2024届新高三适应性检测数学试题

绝密★启用前                                                                    试卷类型：A

2024届新高三适应性检测

数  学

本试卷共4页，22题，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和试卷上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。

1. 已知为虚数单位，复数满足，则

A.     B.     C.     D.

2. 已知非零向量与满足，则在方向上的投影向量为

A.    B.     C.     D.

3. 已知集合，，若集合中 有且只有一个元素，则实数的取值集合为

A.     B.    C.     D.

4. 若二项式，则

A.     B.    C.    D.

5. 已知，，，则它们三者的大小关系为

A.    B.    C.    D.

6. 若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为

A.    B.    C.    D.

7. 已知一门某型号高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为．现有若干门高射炮同时向同一敌机各发射 一发炮弹，若有的把握击中敌机，则至少需配置的高射炮数为（参考数据：）

A.     B.     C.     D.

8. 已知数列，，满足，．若，的首项， 且的通项公式中无常数项，则的首项的值为（参考公式：）

A.     B.     C.     D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 定义为圆的周长与半径之比，则下列结论正确的是

A.    B.  C.   D.

10. 为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构得到了如下调查数据．

根据上表数据，下列说法正确的是

A. 根据样本估计总体，若从人群中任意挑选一个人，则这个人阅读量多的概率约为

B. 有不少于的把握认为阅读量多少与幸福感强弱有关

C. 根据样本估计总体，若从幸福感弱的人群中任意挑选一个人，则这个人阅读量多的概率约为

D. 如果某个人的阅读量多，那么这个人幸福感强的概率约为

参考公式及临界值表：，其中．

11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是

A.    B.

C. 为奇函数       D. 记，则

12. 如图，三棱锥中，平面平面，，，点是平面上一点，且，记平面与平面的夹角为， 与平面的夹角为，则下列说法正确的是

A. 存在点，使得平面平面 B. 的取值范围为

C. 点到平面距离的最大值为 D. 的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 端午节时，各地的赛龙舟热闹非凡，但参赛人员的安全不容小觑．现有名救生员需要被分配到艘龙 舟上，若每艘龙舟至少需要名救生员，则不同的分配方法共有__________种（用数字作答）．

14. 已知，，若，则的最大值为__________．

15. 若点的直角坐标为，则定义点的模角坐标为，其中，表示以射线为 终边的角．若点，点（），则的最小值为__________．

16. 双曲线（，）的左焦点为，右焦点为，点为上一点，且， 若的内切圆与外接圆的面积之比为，则的离心率为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10分）

如图，多面体中，底面为边长为的正方形，底面，，．

(1) 证明：四边形是菱形；

(2) 求三棱锥的体积．

18. （12分）

在中，，是与的等差中项，且．

(1) 求的大小；

(2) 若线段上有一点，射线与的外接圆交于点，的面积与的面积之比为，求的值．

19. （12分）

某公司计划购买台某型机器．已知该型机器使用三年后将被淘汰，且有一易损零件．若在购进机器时，同时购买这种易损零件作为备件，则每个只需元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需元．该公司现需决策在购买机器时应同时购买多少个易损零件作为备件，为此搜集并整理了台该型机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的表格．

现以这台机器更换的易损零件数的频率作为每台机器更换的易损零件数发生的概率．

(1) 记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，求的分布列；

(2) 该公司的甲员工认为应在购买机器时同时购买个易损零件，而乙员工认为应在购买机器时同时购买个易损零件．若以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，试确定哪位员工的想法更合理．

20. （12分）

已知曲线．

(1) 求曲线过点的切线方程；

(2) 若点，过点的直线与曲线交于与两点，且有，求直线的斜率．

21. （12分）

已知数列满足，．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 各项均为正数的数列满足，记数列的前项和为．若对任意正整数，都有成立，其中为实数．

① 求实数的值；     ② 证明：．

22. （12分）

已知函数，其中．

(1) 若，讨论函数的单调性；

(2) 若对任意的，在区间上恒成立，求实数的取值范围．