艺术生高考数学专题讲义：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考点二  命题及其关系、充分条件与必要条件

知识梳理

1．命题的概念

可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及相互关系

(1) 四种命题

(2) 四种命题间的逆否关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

4．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．

(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．

(5) 如果p q，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

典例剖析

题型一  四种命题及其相互关系

例1　命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案　B

解析　将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

变式训练  命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案　C

解析　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

解题要点  1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

2.一些常见词语的否定

例2　有下列几个命题：

①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

答案  ②③

解析  ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．

②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．

变式训练  下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)

① 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；

② 若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；

③ 命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；

④ 命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．

答案  ④

解析  命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x＝y ，则sinx＝siny”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．

解题要点  1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二  充分条件与必要条件

例3　已知p：“a，b，c成等比数列”，q：“b＝”，那么p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案  D

解析  若a，b，c成等比数列，则有b2＝ac，所以b＝±，所以充分性不成立．当a＝b＝c＝0时，b＝成立，但此时a，b，c不成等比数列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件．

变式训练  在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的 (　　)

A．充分必要条件  B．充分非必要条件  C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

答案  A

解析  由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA≤sinB．

例4　设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．

答案  必要不充分

解析  因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分条件．

变式训练  设x∈R，则“x>1”是“”的(   )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案  A

解析  由不等式得，即或，所以由可以得到不等式成立，故充分性成立；但由不一定得到，所以必要性不成立，即“x>1”是“”的充分而不必要条件．

解题要点  1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．

2．充要条件的三种判断方法

(1) 定义法：根据pq，qp进行判断；

(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．

当堂练习

1. 设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当1<x<2时，2<2x<4，∴p⇒q；但由2x>1，得x>0，∴qp，故选A.

2．设, 则 “”是“”的 (　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案  A

解析  由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；

由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时 (a－b)·a2<0，必要性不成立；故选A.

3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

答案　D

解析　对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．

4．已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的      条件．

答案  充分不必要条件

解析  当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；

当(a＋bi)2＝2i时，得

解得a＝b＝1或a＝b＝－1，

所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．

5.U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”        条件．

答案　充要条件

解析　若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；

若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．

课后作业

一、    选择题

1．下列语句中命题的个数是(　　)

①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.

A.0     B.1    C.2     D.3

答案  D

2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A．充要条件  B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．

3．“1<x<2”是“x<2”成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案  A

4．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　)

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p是q的必要不充分条件，故选C.

5．下列结论错误的是(　　)

A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

答案　C

解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题，故选C.

6．若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0    B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0  D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

答案　D

解析　原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若q，则p”．

∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

7．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0         B．2           C．3           D．4

答案　B

解析　向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，

∴命题p为真，其逆命题为假，

故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.

8．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．

二、填空题

9．x≠3或y≠5是x＋y≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

答案  必要不充分

解析  设p：x＝3且y＝5，q：x＋y＝8，显然p是q的充分不必要条件，

∴p是q的必要不充分条件，即x≠3或y≠5是x＋y≠8的必要不充分条件．

10．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．

答案　2

解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．

11．(1)“x>y>0”是“<”的________条件．

(2) 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的________条件．

答案　(1)充分不必要　(2)充要

解析　(1)<⇒xy·(y－x)<0，

即x>y>0或y<x<0或x<0<y.

所以x>y>0 ⇒<，但反过来<，

所以是充分不必要条件．

(2) 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．

因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.

所以是充要条件．

12．下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若＞，则a＜b”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.

答案　①②

解析　对于①其否命题为“若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a＜b，则＞”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题.

13．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．

答案　充分不必要

解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，

即m≤，因为m<⇒m≤，反之不成立．

故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．