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高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第6章 再练一课(范围:§6.1~§6.2)(含解析)
展开再练一课(范围:§6.1~§6.2)
1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
答案 A
解析 先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有CC=12(种)安排方案.
2.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有( )
A.36个 B.24个 C.18个 D.6个
答案 A
解析 若各位数字之和为偶数,则只能两奇一偶,故有CCA=36(个)符合要求的数.
3.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )
A.30种 B.35种 C.42种 D.48种
答案 A
解析 选修1门A类,2门B类的课程的选法有CC种;选修2门A类,1门B类的课程的选法有CC种,故选法共有CC+CC=18+12=30(种).
4.有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
答案 C
解析 根据题意,分3步进行分析:
①队长主动要求排在排头或排尾,则队长有2种站法;
②甲、乙两人必须相邻,将2人看成一个整体,考虑2人的左右顺序,有A=2(种)情况;
③将甲、乙整体与其余3人进行全排列,有A=24(种)情况.
则满足要求的排法有2×2×24=96(种).
故选C.
5.现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是( )
A.120 B.140
C.240 D.260
答案 D
解析 由题意,先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,然后涂C处,若C处与A处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法;若C处与A处所涂颜色不同,则C处有3种涂法,D处有3种涂法,由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选D.
6.若A=8C,则m=________.
答案 6
解析 ∵A=8C,
∴m(m-1)(m-2)=8×,m≥3,
∴m-2=4,解得m=6.
7.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有________种不同的选法.(用数字作答)
答案 660
解析 方法一 只有1名女生时,先选1名女生,有C种方法;再选3名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理知,共有CCA=480(种)选法.
有2名女生时,再选2名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理知,共有CA=180(种)选法.由分类加法计数原理知,共有480+180=660(种)不同的选法.
方法二 不考虑限制条件,共有AC种不同的选法,
而没有女生的选法有AC种,
故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660(种).
8.连接正三棱柱的6个顶点,可以组成________个四面体.
答案 12
解析 从正三棱柱的6个顶点中任取4个,有C种方法,其中4个点共面的有3种情况,故可以组成C-3=12(个)四面体.
9.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学,求:
(1)5名同学站成一排,有多少种不同的方法?
(2)5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,有多少种不同的方法?
(3)将5名同学分配到三个班,每班至少1人,共有多少种不同的分配方法?
解 (1)有A=120(种)不同的方法.
(2)5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,故有AAA=24(种)不同的方法.
(3)按人数分配方式分类:
①3,1,1,有A=60(种)方法;
②2,2,1,有A=90(种)方法.
故共有60+90=150(种)分配方法.
10.4位同学参加辩论赛,比赛规则如下:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0分,则这4位同学有多少种不同的得分情况?
解 本题分两种情况讨论.
(1)4位同学中有2人选甲,2人选乙.若这4位同学的总分为0分,则必须是选甲的2人一人答对,另一人答错,选乙的2人一人答对,另一人答错.有CAA=24(种)不同的情况.
(2)4位同学都选甲或者都选乙.若这4位同学的总分为0分,则必须是2人答对,另2人答错,有CCC=12(种)不同的情况.
综上可知,一共有24+12=36(种)不同的情况.
11.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有( )
A.6种 B.10种 C.8种 D.16种
答案 B
解析 记另外两人为乙、丙,若甲第一次把球传给乙,则不同的传球方式有
其中经过5次传球后,球仍回到甲手中的有5种,同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式,共有10种传球方式.
12.用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有( )
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
答案 B
解析 根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当首位是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有A=24(个);当首位是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3×(A-A)=54(个),因此共有54+24=78(个)这样的五位数符合要求.故选B.
13.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
答案 B
解析 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”,“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有AAA=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有AA=48(种)安排方法,故共有36+36+48=120(种)安排方法.
14.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有________种.
答案 432
解析 第一类:每相邻两节文化课之间都间隔1节艺术课,有2AA种排法;
第二类:三节文化课相邻,有AA种排法;
第三类:三节文化课中有两节相邻,与另一节之间间隔1节艺术课,有CACAA种排法.
故共有2AA+AA+CACAA=432(种)排法.
15.若自然数n使得n+(n+1)+(n+2)不产生十进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生十进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生十进位现象.那么,小于1 000的“良数”的个数为( )
A.27 B.36 C.39 D.48
答案 D
解析 如果n是良数,则n的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0),而小于1 000的数至多三位,一位数的良数有0,1,2,共3个;二位数的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3×3=9(个);三位数的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3×4×3=36(个).综上,小于1 000的“良数”的个数为3+9+36=48.
16.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,求:
(1)不定方程正整数解的组数;
(2)不定方程自然数解的组数;
(3)不定方程满足x1≥3,x2≥-2,x3,x4∈N的解的组数.(x1,x2∈Z)
解 (1)问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C=165.
(2)令X1=x1+1,X2=x2+1,X3=x3+1,X4=x4+1,则X1+X2+X3+X4=16,Xi∈N*,问题相当于将16个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程自然数解的组数为C=455.
(3)令Y1=x1-2,Y2=x2+3,Y3=x3+1,Y4=x4+1,则Y1+Y2+Y3+Y4=15,Yi∈N*,问题相当于将15个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程满足条件的解的组数为C=364.