精品解析：江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 计算的结果是（    ）

A.  B. 1 C.  D. i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算以及复数的乘法化简，即可得出答案.

【详解】.

故选：D.

2. 已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则甲排在乙前面值班的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，写出所有值班的排法及甲排在乙前面值班的排法，进而根据公式求出答案即可.

【详解】因为甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，

所以3人值班的情况有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），

（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6种，

其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，

故甲排在乙前面值班的概率为.

故选：C.

3. 设，是单位向量，若，则的值为（    ）．

A. 1 B. 0 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据平面向量数量积的运算律，将展开，计算结果.

【详解】因为，是单位向量，且，所以，，

所以

故选：A.

4. 为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. 直方图中的值为0.035

B. 估计全校学生的平均成绩不低于80分

C. 估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分

D. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为10

【答案】B

【解析】

【分析】根据各频率和为1可求，故可判断A的正误，根据公式可求均值，故可判断B的正误，根据前4组的频率之和可求60百分位数，故可判断C的正误，根据区间对应的频率可求对应的人数，故可判断D的正误.

【详解】由频率分布直方图可得，

故，故A错误.

由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：

，

故B正确.

前4组的频率为，

故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于，故C错误.

区间对应的频率为，故对应的人数为，故D错误.

故选：B.

5. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知切化弦化简，结合二倍角公式可推得，然后变为正余弦的齐次式化简运算，即可得出答案.

【详解】由可得，，

整理可得，，

所以有，所以，

所以，.

故选：D.

6. 在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】如图，长方体中，且，

所以四边形为平行四边形，，

所以和所成角等于与所成的角，

在中，，，

则，

同理，

，

在中，由余弦定理得，，

所以和所成角的余弦值为.

故选：B.

7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（    ）

A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2

C. 中位数为3，方差为1.2 D. 平均数为2，方差为1.6

【答案】D

【解析】

【分析】举特例，结合中位数、众数、平均数以及方差公式，即可得出答案.

【详解】对于A项，若试验结果为1，2，2，5，5，则满足题意，故A项可以出现点数5；

对于B项，若试验结果为2，2，3，4，5，则满足题意，故B项可以出现点数5；

对于C项，若试验结果为2，2，3，3，5，则平均数为，方差为满足题意，故C项可以出现点数5；

对于D项，若试验结果中有5，则方差大于等于，故D项不可以出现点数5.

故选：D.

8. 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案.

【详解】

如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.

则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为.

则易知，，设球的半径分别为.

因为，根据重心定理可知，.

，，，，.

由可得，，

即，解得，，所以.

由可得，，

即，解得，

所以，球的体积为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式，求出，，的值，即可得出答案.

【详解】抛掷两枚硬币，可能出现的等可能得结果为4个，

其中包括“两个正面”的结果为1个，所以；

包括“两个反面”的结果为1个，所以；

包括“一正一反”的结果为2个，所以.

所以，A项错误；B、C、D正确.

故选：BCD.

10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D.

【详解】，所以，故A错误；

，故B正确；

，

，，，故C错误；

向量在上的投影向量为，故D正确．

故选：BD

11. 在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 三棱锥的体积为

C. 线段最小值为 D. 的取值范围为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上（含端点），

对于选项A：当为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，根据已知得出的三边，即可得出为，即可判断；

对于选项B：三棱锥若以为顶点，为底面时，根据正方体性质得出此时三棱锥的高为2，底面积为2，即可得出体积判断；

对于选项C：点在线段上（含端点），则时，线段最小，根据等面积法求出答案即可判断；

对于选项D：根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断.

【详解】取、中点分别为、，连接、、、，，如下图：

为正方体，

，，，

，

平面，平面，且，，

平面平面，

为四边形内一点（含边界），且平面，

点在线段上（含端点），

对于选项A：当为时，，则与的夹角为，

此时， 则，

则与不垂直，故A错误；

对于选项B：为四边形内一点（含边界），

到平面的距离为2，

三棱锥的体积为，故B正确；

对于选项C：点在线段上（含端点），

当时，线段最小，

，，

在边上的高为，

则，

则当时，即，故C正确；

对于选项D：为正方体，

平面，

平面，

，

为直角三角形，且直角为，

，

点在线段上（含端点），

则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为，

当最小时，即，此时，此时最大，为，

则的取值范围为，故D正确；

故选：BCD.

12. 设点是的外心，且（，），则下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若是正三角形，则

D. 若，，，则四边形的面积是17

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.

【详解】对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心，

所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A正确；

对选项B：因为，则，，三点共线，

易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错；

对选项C：因为是正三角形，则也是的重心，

故，则，故C对；

对选项D：因为，故在外，又，

所以，又，，

则，故D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设，，若为实数，则m的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

因为为实数，所以，解得.

故答案为：.

14. 在中，，，则值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】根据诱导公式以及两角和的正切公式，化简即可得出答案.

【详解】.

故答案为：1.

15. 如图，用，，三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S正常工作的概率为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据独立事件以及对立事件的概率公式求出元件，中至少有一个正常工作的概率为，然后即可根据独立事件概率的乘法公式，得出答案.

【详解】由已知可得，，都不能正常工作的概率为，

所以，元件，中至少有一个正常工作的概率为.

所以，元件正常工作且，中至少有一个正常工作的概率为，

即系统S正常工作的概率为.

故答案为：.

16. 已知矩形，，，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】过分别作由题意可求得

由二面角的大小为，得到再利用可求得结果.

【详解】过分别作

则

二面角的大小为,

,

,

则,即两点间的距离为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知.

（1）求A；

（2）若，求周长的最大值.

【答案】（1）   

（2）12

【解析】

【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据的范围，即可得出答案；

（2）方法一：根据余弦定理得出，根据基本不等式可得出，整理即可得出，得出答案；方法二：根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案.

【小问1详解】

在中，由已知结合正弦定理角化边可得，

整理可得，

所以.

又，所以.

【小问2详解】

方法一：由（1）知，

所以，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以，，整理可得，

所以，

故的周长的最大值为12.

方法二：由（1）知，

所以，，

记的周长为，则，

由，，得，

所以.

又，

所以当时，.

18. 甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求：

（1）其中恰有一人破译出密码的概率；

（2）密码被破译的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案；

（2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案.

【小问1详解】

记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A、、，则，，，，，，

记“恰有一人破译出密码”为事件，

由已知可得，

.

【小问2详解】

记“密码被破译出”为事件，

因为，

所以.

19. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，.设，，，在同一平面内，试求，两点之间的距离.（结果保留根号）

【答案】

【解析】

【分析】在中，根据正弦定理求出，在中，根据正切求出，在中，由余弦定理得出答案.

【详解】在中，，，则，

又，由正弦定理，得

.

在中，，，

则.

中，由余弦定理，得

.

所以.

答：，两点之间的距离为.

20. 如图，在几何体中，四边形是边长为6的正方形，平面与平面的交线为.

（1）证明：；

（2）若平面平面，中边上的高，，求该几何体的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）60

【解析】

【分析】（1）根据已知结合线面平行的判定定理推得平面.然后即可根据线面平行的性质定理得出证明；

（2）根据面面平行的性质可证明平面，平面.即可得出，分别为四棱锥和三棱锥的高，求出四棱锥和三棱锥的体积，求和即可得出答案.

【小问1详解】

因为是正方形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

又平面，平面平面，

所以.

【小问2详解】

连接，，

因为平面平面，平面平面，

平面，，

所以平面.

同理可得平面.

又，所以平面.

因此，，分别为四棱锥和三棱锥的高，

从而.

21. 已知函数的最大值为1.

（1）求常数m的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；

（2）根据已知可得出，，然后根据二倍角公式得出的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.

【小问1详解】

，

当，即时，，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，.

由得，，所以.

又，所以，

所以，

所以，

，

所以

22. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为2的正三角形，平面，是的中点.

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求侧面与侧面所成二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质得出.然后根据线面垂直的判定定理可得出平面，进而得出证明；

（2）取的中点，连接，，根据已知可推得是直线与平面所成的角，，进而得出，.设平面与侧面交线为，根据线面平行的性质定理得出，然后根据定义法得出是侧面与侧面所成二面角的平面角.在中，即可得出答案.

【小问1详解】

因为平面，平面，所以.

又因为是正三角形，是的中点，所以.

又，平面，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

【小问2详解】

取的中点，连接，，

因为是的中点，，所以.

又，，平面，平面，

所以平面，

所以是直线与平面所成的角，

则.

因为是边长为2的等边三角形，

所以，

所以，

所以.

又所以.

设平面与侧面交线为，

因为，平面，平面，

所以平面.

又因为平面，平面平面，

所以，所以.

取的中点，连接，，则，.

又因为，，平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以，所以.

又因为，平面，平面，平面平面，

所以是侧面与侧面所成二面角的平面角.

在中，，，

所以，

所以侧面与侧面所成二面角的大小为.