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    _2021年吉林长春中考数学真题及答案

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    这是一份_2021年吉林长春中考数学真题及答案,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021年吉林长春中考数学真题及答案
    一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
    1.﹣(﹣2)的值为(  )
    A. B.﹣ C.2 D.﹣2
    【分析】直接根据相反数的定义可得答案.
    【解答】解:﹣(﹣2)的值为2.
    故选:C.
    2.据报道,我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币,比去年同期增长28.2%.其中52860000000这个数用科学记数法表示为(  )
    A.0.5286×1011 B.5.286×1010
    C.52.86×109 D.5286×107
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.
    【解答】解:52860000000=5.286×1010.
    故选:B.
    3.如图是一个几何体的三视图,这个几何体是(  )

    A.圆锥 B.长方体 C.球 D.圆柱
    【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
    【解答】解:由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体,由左视图为圆形可得为圆柱.
    故选:D.
    4.关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是(  )
    A.8 B.9 C.10 D.11
    【分析】根据判别式的意义得到△=(﹣6)2﹣4m>0,然后解关于m的不等式,最后对各选项进行判断.
    【解答】解:根据题意得△=(﹣6)2﹣4m>0,
    解得m<9.
    故选:A.
    5.如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为30米,∠A=α,则缆车从A点到达B点,上升的高度(BC的长)为(  )

    A.30sinα米 B.米 C.30cosα米 D.米
    【分析】根据sinα=求解.
    【解答】解:∵sinα==,
    ∴BC=30sinα米.
    故选:A.
    6.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为(  )

    A.35° B.45° C.55° D.65°
    【分析】先根据切线的性质得到∠ABC=90°,然后利用互余计算出∠ACB的度数.
    【解答】解:∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,
    ∴AB⊥BC,
    ∴∠ABC=90°,
    ∴∠ACB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°.
    故选:C.
    7.在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可.
    【解答】解:A、由作图可知AD是△ABC的角平分线,推不出△ADC是等腰三角形,本选项符合题意.
    B、由作图可知CA=CD,△ADC是等腰三角形,本选项不符合题意.
    C、由作图可知DA=CD,△ADC是等腰三角形,本选项不符合题意.
    D、由作图可知BD=CD,推出AD=DC=BD,△ADC是等腰三角形,本选项不符合题意.
    故选:A.
    8.如图,在平面直角坐标系中,点A、B在函数y=(k>0,x>0)的图象上,过点A作x轴的垂线,与函数y=﹣(x>0)的图象交于点C,连结BC交x轴于点D.若点A的横坐标为1,BC=3BD,则点B的横坐标为(  )

    A. B.2 C. D.3
    【分析】作BE⊥x轴于E,则AC∥BE,即可得到△CDF∽△BDE,由题意得出==,即可CF=2BE,DF=2DE,设B(,b),则C(1,﹣2b),代入y=﹣(x>0)即可求得k=2b,从而求得B的坐标为2.
    【解答】解:作BE⊥x轴于E,
    ∴AC∥BE,
    ∴△CDF∽△BDE,
    ∴==,
    ∵BC=3BD,
    ∴==,
    ∴CF=2BE,DF=2DE,
    设B(,b),
    ∴C(1,﹣2b),
    ∵函数y=﹣(x>0)的图象交于点C,
    ∴﹣k=1×(﹣2b)=﹣2b,
    ∴k=2b,
    ∴B的横坐标为==2,
    故选:B.

    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    9.分解因式:a2+2a= a(a+2) .
    【分析】直接提公因式法:观察原式a2+2a,找到公因式a,提出即可得出答案.
    【解答】解:a2+2a=a(a+2).
    10.不等式组的所有整数解为  0、1 .
    【分析】求出第一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集,从而得出答案.
    【解答】解:解不等式2x>﹣1,得:x>﹣0.5,
    则不等式组的解集为﹣0.5<x≤1,
    ∴不等式组的整数解为0、1,
    故答案为:0、1.
    11.将一副三角板按如图所示的方式摆放,点D在边AC上,BC∥EF,则∠ADE的大小为  75 度.

    【分析】由“两直线平行,同位角性质”得到∠1=∠E=45°,再根据三角形的外角定理求解即可.
    【解答】解:如图,∠C=30°,∠E=45°,

    ∵BC∥EF,
    ∴∠1=∠E=45°,
    ∴∠ADE=∠1+∠C=45°+30°=75°,
    故答案为:75.
    12.如图是圆弧形状的铁轨示意图,半径OA的长度为200米,圆心角∠AOB=90°,则这段铁轨的长度为  100π 米.(铁轨的宽度忽略不计,结果保留π)

    【分析】根据圆的弧长计算公式l=,代入计算即可.
    【解答】解:圆弧长是:=100π(米).
    故答案是:100π.
    13.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上,OA=2,点B在第一象限.标记点B的位置后,将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置,使A1O1经过点B,再标记点B1的位置,继续平移至△A2O2B2的位置,使A2O2经过点B1,此时点B2的坐标为  (3,1) .

    【分析】过点B作BP⊥y轴于点P,由△ABO是等腰直角三角形,OA=2知AP=OP=1,∠AOB=45°,继而得△BPO是等腰直角三角形,据此可知BP=PO=1,再根据题意可得答案.
    【解答】解:如图所示,过点B作BP⊥y轴于点P,

    ∵△ABO是等腰直角三角形,OA=2,
    ∴AP=OP=1,∠AOB=45°,
    ∴△BPO是等腰直角三角形,
    ∴BP=PO=1,
    由题意知点B2的坐标为(3,1),
    故答案为:(3,1).
    14.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,4)在抛物线y=ax2上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C、D在线段AB上,分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时,线段CD的长为  ﹣2+2 .

    【分析】通过待定系数法求出函数解析式,然后设点C横坐标为m,则CD=CE=2m,从而得出点E坐标为(m,4﹣2m),将点坐标代入解析式求解.
    【解答】解:把A(2,4)代入y=ax2中得4=4a,
    解得a=1,
    ∴y=x2,
    设点C横坐标为m,则CD=CE=2m,
    ∴点E坐标为(m,4﹣2m),
    ∴m2=4﹣2m,
    解得m=﹣1﹣(舍)或m=﹣1+.
    ∴CD=2m=﹣2+2.
    故答案为:﹣2+2.
    三、解答题(本大题共10小题,共78分)
    15.(6分)先化简,再求值:(a+2)(a﹣2)+a(1﹣a),其中a=+4.
    【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简,把a的值代入计算即可.
    【解答】解:原式=a2﹣4+a﹣a2
    =a﹣4,
    当a=+4时,原式=+4﹣4=.
    16.(6分)在一个不透明的口袋中装有三个小球,分别标记数字1、2、3,每个小球除数字不同外其余均相同.小明和小亮玩摸球游戏,两人各摸一个球,谁摸到的数字大谁获胜,摸到相同数字记为平局.小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀,小亮再从口袋中摸出一个小球.用画树状图(或列表)的方法,求小明获胜的概率.
    【分析】画树状图,共有9种等可能的结果,小明获胜的结果有3种,再由概率公式求解即可.
    【解答】解:画树状图如图:

    共有9种等可能的结果,小明获胜的结果有3种,
    ∴小明获胜的概率为=.
    17.(6分)为助力乡村发展,某购物平台推出有机大米促销活动,其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元,用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同.求每千克有机大米的售价为多少元?
    【分析】设每千克有机大米的售价为x元,则每千克普通大米的售价为(x﹣2)元,根据数量=总价÷单价,结合用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
    【解答】解:设每千克有机大米的售价为x元,则每千克普通大米的售价为(x﹣2)元,
    依题意得:=,
    解得:x=7,
    经检验,x=7是原方程的解,且符合题意.
    答:每千克有机大米的售价为7元.
    18.(7分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=4,BD=8,点E在边AD上,AE=AD,连结BE交AC于点M.
    (1)求AM的长.
    (2)tan∠MBO的值为   .

    【分析】(1)由菱形的性质可得△AEM∽△CBM,再由=求解.
    (2)由tan∠MBO=求解.
    【解答】解:(1)在菱形ABCD中,
    AD∥BC,AD=BC,
    ∴△AEM∽△CBM,
    ∴=,
    ∵AE=AD,
    ∴AE=BC,
    ∴==,
    ∴AM=CM=AC=1.
    (2)∵AO=AC=2,BO=BD=4,AC⊥BD,
    ∴∠BOM=90°,AM=OM=AO=1,
    ∴tan∠MBO==.
    故答案为:.
    19.(7分)稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障,为了解粮食产量情况,小明查阅相关资料得到如下信息:长春市2020年的粮食总产量达到960万吨,比上年增长约9%.其中玉米产量增长约12%,水稻产量下降约2%,其他农作物产量下降约10%.

    根据以上信息回答下列问题:
    (1)2020年玉米产量比2019年玉米产量多  85 万吨.
    (2)扇形统计图中n的值为  15 .
    (3)计算2020年水稻的产量.
    (4)小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率:=0,就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符,请说明原因.
    【分析】(1)2020年玉米产量减去2019年玉米产量即可;
    (2)1减去另外两个百分数即可求解;
    (3)根据水稻产量下降约2%求解即可;
    (4)因为式子中的几个百分数基数不同,所以不能这样计算.
    【解答】解:(1)792﹣707=85(万吨),
    故答案为:85;
    (2)1﹣82.5%﹣2.5%=15%,
    ∴n=15,
    故答案为:15;
    (3)147×(1﹣2%)=144.06(万吨),
    答:2020年水稻的产量为144.06万吨;
    (4)正确的计算方法为:(792+144.06+24﹣707﹣147﹣27)÷(707+147+27)×100%≈9%,
    因为题中式子中的几个百分数基数不同,所以不能这样计算.
    20.(7分)图①、图②、图③均是4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中找一格点M,按下列要求作图:
    (1)在图①中,连结MA、MB,使MA=MB;
    (2)在图②中,连结MA、MB、MC,使MA=MB=MC;
    (3)在图③中,连结MA、MC,使∠AMC=2∠ABC.

    【分析】(1)根据勾股定理得MA=MB=.
    (2)连接AC,取AC中点M,MA=MB=MC=.
    (3)取△ABC内心M,由圆周角定理得∠AMC=2∠ABC.
    【解答】解:如图,

    21.(8分)《九章算术》中记载,浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期,它由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水壶流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮,可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏,并从函数角度进行了如下实验探究:
    【实验观察】实验小组通过观察,每2小时记录一次箭尺读数,得到如表:
    供水时间x(小时)
    0
    2
    4
    6
    8
    箭尺读数y(厘米)
    6
    18
    30
    42
    54
    【探索发现】①建立平面直角坐标系,如图②,横轴表示供水时间x.纵轴表示箭尺读数y,描出以表格中数据为坐标的各点.
    ②观察上述各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式,如果不在同一条直线上,说明理由.
    【结论应用】应用上述发现的规律估算:
    ①供水时间达到12小时时,箭尺的读数为多少厘米?
    ②如果本次实验记录的开始时间是上午8:00,那当箭尺读数为90厘米时是几点钟?(箭尺最大读数为100厘米)

    【分析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可;
    ②观察上述各点的分布规律,可得它们是否在同一条直线上,设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b,利用待定系数法即可求解;
    【结论应用】应用上述发现的规律估算:
    ①利用前面求得的函数表达式求出x=12时,y的值即可得出箭尺的读数;
    ②利用前面求得的函数表达式求出y=90时,x的值,由本次实验记录的开始时间是上午8:00,即可求解.
    【解答】解:【探索发现】①如图②,

    ②观察上述各点的分布规律,可得它们是否在同一条直线上,
    设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b,
    则,
    解得:,
    ∴y=6x+6;
    结论应用】应用上述发现的规律估算:
    ①x=12时,y=6×12+6=78,
    ∴供水时间达到12小时时,箭尺的读数为78厘米;
    ②y=90时,6x+6=90,解得:x=14,
    ∴供水时间为14小时,
    ∵本次实验记录的开始时间是上午8:00,8:00+14=22:00,
    ∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟.
    22.(9分)实践与探究
    操作一:如图①,已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABCD的内部,点B的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠,使AD与AM重合,折痕为AF,则∠EAF= 45 度.
    操作二:如图②,将正方形纸片沿EF继续折叠,点C的对应点为点N.我们发现,当点E的位置不同时,点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时,点N恰好落在折痕AE上,则∠AEF= 60 度.
    在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
    (1)设AM与NF的交点为点P.求证:△ANP≌△FNE;
    (2)若AB=,则线段AP的长为  2﹣2 .

    【分析】操作一:由正方形的性质得∠BAD=90°,再由折叠的性质得:∠BAE=∠MAE,∠DAF=∠MAF,即可求解;
    操作二:证△ANF是等腰直角三角形,得∠AFN=45°,则∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE,求出∠NFE=∠CFE=30°,即可求解;
    (1)由等腰直角三角形的性质得AN=FN,再证∠NAP=∠NFE=30°,由ASA即可得出结论;
    (2)由全等三角形的性质得AP=FE,PN=EN,再证∠AEB=60°,然后由含30°角的直角三角形的性质得BE=AB=1,AE=2BE=2,AN=PN=a,AP=2PN=2a,由AN+EN=AE得出方程,求解即可.
    【解答】操作一:
    解:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠C=∠BAD=90°,
    由折叠的性质得:∠BAE=∠MAE,∠DAF=∠MAF,
    ∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD=45°,
    即∠EAF=45°,
    故答案为:45;
    操作二:
    解:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠B=∠C=90°,
    由折叠的性质得:∠NFE=∠CFE,∠ENF=∠C=90°,∠AFD=∠AFM,
    ∴∠ANF=180°﹣90°=90°,
    由操作一得:∠EAF=45°,
    ∴△ANF是等腰直角三角形,
    ∴∠AFN=45°,
    ∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE,
    ∴2(45°+∠NFE)+∠CFE=180°,
    ∴∠NFE=∠CFE=30°,
    ∴∠AEF=90°﹣30°=60°,
    故答案为:60;
    (1)证明:∵△ANF是等腰直角三角形,
    ∴AN=FN,
    ∵∠AMF=∠ANF=90°,∠APN=∠FPM,
    ∴∠NAP=∠NFE=30°,
    在△ANP和△FNE中,

    ∴△ANP≌△FNE(ASA);
    (2)由(1)得:△ANP≌△FNE,
    ∴AP=FE,PN=EN,
    ∵∠NFE=∠CFE=30°,∠ENF=∠C=90°,
    ∴∠NEF=∠CEF=60°,
    ∴∠AEB=60°,
    ∵∠B=90°,
    ∴∠BAE=30°,
    ∴BE=AB=1,
    ∴AE=2BE=2,
    设PN=EN=a,
    ∵∠ANP=90°,∠NAP=30°,
    ∴AN=PN=a,AP=2PN=2a,
    ∵AN+EN=AE,
    ∴a+a=2,
    解得:a=﹣1,
    ∴AP=2a=2﹣2,
    故答案为:2﹣2.
    23.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,点D为边AC的中点.动点P从点A出发,沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P不与点A、C重合时,连结PD.作点A关于直线PD的对称点A′,连结A′D、A′A.设点P的运动时间为t秒.
    (1)线段AD的长为  2 ;
    (2)用含t的代数式表示线段BP的长;
    (3)当点A′在△ABC内部时,求t的取值范围;
    (4)当∠AA′D与∠B相等时,直接写出t的值.

    【分析】(1)由勾股定理求解.
    (2)分类讨论点P在AB及BC上运动两种情况.
    (3)分别求出点A'落在AB与BC上两个临界值求解.
    (4)分类讨论点P在AB及BC上两种情况,通过添加辅助线求解.
    【解答】解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得:
    AC==4,
    ∴AD=AC=2.
    故答案为:2.
    (2)当0<t≤5时,点P在线段AB上运动,PB=AB﹣AP=5﹣t,
    当5<t<8时,点P在BC上运动,PB=t﹣5.
    综上所述,PB=.
    (3)如图,当点A'落在AB上时,DP⊥AB,

    ∵AP=t,AD=2,cosA=,
    ∴在Rt△APD中,cosA===,
    ∴t=.
    如图,当点A'落在BC边上时,DP⊥AC,

    ∵AP=t,AD=2,cosA=,
    ∴在Rt△APD中,cosA===,
    ∴t=.
    如图,点A'运动轨迹为以D为圆心,AD长为半径的圆上,

    ∴<t<时,点A'在△ABC内部.
    (4)如图,0<t<5时,

    ∵∠AA'D=∠B=∠A'AD,
    ∠ADP+∠A'AD=∠BAC+∠B=90°,
    ∴∠ADP=∠BAC,
    ∴AE=AD=1,
    ∵cosA===,
    ∴t=.
    如图,当5<t<8时,

    ∵∠AA'B=∠B=∠A'AD,
    ∠BAC+∠B=90°,
    ∴∠BAC+∠A'AD=90°,
    ∴PE∥BA,
    ∴∠DPC=∠B,
    ∵在Rt△PCD中,CD==2,CP=8﹣t,tan∠DPC=,
    ∴tan∠DPC===,
    ∴t=.
    综上所述,t=或.
    24.(12分)在平面直角坐标系中,抛物线y=2(x﹣m)2+2m(m为常数)的顶点为A.
    (1)当m=时,点A的坐标是  (,1) ,抛物线与y轴交点的坐标是  (0,) ;
    (2)若点A在第一象限,且OA=,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围;
    (3)当x≤2m时,若函数y=2(x﹣m)2+m的最小值为3,求m的值;
    (4)分别过点P(4,2)、Q(4,2﹣2m)作y轴的垂线,交抛物线的对称轴于点M、N.当抛物线y=2(x﹣m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点B、点C,且点B的纵坐标大于点C的纵坐标.若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等,直接写出m的值.

    【分析】(1)将m=代入抛物线解析式中,即可得出顶点坐标,再令x=0,即可求得答案;
    (2)运用勾股定理建立方程求解即可;
    (3)分两种情况进行讨论:①当m<0时,2(2m﹣m)2+m=3,解方程即可得出答案;②当m>0时,2(m﹣m)2+m=3,解方程即可得出答案;
    (4)分情况讨论:当m>0时,若点B在PM边上,点C在MN边上,令y=2,则2=2(x﹣m)2+2m,解方程即可;若点B在PM边上,点C在NQ边上,则2﹣2m=m+,解方程即可;若点B在PQ边上,点C在NQ边上,则4=2﹣2m,不符合题意;当m<0时,若点B在NQ边上,点C在PM边上,无解.
    【解答】解:(1)当m=时,y=2(x﹣)2+1,
    ∴顶点A(,1),
    令x=0,得y=,
    ∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,),
    故答案为:(,1),(0,);
    (2)∵点A(m,2m)在第一象限,且OA=,
    ∴m2+(2m)2=()2,且m>0,
    解得:m=1,
    ∴抛物线的解析式为y=2(x﹣1)2+2,当x<1时,函数值y随x的增大而减小;
    (3)∵当x≤2m时,若函数y=2(x﹣m)2+m的最小值为3,
    ∴分两种情况:2m<m,即m<0时,或2m>m,即m>0时,
    ①当m<0时,2(2m﹣m)2+m=3,
    解得:m=1(舍)或m=﹣,
    ②当m>0时,2(m﹣m)2+m=3,
    解得:m=3,
    综上所述,m的值为﹣或3;
    (4)如图1,当m>0时,∵P(4,2)、Q(4,2﹣2m),
    ∴M(m,2),N(m,2﹣2m),
    抛物线y=2(x﹣m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点,若点B在PM边上,点C在MN边上,
    ∴令y=2,则2=2(x﹣m)2+2m,
    ∴x=m+,(x=m﹣不符合题意,舍去),
    ∴B(m+,2),C(m,2m),
    根据题意,得2m=m+,
    解得:m=,
    若点B在PM边上,点C在NQ边上,
    则2﹣2m=m+,
    解得:m=,
    若点B在PQ边上,点C在NQ边上,
    则4=2﹣2m,
    解得:m=﹣1<0,不符合题意;
    当m<0时,如图2,
    若点B在NQ边上,点C在PM边上,
    则2﹣2m=2(x﹣m)2+2m,
    ∴x=m±,
    ∴|m+|=2或|m﹣|=2,
    解得:m=±﹣3,
    综上所述,m的值为或或±﹣3.



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