江苏省连云港市赣榆区智贤中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com赣榆智贤中学2019-2020学年度第二学期高一月考测试

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系式求得的值，进而求得的值.

【详解】由于，，所以，所以，所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，属于基础题.

2.如图，正方体的棱长为，点是面内任意一点，则四棱锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用棱锥的体积公式直接求解即可.

【详解】正方体的棱长为，点是面内任意一点，

则四棱锥的高为

所以.

故选：B

【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.

3.经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)

A. x＝－1 B. y＝1

C. y－1＝(x＋1) D. y－1＝2(x＋1)

【答案】C

【解析】

由条件知已知直线的斜率为，

故所求直线的斜率是，

因此所求直线的方程为y－1＝(x＋1)．选C．

4.在中，一定成立的等式是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

本题考查正弦定理.

在中，由正弦定理得故选C

5.已知的面积是,, ,则（  ）

A. 5 B. 或1 C. 5或1 D.

【答案】B

【解析】

∵，,

∴

①若为钝角，则，由余弦定理得，

解得；

②若为锐角，则，同理得.

故选B.

6.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

由题意可得，直线方程为：，即，

圆的标准方程为：，

圆心到直线的距离：，

则弦长为：.

本题选择A选项.

点睛：圆的弦长的常用求法

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.

7.过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m间的距离为(　　)

A. 4 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

设

因此，因此直线l与m间的距离为，选A.

8.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

取的中点，连结，则，则与平面所成角可转化为与平面所成角，过点作于点，则是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值.

【详解】取的中点，连结，则，

则与平面所成角可转化为与平面所成角，

过点作于点，

由于是正三棱柱，

平面平面，

平面，

是与平面所成角，

由题意，，

，

在中，，

与平面所成角的正弦值为.

故选：A

【点睛】本题考查了线面角的求法，解题的关键是作出线面角，考查了考生的空间想象能力，属于基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．

9.如果，，那么直线经过（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】ABC

【解析】

【分析】

确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限.

【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，

如下图所示：

由图象可知，直线经过第一、二、三象限.

故选：ABC.

【点睛】本题考查直线所过象限的判断，一般作出直线的图象即可判断，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

10.等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.

【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，

所以所形成的几何体的表面积是.

如果绕斜边旋转，形成是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，

所以写成的几何体的表面积.

综上可知形成几何体的表面积是或.

故选：AB

【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.

11.已知等边边长为．点在边上，且，．下列结论中正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

作出图形，利用余弦定理计算出，进而可求得，并利用余弦定理求出，，可计算出和，进而可判断各选项的正误.

【详解】如下图所示：

在中，，整理得，

，，解得，，则，

，

由余弦定理得，同理可得，

所以，，，

因此，，.

故选：ABD.

【点睛】本题考查解三角形，根据余弦定理解三角形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

12.如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（    ）.

A.  B.  C. 面 D. 面

【答案】AC

【解析】

【分析】

如图所示，连接､相交于点，连接，，由正四棱锥性质可得底面，，进而得到，可得平面，利用三角形的中位线结合面面平行判定定理得平面平面，进而得到平面，随即可判断A；由异面直线的定义可知不可能；由A易得C正确；由A同理可得：平面，可用反证法可说明D.

【详解】如图所示，连接､相交于点，连接，.

由正四棱锥，可得底面，，所以.

因为，所以平面，

因为，，分别是，，的中点，

所以，，而，

所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；

由异面直线定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；

平面平面，所以平面，因此C正确；

平面，若平面，则，与相矛盾，

因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.

故选:AC.

【点睛】本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知，则的值是__________.

【答案】2.

【解析】

【分析】

利用二角和的正切公式，可以直接求解．

【详解】

==2.

【点睛】本题考查了二角和的正切公式，以及整体代换思想,掌握公式的特征是解题的关键.考查了学生分析、解决问题的能力.

14.三棱锥中，、、两两互相垂直，且，，则点到平面的距离为________

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意利用等体积计算点到平面的距离，求出的面积即可．

【详解】、、两两互相垂直，且，，

，

到的距离为

的面积为

设点到平面的距离为，则

即点到平面的距离为

故答案为：

【点睛】本题考查点到面的距离，解题的关键是利用等体积法进行求解．

15.直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，设，

由与相似，可得，解得，

再由与相似，可得，解得，

由三角形的面积公式，可得的面积为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

16.在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

由正弦定理和三角函数的化简可得，再根据正弦定理即可求出．

【详解】∵，

∴，

∴，∵，

∴，∴，

由正弦定理可得，即，

当时，.当时，则的最小值为．

故答案为.

【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质和正弦定理的应用，属于中档题．

四、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）1

【解析】

试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．

（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以，得到关于的式子，代入，即可得到答案．

试题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）原式

．

考点：（1）两角和正切公式（2）齐次式的应用

18.如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线:上．

（1）求边上的高所在直线的方程；

（2）求的面积．

【答案】解：（Ⅰ） x－y－1＝0；（Ⅱ）2

【解析】

【详解】（1）由题意，求得直线的斜率，从而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程；

（2）由，求得，利用两点间的距离公式和三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.

试题解析：

（Ⅰ）由题意可知，为的中点，

∴，且，

∴所在直线方程为，

即.    

（Ⅱ）由得

∴       

∴,

∴

∴

19.设、、分别是的内角、、的对边．已知，．

（1）若，求；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由求得角的值，由正弦定理求出的值，再由大边对大角定理可求得角的值；

（2）利用余弦定理求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．

【详解】（1），且，所以，

由正弦定理可得，所以，

，，因此，；

（2）由余弦定理可得，

可得，，解得，

所以.

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.

20.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算．

（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，

，即，在中，，，则是直角三角形，且，又，且，故BD⊥平面AED．

（2）过作，交于点，因为FC⊥平面ABCD，面，所以，所以

面，因此，，故为二面角F—BD—C的平面角.

在中，，可得

因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2.

考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角.

21.在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.

（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？

（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.

【答案】（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．

【解析】

【分析】

（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位；

（2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间．

【详解】解：（1）由题意可知，，，

在中，由余弦定理得：，

，

由正弦定理得：，

即，

解得：，

，

船在船的正西方向．

（2）由（1）知，，

设小时后缉私艇在处追上走私船，

则，，

在中，由正弦定理得：，

解得：，

，

是等腰三角形，

，即．

缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．

【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．

22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．

(1)求圆O的方程．

(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

【答案】（1）x2+y2=4.（2）直线l的斜率为±2.

【解析】

试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM与AB互相垂直且平分,即得原点O到直线l的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率

试题解析：（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r==2.

所以圆O的方程为 x2+y2=4.

（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,

所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2.