陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高二下学期第3次月考文科数学试题

2022-2023-2高二年级月考3

文科数学试卷

命题人：梅颖颖 审题人：胡楠

考试时间：120分钟 满分：150分

一､选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为（    ）

A.5    B.    C.    D.7

4.给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）

A.“”是方程“表示椭圆的充要条件”

B.已知表示直线，表示两个不同的平面，若，则

C.命题“，使得”的否定是：“，均有”

D.函数且的图像必过

5.已知向量，且实数满足约束条件，则的最大值为（    ）

A.-18    B.-10    C.-2    D.6

6.已知的图象如图，则的解析式可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（    ）

A.    B.

C.    D.

9.已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（    ）

A.    B.    C.    D.3

10.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，且一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知函数有两个极值点，且，那么关于的方程的不同实根的个数是（    ）

A.6个    B.4个    C.2个    D.1个

12.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的值不可能为（    ）

A.    B.    C.4    D.

二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分）

13.记为等比数列的前项和.若，则的公比为__________.

14.若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为__________.

15.设为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为__________.

16.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状､大小的几何图形的求面积､体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛､方垛､刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个…第层放个物体堆成的堆垛，则__________.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

18.（本题满分12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

在中，内角的对边分别为，且__________.

（1）求角的大小；

（2）已知，点在边上，且，求线段的长.

19.（本题满分12分）函数是定义在上的奇函数，且.

（1）确定的解析式；

（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；

（3）解关于的不等式.

20.（本题满分12分）某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：

（1）按分层随机抽样的方法从质量落在区间的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；

（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有蜜柚均以40元/千克收购；

B.低于2250克的蜜柚以60元/个的价格收购，高于或等于2250克的蜜柚以80元/个的价格收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

21.（本题满分12分）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于两点，

①求的取值范围；

②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.

22.（本题满分12分）已知函数.

（1）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；

（2）设存在两个极值点且.若，证明：.

2022-2023-2高二年级文数3

文科数学参考答案

一､选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.    14.    15.9    16.

答案详解：

1.【答案】B 【详解】，

又，所以.故选：.

2.【答案】B 【详解】由题意可得，则.故选：B.

3.【答案】C 【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：

其中，且平面，

所以，

所以三棱锥中最长棱为.故选：

4.【答案】D 【详解】若表示椭圆，则需要满足，

解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，

对于，若，则可能相交也可能平行，故B错误，

对于，命题“，使得”的否定是：“，均有

”，故C错误，对于，函数且的图

像必过（2，1），故D正确，故选：D

5.【答案】D 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

化为，观察图形可得，当直线过点时，

取得最大值为6.

6.【答案】C 【详解】由函数的图象可知函数的定义域为，

而选项B，的定义域为，由此即可排除选项；

函数图象关于原点对称，即为奇函数，而选项，

所以为偶函数，由此可排除选项；

根据图象可知，而选项，

，由此可排除D，选项满足图象特征.故选：.

7.【答案】D 【详解】，依题意可得在上恒成立，

即在上恒成立，设，则，

当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，

所以.故.故选：D

8.【答案】C 【详解】当时，，此段为开口向上的抛物线的一部分，

当时，，

此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为，满足条件的只有C.故选：

9.【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以，则，

因为，所以，则4是的一个周期，

因为，所以，.故选：C.

10.【答案】D 【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，

如图为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方形对角线，

为外接球球心，为线段中点，则，

过点作，垂足为，则即为所求角.

因为，所以，所以，

所以，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.故选：D.

11.【答案】B 【详解】，令得，不妨令，

故在上单调递增，在上单调递减，

方程可得，而，

由的单调性并作出图象可知直线分别过点，与

函数图象均有两个交点，故方程的根的个数是4个.

故选：B.

12.【答案】A 【详解】抛物线的焦点，准线，

圆的圆心，半径1，设，

依题意，设直线PQ方程为：，

由，消去并整理得：，则有，

，同理，于是得，

（当且仅当，即时取等号）所以的值只要不小于4即可取到，

则选项A不可能取到，选项均可能取到.故选：A

13.【答案】 【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.

当时，因为，所以，

即，即，即，解得.

故答案为：

14.【答案】 【详解】因为，所以，设切点为，所以，

所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，

所以切线方程的斜率为.

15.【答案】9 【详解】由可得，故圆的直径是4，

所以直线过圆心，即，

又，

当且仅当，即，即时，等号成立.故选：D.

16.【答案】 【详解】依题意，在数列中，，

当时，满足上式，

因此，数列的前项和为，

则，

所以.故答案为：

三､解答题（本大题共6小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.【详解】（1）因为底面平面，所以，

又，

所以平面，

而平面，

所以平面平面.

（2）由（1）可知.

于是，故.

因为，所以，即.

故四棱锥的体积.

18.【详解】（1）若选①，则根据正弦定理可得：，

由于，故，则；

若选②，则即则

而，故；

若选③，则，即，

则，而，故；

（2）如图示：，故，

故，

在中，设，则，则

，即，解得

，或（舍去）故.

19.【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：，

，解得：；

当时，，

，满足为奇函数；

综上所述：.

（2）在上单调递增；

证明如下：任取，

，

在上单调递增.

（3）为定义在上的奇函数，由得：，

又在上单调递增，，解得：，

不等式的解集为.

20.【详解】（1）由题图可得蜜柚质量在区间和[2000，2250）的比为，

所以应分别在质量为的蜜柚中抽取2个和3个.

记抽取的质量在区间的蜜柚分别为，质量在区间的蜜柚分别为，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种：

其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，所以所求概率为.

（2）方案A好，

理由：由题中频率分布直方图可知，

蜜柚质量在区间的频率为，

同理，蜜柚质量在区间

的频率依次为，

若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为，

于是总收益为

（元）.

若按方案收购：由题意知蜜柚质量低于2250克的个数为，

蜜柚质量高于或等于2250克的个数为，

所以总收益为（元）.

因为，

所以方案的收益比方案的收益高，应该选择方案A.

21.【详解】（1）由题意可得，所以双曲线的标准方程为；

（2）设直线，

联立消去整理可得，

则，又，

①因直线与双曲线交于两支，所以且，

即；

②设，

令，则

，

所以直线过定点.

22.【详解】（1）对任意的，都有即恒成立，

对恒成立，

即，

设，则，

令，则；令，则，

在上单调递减，在上单调递增，

（2）证明：

，

因为存在两个极值点，

所以存在两个互异的正实数根，

则，解得，

由根与系数关系得，

则，所以，

所以

，

令，则，

在上单调递减，

，而，即，

.