人教A版高中数学数学选择性必修第二册第四章数列培优课1求数列的通项习题含答案

这是一份人教A版高中数学数学选择性必修第二册第四章数列培优课1求数列的通项习题含答案，共9页。
第四章培优课❶　求数列的通项A级 必备知识基础练1.[探究点二]将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2 021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.2 021×22 018 B.2 022×22 019C.2 021×22 019 D.2 022×22 0202.[探究点三](多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是(　　)A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列3.[探究点一]已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　　　　. 4.[探究点二]已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=(n≥2).试求数列{bn}的通项公式.               5.[探究点四]已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an-1,试求数列{bn}的通项公式.                      B级 关键能力提升练6.在数列{an}中,a1=5,且满足-2=,则数列{an}的通项公式为(　　)A.2n-3 B.2n-7C.(2n-3)(2n-7) D.2n-57.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).若bn=log2(+1),则数列{bn}的通项公式bn等于 (　　)A.n B.n-1 C.n D.2n8.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 9.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式an.               10.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:是等比数列;(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.         C级 学科素养创新练11.已知有穷数列{an}的各项均不相等,将{an}的项由大到小重新排列后相应的项数构成新数列{pn},称{pn}为{an}的“序数列”,例如:数列a1,a2,a3满足a1>a3>a2,则其“序数列”{pn}为1,3,2.(1)若数列{an}的通项公式为an=(-2)n(n=1,2,3,4),写出{an}的“序数列”;(2)若项数不少于5项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别为bn=n·()n,cn=-n2+t·n,且{bn}的“序数列”与{cn}的“序数列”相同,求实数t的取值范围;(3)已知有穷数列{an}的“序数列”为{pn},求证:“{pn}为等差数列”的充要条件是“{an}为单调数列”.
培优课❶　求数列的通项1.B　记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,∴+1,即是以=2为首项,1为公差的等差数列.∴=2+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)·2n-2.又每行比上一行的数字少1个,∴最后一行为第2 021行,∴M=a2 021=2 022×22 019.2.AD　因为Sn+1=2Sn+n-1,所以=2.又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4,即,故C错误;由Sn=2n-n,所以Sn-Sn-1+1=2n-n-2n-1+n-1+1=2n-1,故D正确.3.an=　由(2n+1)an=(2n-3)an-1,可得(n≥2),所以,…,(n≥2).上述各式左右两边分别相乘得(n≥2),故an=(n≥2).又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).4.解∵Sn-Sn-1=(n≥2),∴()()=(n≥2).又>0,∴=1.又=1,∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,∴=1+(n-1)×1=n,故Sn=n2.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,b1=1符合上式.∴bn=2n-1.5.(1)解因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3.(2)证明因为Sn=2an+n-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,则bn=2n.6.C　因为-2=,所以=2,又=-1,所以数列是以-1为首项,公差为2的等差数列,所以=-1+2(n-1)=2n-3,所以an=(2n-3)(2n-7).7.C　由an+1=,得=1+,所以+1=2(+1),又+1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以+1=2·2n-1=2n,所以bn=log2(+1)=log22n=n.8.an=(3n-2)·2n　∵an+1=2an+3·2n+1,∴+3,即=3.∴数列是公差为3的等差数列.又=1,∴=1+3(n-1),∴an=(3n-2)·2n.9.解由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,得当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an,两式作差得nan=an+1-an,得(n+1)·an+1=3nan(n≥2),即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2×3n-2.于是an=10.(1)解根据根与系数的关系,得代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得=3.所以an+1=an+.(2)证明因为an+1=an+,所以an+1-(an-).若an=,则方程anx2-an+1x+1=0,可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0.此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,所以an≠,即an-≠0.所以数列是以为公比的等比数列.(3)解当a1=时,a1-,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以an-,所以an=,n∈N*,即数列{an}的通项公式为an=,n∈N*.11.(1)解由an=(-2)n(n=1,2,3,4),可得a1=-2,a2=4,a3=-8,a4=16,于是a4>a2>a1>a3,故{an}的“序数列”为4,2,1,3.(2)解由于bn=n·()n,则bn+1-bn=)n,当n≥2时,bn+1-bn<0,即bn+1<bn,b1=,b2=,b3=,b4=,于是b2>b3>b1>b4>b5>…>bn-1>bn,由于cn=-n2+t·n,且{bn}的“序数列”与{cn}的“序数列”相同,则c2>c3>c1>c4>c5>…>cn-1>cn,由于c1=t-1,c2=2t-4,c3=3t-9,c4=4t-16,则2t-4>3t-9>t-1>4t-16,得4<t<5,当4<t<5时,由二次函数的知识可知c4>c5>…>cn-1>cn成立,即实数t的取值范围是(4,5).(3)证明必要性:若有穷数列{an}的“序数列”{pn}为等差数列,①若{pn}为1,2,3,…,n-2,n-1,n,则有穷数列{an}为递减数列;②若{pn}为n,n-1,n-2,…,3,2,1,则有穷数列{an}为递增数列,所以由①②知,有穷数列{an}为单调数列.充分性:由于有穷数列{an}为单调数列,则①若有穷数列{an}为递减数列,{pn}为1,2,3,…,n-2,n-1,n,是等差数列;②若有穷数列{an}为递增数列,则{pn}为n,n-1,n-2,…,3,2,1,是等差数列,所以由①②知,“序数列”{pn}为等差数列.综上,有穷数列{an}的“序数列”{pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列.