备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质

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第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.


1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{xx≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T，其中T为周期.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
2.函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
3.下列函数中，是奇函数的是(　　)
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
答案　C
解析　选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；
因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4.(易错题)函数y＝cos2x＋sin x的值域为(　　)
A.[－1，1] B.
C. D.[0，1]
答案　C
解析　y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1
＝－＋，
∴当sin x＝时，ymax＝.
当sin x＝－1时，ymin＝－1.
5.函数f(x)＝cos的最小正周期是________.
答案　π
6.(易错题)函数y＝tan的图象的对称中心是________.
答案　，k∈Z
解析　由x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，∴对称中心是，k∈Z.

考点一　三角函数的定义域和值域
1.函数y＝的定义域为______.
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.

在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以原函数的定义域为.
2.函数f(x)＝sin－cos的最大值为________.
答案　
解析　f(x)＝sin－cos
＝sin＝sin
＝－cos x，
所以当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)max＝.
3.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.
答案　－4
解析　因为f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，
所以g(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数g(t)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，所以当t＝1时，g(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.
4.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
感悟提升　1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例1 (1)(2022·成都调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的函数有(　　)
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
(2)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋acos x的图象(　　)
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x＝对称
D.关于直线x＝对称
(3)(2022·西安调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)是偶函数，则θ的值为________.
答案　(1)D　(2)C　(3)
解析　(1)①y＝cos|x|＝cos x，最小正周期为2π，错误；②y＝|cos x|，最小正周期为π，正确；③y＝cos，最小正周期为＝π，正确；④y＝tan最小正周期为，错误.故选D.
(2)由题意知f(0)＝f，
所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x
＝sin，
当x＝时，x＋＝，所以直线x＝为对称轴，点不为对称中心，A错误，C正确；
当x＝时，x＋＝，所以点不为对称中心，B错误；
当x＝时，x＋＝，所以直线x＝不为对称轴，D错误，故选C.
(3)∵函数f(x)为偶函数，
∴θ＋＝kπ＋(k∈Z).
又θ∈，
∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意.
感悟提升　1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解.
2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
训练1 (1)(2022·河南名校联考)已知函数f(x)＝sin＋cos的最大值为M，若存在实数m，n，使得对任意实数x总有f(m)≤f(x)≤f(n)成立，则M·|m－n|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
答案　(1)B　(2)，k∈Z　x＝2kπ＋，k∈Z
解析　(1)令α＝2 022x＋，
则f(x)＝sin α＋cos＝sin α＋sin α＝2sin α＝2sin，其最小正周期T＝＝.
由题意可知，M＝2，|m－n|min＝T，
∴M|m－n|的最小值为.故选B.
(2)由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝2kπ(k∈Z).
又∵|φ|<，所以φ＝－，
故f(x)＝cos，
令x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
令x－＝kπ(k∈Z)，
得x＝2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋，k∈Z.
考点三　三角函数的单调性
角度1　求三角函数的单调区间
例2 (1)函数f(x)＝cos(x∈[0，π])的单调递增区间为(　　)
A. B. C. D.
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________.
答案　(1)C　(2)(k∈Z)
解析　(1)由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z.
∵x∈[0，π]，∴≤x≤π，
∴函数f(x)在[0，π]的单调递增区间为，故选C.
(2)f(x)＝sin＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为
(k∈Z).
角度2　利用单调性比较大小
例3 已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
答案　A
解析　a＝f＝2cos，
b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，
因为y＝cos x在[0，π]上递减，
又<<，所以a>b>c.
角度3　根据三角函数的单调性求参数
例4 (1)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间上单调递增，则φ的取值范围是________.
(2)(2022·山西高三测评)已知函数f(x)＝sin＋cos在(－a，a)(a＞0)上单调递增，则a的取值范围是________.
答案　(1)　(2)
解析　(1)因为函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，
所以函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，
又因为y＝2sin(2x＋φ)的单调递减区间为＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，
所以＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，
所以＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|＜π，所以令k＝0，解得≤φ≤，
所以φ的取值范围是.
(2)f(x)＝sin ＋cos ＝2sin，
由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，
所以
感悟提升　1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
训练2 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________.
(2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________.
答案　(1)，k∈Z　(2)
解析　(1)由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z.
(2)法一　令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)在区间上单调递减，
所以a的最大值为.
法二　因为≤x≤a，
所以＋≤x＋≤a＋，
又f(x)在上单调，＋＜a＋≤，即＜a≤，所以a的最大值为.
三角函数中ω的求解
在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
一、结合三角函数的单调性求解
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，
因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω＞0，所以k≥0.
又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤.
又k∈Z，所以k＝0.即≤ω≤3.故选D.
二、结合三角函数的对称性、周期性求解
例2 (2021·兰州质量预测)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是(　　)
A. B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2)
答案　C
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2sin(ω＞0)，
令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)，
由于函数f(x)图象的一条对称轴在区间内，
因此有＜＋＜(k∈Z)成立，即3k＋1＜ω＜6k＋2(k∈Z)，
由f(x)的最小正周期大于π，得＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，
综上可得1＜ω＜2.故选C.
三、结合三角函数的最值求解
例3 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
答案　(－∞，－2]∪
解析　显然ω≠0.若ω＞0，
当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪.


1.下列函数中，是周期函数的为(　　)
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
答案　C
解析　对于C，f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均不是周期函数.
2.(2021·西安调研)函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠π＋，k∈Z，
所以函数的定义域为，故选C.
3.函数f(x)＝cos的图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝－
答案　B
解析　令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，故选B.
4.已知函数f(x)＝2cos为奇函数，则φ＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　D
解析　因为f(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ＋，则φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
5.若f(x)＝sin，则(　　)
A.f(1)＞f(2)＞f(3)
B.f(3)＞f(2)＞f(1)
C.f(2)＞f(1)＞f(3)
D.f(1)＞f(3)＞f(2)
答案　A
解析　由≤2x－≤，可得≤x≤，所以函数f(x)在区间上单调递减，由于1＜＜2，且－1＜2－，故f(1)＞f(2).由于＜2＜＜3，且－2＞3－，故f(2)＞f(3)，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，故选A.
6.(2022·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点B对称，则下列选项中能使得g(x)＝cos(x＋φ) 取得最大值的是(　　)
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
答案　A
解析　因为f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z)，
又φ∈(0，π)，所以当k＝1时，φ＝，所以g(x)＝cos(x＋φ)＝cos取得最大值时，x＋＝2k1π(k1∈Z)，得x＝2k1π－(k1∈Z)，令k1＝0得x＝－.故选A.
7.已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.
答案　
解析　由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1，2)，∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为＝.
8.(2022·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z.
答案　④
解析　函数f(x)的周期为2π，①错；
f(x)的值域为[0，＋∞)，②错，
当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；
令kπ－＜x－＜kπ，k∈Z，可得2kπ－ ＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，④正确.
9.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
答案　
解析　由0得
＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为
，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
10.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.
解　(1)由题意，得
f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，
－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
11.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2) 求f(x)的单调区间.
解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a].
∴f(x)∈[b，3a＋b].
又－5≤f(x)≤1，
∴解得
(2)f(x)＝－4sin－1，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ得
＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z).

12.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是(　　)
A.(0，5) B.(0，5]
C.[1，5) D.(1，5]
答案　C
解析　令ωx＋＝kπ＋，x＝，k∈Z.
∵ω>0，由题意得解得1≤ω<5.故选C.
13.(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于原点对称；
③函数f(x)的图象过点(π，0)；
④函数f(x)为R上的单调函数.
其中所有真命题的序号是________.
答案　①②③
解析　因为f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin(2x＋4π)＝sin x＋sin 2x＝f(x)，所以2π是函数f(x)的一个周期，所以①正确；
因为f(－x)＝sin(－x)＋sin(－2x)＝－＝－f(x)(x∈R)，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以②正确；
因为f(π)＝sin π＋sin 2π＝0，所以③正确；
因为f(0)＝0，f＝1，f(π)＝0，
所以f(x)不可能是单调函数，所以④错误.
14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2, 求cos(x1－x2)的值.
解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，
函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，
∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos
＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.