递增，
当时，，
当，，，，单调递增，
当，，单调递减；
（2）当时，，，在无零点，
当时，（e），（e），
若（e），即，则是的一个零点，
若（e），即，则不是的零点，
当时，，所以此时只需考虑函数的零点的情况．因为，
①当时，，在上单调递增．
所以：（ⅰ）当时，（e），在上无零点；
（ⅱ）当时，（e），又，所以此时在上恰有一个零点；
②当时，由（1）知，在递减，，递增，
又因为（e），，所以此时恰有一个零点．
综上，．
题型五：零点问题之同构法
例13．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围
【解答】解：方法一：由可得，
设，，，则，令，在单调递减，在单调递增，
故（1）．
①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，
（1），此时在区间内无零点；
②当时，（1），此时在区间内有零点；
③当时，令，解得或1或，且，
此时在单减，，单增，单减，，单增，
当或时，，此时在区间内有两个零点；
综合①②③知在区间内有零点．
方法二：由题意可得
，即，
因为当时等号成立，
所以，即，
，令，，
易知在单减，在上单增，所以（1），
又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷，
所以．
例14．已知．
（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
【解答】解：（1），，，
所以，
当时，，所以在，单调递增，
又因为，所以在，上无零点；
当时，，使得，
所以在，单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以若，即时，在，上无零点，
若，即时，在，上有一个零点，
当时，，在，上单调递减，在，上无零点，
综上当时，在，上有一个零点；
（2）由，
即，即，
则有，
令，，则，
，所以函数在上递增，
所以，则有，即，，
因为关于的方程有两个不同的实数解，
则方程，有两个不同的实数解，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以（1），
当时，，当时，，
所以．
例15．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．
【解答】解析：（1）当时，，，，
显然在单调递增，且，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
在处取得极小值，无极大值．
（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，
设，则，单调递增，
有两个解，即有两个解．
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，，当时，
．
题型六：零点问题之零点差问题
例16．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【解答】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，即时，
△，即，
解得，
综上，，．
（3）①当时，由，得
，
整理得，
令△，
则△，
记，
则，恒成立，
所以在，上是减函数，则（1），即，
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
，
设，
则，
令，得，
当时，，是减函数，
当，时，，是增函数，
，（1），
则当时，，
则，因此，
因为，，，所以，
③当时，因为，为偶函数，因此也成立，
综上所述，．
例17．已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
故
当或时，；
当或时，．
从而在，单调增加，在，单调减少；
（Ⅱ）．
由条件得：（2），即，故，
从而．
因为，
所以．
将右边展开，与左边比较系数得，，．
故．，
又，即．由此可得．
于是．
例18．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
【解答】（1）解：当时，，
，，
令，可得，令，可得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：函数的定义域为，，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以，是函数的两个零点，
，
，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以，，
由，可得，
因为，所以，
所以要证，即证，只需证（2），
因为，
所以（2），
所以，得证．
题型七：零点问题之三角函数
例19．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：


0








0

0





单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
例20．已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）函数，，
，
令，，
，函数在上单调递减，
又当时，，而，
存在唯一，使得，
当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，
函数在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，
是函数的极大值点，且，
，
又当时，；，
在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，
当时，设，则，
在上单调递减，，
①当时，，当时，，无零点，
②时，，又，当时，，无零点，
当时，，函数在区间内无零点，
函数有且仅有2个零点．
例21．已知函数．求证：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）在上有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）因为，所以，
设，则，则当时，，所以即在上递减．
又，且是连续函数，故在上有唯一零点．
当时，；当时，，
所以在内递增，在上递减，
故在上存在唯一极大值点．
（2）因为，所以，
设，则，则当时，，所以在内单调递减．
由（1）知，在内递增，在内递减，
又，所以，
又的图象连续不断，所以存在，使得；
当内时，，在内递减，
又因为，且的图象连续不断，
所以存在，使得；
当时，，，所以，从而在上没有零点，
综上，有且仅有两个零点．
例22．已知函数
（1）证明：，
（2）判断的零点个数，并给出证明过程．
【解答】解：（1）证明：因为，，，
所以为偶函数，
不妨设，，，
所以，，，
所以，
当，时，，当，时，，
即函数在，为减函数，在，为增函数，
又，，
所以，
即在，为减函数，
故，
即，
故当，时，；
（2）①由（1）得：当，时，函数有且只有1个零点为，
②当，时，，
即在，为增函数，
即（3），
即函数在，无零点，
③当，时，
，
即函数为增函数，
又，（3），
即存在使得，
即当时，，当时，，
即函数在，为减函数，在，为增函数，
又，（3），
即函数在，只有1个零点，
又函数在为偶函数，
综合①②③可得：
函数在，有1个零点，在无零点，在，无零点，
故函数在上有3个零点．
题型八：零点问题之取点技巧
例23．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末（理））已知函数
（1）当，求函数的单调区间；
（2）若有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，结合定义域由得单调递减区间，由得单调递增区间；
（2）求得，，分讨论：当时，单调递增，由零点存在性定理可作出判断；当时，可直接代入判断；当时，有最小值，再分讨论可得结果.
【详解】
（1）当时，，（），则.
由得；由得.
所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）依题意得，，
① 当时，恒成立，单调递增，
，取且，则，
所以，存在唯一，使，符合题意；
② 当时，，，
无零点，与题意不符；
③ 当时，由得，
当，，单调递减；，，单调递增.所以.
（i）当时，，有唯一零点，符合题意.
（ii）当时，令，，
则，所以在单调递减，
由，所以，又，，
所以无零点，与题意不符.
（iii）当时，显然，
又，，
，使；
设，则，
令，则，
所以函数即在单调递增，从而，
所以在单调递增，又，
，
，使得，
有个零点，与题意不符.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问在讨论时，关键点是由零点的存在性定理寻找包含零点的区间.
例24．（2022·天津·耀华中学高三月考）已知函数（是自然对数的底数，且）.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，得到在内无变号根或无根；设，通过讨论的范围，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可；
（3），，令，通过讨论的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，确定的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵，∴
当时，时，，单调递增，时，，单调递减；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增；
综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题意可求得
，
因为是函数在上的唯一的极值点，
所以在内无变号根或无根.
设，则，
①当且时，，，
所以在上单调递增，，符合条件.
②当时，令得，
，，递减，，，递增.
所以，即；
综上所述，的取值范围为
（3）由题意得：，，
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.
（ⅰ）当时，，则，所以.
因为，，所以，因此在上单调递增.
（ⅱ）当时，，则，所以.
因为，，，∴，即，又，
所以，因此在上单调递减.
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，
因为函数有两个不同的零点，所以，
即且，
而当且时，
①当时，，
∴，故在内有1个零点；
②当时，，
∴，
故在内有1个零点；
所以当且时，有两个零点，
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
例25．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数．
（1）试讨论函数的零点个数；
（2）若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知有，当显然有一个零点，当时由的符号研究单调性，进而根据极值与0的关系，结合零点存在性定理，即可知的零点个数；
（2）由题设，若，若，再由导数研究在上的单调性，根据，讨论、，构造中间函数研究单调性，结合零点存在性定理确定实数解的个数，进而求参数a的范围.
【详解】
（1）根据题意，得，有：
①若，则，此时函数在R上单调递增，又，故函数只有一个零点；
②若，令，则，
∴有，此时在上单调递增，
有，此时在上单调递减，
∴，
（ⅰ）当，即时，则，此时只有一个零点；
（ⅱ）当时，即时，则，又时，﹔时，，由零点存在定理可得：此时函数在R上有两个零点．
综上，当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．
（2）设，，
设，，由得，，，
∴，在上单调递增，即单调递增，，
①当，即时，时，，在单调递增，又，此时关于x的方程有且只有一个实数解，
②当，即时，由（1）知，
∴，则，又，故，
当时，单调递减，又，
∴在内，关于x的方程有一个实数解1，
当时，单调递增，且，令，
若，故在单调递增，则，
∴时，在单调递增，故，即，又，由零点存在定理可知，，，
∴在，关于x的方程有两个实数解，
综上，当时关于x的方程有且只有一个实数解，则．
【点睛】
关键点点睛：
（1）讨论参数，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数.
（2）设，应用导数可得单调递增且，讨论、并构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断实数解的个数.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断.
【详解】
解：（1）当时，，，
，，
∴切线方程为即；
（2）∵，
∴.
①当时，在上单调递增，在上单调递减.
∵，.∴在上有且只有一个零点.
取，使，且，则.
即有两个不同的零点.
②当时，，此时只有一个零点.
③当时，令，得或.
当时，，恒成立，∴在上单调递增.
当时，即.若或，则；
若，则.
∴在和上单调递增，在上单调递减.
当时，即.若时，
若，则.
∴在和上单调递增，在上单调递减
当时，∵，
.
∴无零点，不合题意.
综上，有两个零点的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.

【过关测试】
1．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
(2)求证：函数在区间上只有两个零点．
【答案】(1)存在；极小值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；
（2）当时，利用单调性得恒成立，此时无零点；当时，；
当时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得在上只有一个零点.由此可证结论正确.
(1)
由，可得，
则，
令，其中，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以存在，使得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，函数取得极小值．
(2)
由，当时，，所以，
所以在上为增函数，所以，
此时函数在上没有零点；
当时，可得，所以是函数的一个零点；               
当时，由 ，
令，
可得，令
则，
当，可得；
当，可得，
即在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
当时，；当时，，
又因为，
所以存在使得，即是函数的一个零点．
综上可得，函数在上有且仅有两个零点．
【点睛】
关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.
2．（2022·湖南·模拟预测）已知函数，（e是自然对数的底数，．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数与0的关系判断单调性得其最小值；
（2）对进行二次求导，分为，和三种情形，根据导数判断函数的单调性结合零点存在定理得结果.
(1)
因为，，所以，
因为在上单调递增，且，
所以，当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，所以．
(2)
由题设：
所以，令，
因为，则，所以在上单调递增；
当时，由（1）知只有一个零点，不合题意，
当时，因为在上单调递增，且，，
故存在，使得，即，，
所以当时，，在区间上单调递减．
当时，，在区间上单调递增，
所以，
则．
所以没有零点，不合题意；
当时，因为在区间上单调递增，
且，，
所以存在满足，
所以，当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以，
又
，
先证：，设，，
当时，，单调递减，当时，.单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
因为，所以
，
又因为，且
所以，，，，
所以时，有且仅有两个零点，，
故实数a的取值范围为．
【点睛】
利用导数研究函数的最值主要是通过导数判断函数的单调性，若导函数含有参数，要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定可考虑判别式、零点分布等知识，对于函数的零点主要依据为函数图象与轴交点的情形，难点在与端点处函数值符号的判定.
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝（a≤1）．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点
【解析】
【分析】
（1）求出，利用或可得答案；
（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性和最值可得答案.
(1)
，令，
当时，单调递增；当时，单调递减.
综上所述，当时，单调递增；当时，单调递减.
(2)
，，
①当时，令且当时，单调递增；
当时，单调递减，此时，∴h(x)无零点，
②当时，，令或，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，此时当时，，
当时，单调递增，注意到，
，
∴h(x)在上有唯一的零点.
③当时，，∴h(x)在（0，＋∞）上单调递增，
注意到，，
∴h(x)在（2，6）上有唯一的零点，
④当时，令或，
当时，单调递增；当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴当时，

，
当时，单调递增，注意到，，
∴h(x)在上有唯一的零点，
综上：当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点.
【点睛】
本题求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，构造函数利用零点存在性定理说明存在零点个数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二阶段练习）设
(1)当b=1时，求的单调区间；
(2)当在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间是，；单调递减区间是
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入，求解函数的导数，利用导数求解函数的单调区间；
（2）分类讨论参数的取值范围，利用导数求解函数的极值点，因有且只有一个零点，故极大值小于0，或者极小值大于0，进而求解参数的取值范围.
(1)
解:当时，，，
令，解得.
当x变化时，，变化情况如下：




1


+
0
－
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.
(2)

①当时，即时，，所以在上单调增，
此时有且只有一个零点x=0，符合题意
②当时，当x变化时，，变化情况如下：




1


+
0
－
0
+

↗
极大值
↘
极小值

↗

故当时，或，
解得：；
③当时，当x变化时，，变化情况如下：


1




+
0
－
0
+

↗
极大值

↘
极小值

↗

故当时，或，
解得：；
综上所述：的取值范围是.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
5．（2022·河北邯郸·二模）已知函数，．
(1)若，分析f（x）的单调性；
(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)是上单调递减函数；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用导数的性质，结合放缩法进行求解即可；
（2）利用函数零点的定义，结合构造函数法，结合导数的性质进行求解即可.
(1)
且，
设，当时，单调递增，
当时，单调递减，故当时，函数有最小值，
因此有，
设，
∴时，
∴，即（取等号的条件是），
是上的单调递减函数；
(2)
在区间上能成立，
且，
设，当时，单调递减，
当时，单调递增，故当时，函数有最大值，
因此有，
设，则，
设，则在区间上，单调递增，
，
故，亦即单调递减，
在区间上值域为，
实数的范围是 .
【点睛】
关键点睛：构造函数，利用导数的性质、放缩法是解题的关键.
6．（2022·江苏·模拟预测）已知函数（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程有且只有一个实根．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，得，由题知，解方程得解.
（2）令， 分三种情况讨论：当，，时
的零点情况；令，分两种情况讨论：当，时，对求导，借助单调性及零点存在性定理，判断的零点情况，进而得证.
(1)
因为，所以．
因为的图象在处的切线为，
所以解得
(2)
令函数，定义域为．
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，由知在上单调递增，
又且函数连续不间断，
所以，有．
综上所述，函数在有唯一的零点，且在上恒小于零，在上恒大于零．
令函数，讨论如下：
①当时，，
求导得．
因为，所以，
即函数在单调递增．
又因为，
，
所以函数在存在唯一的零点，
所以方程在上有唯一的零点．
②当时，．
法一：由（1）易证在上恒成立．
事实上，令，则．
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以，即在上恒成立．
从而，
所以方程在上无零点．
综上所述，方程有且只有一个实根．
法二：因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以方程在上无零点．
综上所述，方程有且只有一个实根．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形结合思想的应用．
7．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知函数．
(1)设函数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明函数在区间上无零点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数，根据给定条件，求出在上恒成立的a的范围作答.
（2）利用导数探讨函数在上的最小值大于0即可作答.
(1)
由求导得：，即，
因在区间上是增函数，则，恒成立，
当时，成立，即；当时，，而，则，
所以的取值范围是.
(2)
当时，，求导得，
令，则，因此函数即在上单调递增，
而，则存在，使，即，
当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，
因此，
而，即有，因此，，恒成立，
所以函数在区间上无零点．
【点睛】
思路点睛：可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为(或)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
8．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在区间上的零点个数.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，先求的导函数 ，所以切线的斜率 ，然后再根据直线的点斜式方程写出答案即可
（2）先求出 ，通过分类讨论与0的大小关系得出参数的取值范围对应的函数在区间上零点的个数
(1)
当时，
，即切点的坐标为

切线的斜率
切线的方程为：
即
(2)


令 ，解得 ，在上递增
同理可得，在上递增上递减

讨论函数零点情况如下：
（Ⅰ）当，即时，函数无零点，在上无零点
（Ⅱ） 当，即时，函数在上有唯一零点，而，在上有一个零点
（Ⅲ）当，即时，由于，

当时，即时， ，
由函数的单调性可知，函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，在有两个零点
当，即时，，而且 ，
由函数单调性可知，函数在上有唯一零点，在上没有零点，从而在有一个零点
综上所述，当时，函数在有无零点
当或时，函数在有一个零点
当时，函数在有两个零点
【点睛】
本题考查了函数的单调性和函数的零点问题，考查了分类讨论思想，转化思想，是一道难题
9．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）函数.
(1)求函数在的值域；
(2)记分别是的导函数，记表示实数的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，得到在单调递减，在单调递增，即可得到答案；
（2）由时，，得到，
则在上没有零点.从而将问题转化为只研究在上的零点个数，利用参变分离即可得到答案；
(1)
（1），则，当时，单调递减，当时，单调递增，.
则在的值域为.
(2)
（2）当时，，故，
则在上没有零点.
当时，，
故若有零点的话，也只能由产生零点.下面讨论在上的零点个数.
设，
因为，又在上单调递减，故
当时，
所以单调递减，由得：当时，单调递增
当时，单调递减
当时，，故，当时，，故在
上必有唯一零点.又
当时，函数有1个零点
当时，函数有2个零点
当时，函数有3个零点
综上所述：当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值、零点，考查新定义问题，对逻辑推理能力、抽象思维能力要求较高。
10．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（理））已知，
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)已知，判断函数的零点个数．
注：
【答案】(1)函数在上单调递增；
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据求导公式的运算法则可得，利用二次求导研究函数的单调性即可得出结果；
(2)利用分类讨论的思想方法和三次求导分别研究函数当、时的单调性，结合零点的存在性定理即可得出结果.
(1)
当时，，
则，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以函数在上单调递增；
(2)
函数的定义域为，则，
设，则，
令，则，
当时，，单调递增，且，所以，
即，则在上单调递增，且，所以，
即，则在上单调递增，且，
，
由零点的存在性定理知，此时函数在上有1个零点；
当时，，
令，解得，
则当时，故单调递减，
当时，故单调递增，
且，
所以存在，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，得，，
由零点的存在性定理知，此时函数在上有1个零点.
综上，当时，在有1个零点.
【点睛】
(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况；(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．