2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期期末调研考试数学试卷-普通用卷

2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期期末调研考试数学试卷

1.  已知i是虚数单位，复数，则的虚部为(    )

A. 1 B. 2 C. i D. 2i

2.  某中学高一年级有20个班，每班50人;高二年级有24个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查，若采用分层抽样的方式进行抽样，则下列说法：①甲乙两人可能同时被抽取;②高一、高二年级分别抽取100人和108人;③乙被抽到的可能性比甲的大.其中正确的有(    )

A. ① B. ①③ C. ①② D. ①②③

3.  已知，是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则

4.  已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为(    )

A. 2 B.  C.  D.

5.  已知，，是三个平面，，，，则下列结论正确的是(    )

A. 直线与直线可能是异面直线
B. 若，则直线与直线可能平行
C. 若，则直线与直线不可能相交于O点
D. 若，则

6.  已知平面向量，，满足，且对，有恒成立，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面EFD的距离为(    )

A. 1 B.  C.  D. 2

8.  已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为(    )

A. 10 B.  C.  D.

9.  学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为乙班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为，你认为下列说法中正确的是(    )

A. 平均来说乙班比甲班防守技术好
B. 乙班比甲班防守技术更稳定
C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差
D. 甲班很少不失球

10.  已知全体复数集，关于x的方程的两根分别为，，若

，则t的可能取值为(    )

A.  B.  C. 0 D. 4

11.  已知函数的部分图象如图所示，加入以下哪个选项作为已知条件，可以唯一确定的值(    )

 

A. ， B. ，
C.  D.

12.  已知棱长为1的正方体中，P为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是(    )

A. 当时，对任意，平面恒成立
B. 当，时，与平面所成的线面角的余弦值为
C. 当时，恒成立
D. 当时，的最小值为

13.  已知i是虚数单位，复数z满足，则__________.

14.  如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为__________.

 

15.  半径为R的球的球面上有四点A，B，C，D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为，则球的半径R等于__________.

16.  已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且，，则的最小值为__________.

17.  已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上.

求

设2z，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积.

18.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

求角

若，，AD是中线，求AD的长.

19.  如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点

求证：点F在平面内;

用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，，求的值.

20.  2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业所取得的成就，发扬并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分满分：100分，将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算分位数求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表，分位数小数点后面保留两位有效数字

现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人.若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差.

21.  在三棱柱中，，，，

证明：平面平面

求二面角的平面角的余弦值.

22.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且边BC上的高

若，求

已知中角B和C是锐角，求的最小值.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的概念与分类，涉及共轭复数，复数的乘法，属于基础.

【解答】

解：，则虚部为
故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了分层随机抽样，属基础题.

【解答】

解：因为总体是由差异明显的两部分组成的，所以应该采取分层随机抽样，故①正确;

高一共有人，高二共有人，从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查，高一应抽取人，高二应抽取人，故②正确;

甲被抽到的可能性为，乙被抽到的可能性为，甲和乙被抽到的可能性相等，故③不正确;

所以正确的说法是：①②

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查空间直线、平面位置关系，属于基础题.

【解答】

解：由面面平行判定定理可知A不对;
B选项缺少m不在平面内;
由面面垂直性质定理可知C错;
由面面垂直判定定理D正确.

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了投影向量，属于基础题.

【解答】

解：根据定义可知：在方向上的投影向量为，答案选C。

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了空间中点、线、面的位置关系的判断，以及异面直线、平面的基本事实的应用，属基础题.

【解答】

解：，所以，，A错

因为，，，

所以，，，

因为，所以，

所以直线，，必然交于一点即三线共点，B，C错误，故D正确.

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积、二次不等式恒成立，属于中档题.

【解答】

解：设平面向量与的夹角为，
，且对，有恒成立，-
也即对任意的实数t恒成立，
所，则，所以，
可知，，

所以，则与的夹角余弦值为，
选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了点到面距离的几何求法，属于基础题.

【解答】

解：由折叠不变可知，三棱锥中，，两两相互垂直，所以，

的三边长分别为，，，所以，等体积法求出到平面EFD的距离为所以选

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了样本数据的方差、平均数，以及由基本不等式求最值，属较难题.

【解答】

解：设增加的两个未知数分别为x、y，原来的8个数分别为，，，，

则，，

所以，

又因为，即，

则，
当时，取"="号，即得，
，

即新的样本数据的方差最小值为

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查平均数、标准差，属于基础题.

【解答】

解：A从平均数角度考虑是对的;
B从标准差角度考虑是错的;
C从标准差角度考虑是对的;
D从平均数和标准差角度考虑是对的.

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了复数集内解方程，属于基础题.

【解答】

解：因为，

当时，

当时，，选ACD

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了由部分图象求三角函数解析式，属中档题.

【解答】

解：当，时，得，又，，则A选项正确;

当，时，函数得最小正周期，，
又，，而，，则B选项正确;

由图象可以令，，

又因为，，则C选项错误;

由图象可得，，
当时，有，即得，
又，可得，则D选项正确.

12.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查直线、平面位置关系及直线与平面所成角，与多面体有关的最短距离问题，属于中档题.

【解答】

解：当时，P点在线段上，CP包含于平面，又因为平面平面所以A对;

当，时，P是的中点，且，H是垂足，所以为所求，所以B正确;

当时，点P在线段上，面，所以C对;

当时，点P在线段上，将平面和平面展开成平面图后，线段AC为所求，的最小值为

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的模，涉及复数除法运算，属于基础题.

【解答】

解：，

14.【答案】24 

【解析】

【分析】

本题考查了水平放置平面图形的斜二测画法，属基础题.

【解答】

解：将直观图还原成原图，如下图所示：

根据斜二测画法可知，，，则，
因此，的周长为

15.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题考查外接球体积，属于中档题.

【解答】

解：设的中心为，三棱锥外接球的球心为O，则当体积最大时，点D，，O在同一直线上，且垂直于底面ABC，如图，

因为为等边三角形且其面积为，所以的边长x满足，故，所以，，
故，
故三棱锥的高，

所以，
所以

16.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题考查了利用正弦定理解三角形、三角形面积公式，属于中档题.

【解答】

解：设，，则中

，

由正弦定理得：，，

在中，，，同理可得

因此可得

，
因为

经检验，则的最小值为

17.【答案】解：，

，，

，即得

由知，则，
，，，

在复平面上对应的点分别为，，，，，，

由余弦定理可得，且，

，

【解析】本题考查了复数的代数表示及其几何意义、复数的运算、余弦定理、三角形面积公式等，属中档题.
 

18.【答案】解：因为，由正弦定理可知：，

，

，

又A为三角形内角，所以

由，得，又，在中由余弦定理得：

，

所以

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，向量数量积，属于中档题.
 

19.【答案】解：连接EF，在正方体中，且，

所以四边形是平行四边形，
所以，又，
所以，所以E、F、、A四点共面，
即点F在平面内;

再连接，所以平面截正方体的截面是四边形，
所以是几何体三棱台的体积，
所以，

因此：

【解析】本题考查了空间中共面问题，正方体的结构特征，台体体积，属于中档题.
 

20.【答案】解：成绩落在的频率为，
补全的频率分布直方图，如图

样本的平均数，

设分位数为x，则，

解得：，
即这1000名学生成绩的平均数为67，分位数为

由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取30人和20人，

这200人中分数在区间所有人的成绩平均值：，

这200人中分数在区间所有人的成绩方差：，

所以，这200人中分数在区间所有人的成绩的方差为

【解析】本题考查了利用频率分布直方图估计平均数和百分位数、求分层随机抽样中的均值与方差，属中档题.
 

21.【答案】解：设AC的中点为O，连接，OB，

因为，所以，又因为，且，

所以，因为，平面，且，

所以平面，因为平面，

所以，在中，由余弦定理求得，则，

因为，所以，解得，

在和中，可知，.

在中，，因此

由知，，且AC，平面ABC，且，

所以平面平面
因此平面平面

由第一问证明易得，≌，且

取的中点P，为二面角的平面角，且，

，所以二面角的平面角的余弦值为

【解析】本题考查面面垂直的判定、二面角的平面角，余弦定理，属于中档题.
 

22.【答案】解：因为边BC上的高，所以

化简可得：

所以或

由

所以，

即且，

所以当时，

【解析】本题考查了正弦定理的应用，涉及两角和与差的正弦公式等，属于中档题.