备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 选考部分 第1节 坐标系与参数方程 第二课时 参数方程

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十二章 选考部分 第1节 坐标系与参数方程 第二课时 参数方程，共15页。试卷主要包含了参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程和普通方程，参数t的几何意义表示，设P是曲线C等内容，欢迎下载使用。
第二课时　参数方程
考试要求　1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.


1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.
2.参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
3.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)

1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
2.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.(　　)
(3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(4)当t＝时，点M的坐标为(2cos ，4sin )，即M(1，2)，∴OM的斜率k＝2.
2.(2019·北京卷)已知直线l的参数方程为 (t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，则点(1，0)到直线l的距离d＝＝.故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值是________.
答案　3
解析　直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.
4.(2019·天津卷)设直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则实数a＝________.
答案　
解析　圆的参数方程消去θ，得
(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∴圆心(2，1)，半径r＝2.
又直线ax－y＋2＝0与圆相切.
∴d＝＝2，解得a＝.
5.已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝，则直线l的斜率为________.
答案　±
解析　由(t为参数)，得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
＝＝，
得k＝±.
6.(易错题)设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则的最大值为________.
答案　
解析　由曲线C：(θ为参数)，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为
(－2，0)，半径为1的圆，表示的是圆上的点和原点连线的斜率，
设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，
即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的最大值为.

考点一　参数方程与普通方程的互化
1.下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；
对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；
对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；
对于D，x＝＝＝tan2t＝y2，符合y2＝x.故选D.
2.把下列参数方程化为普通方程.
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数，θ∈[0，2π)).
解　(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2).
即它的普通方程为x－y＋5－＝0.
(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2.
又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1).
3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
解　(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为(α为参数).
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
则这两条切线方程分别为
y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故这两条切线的极坐标方程分别为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1，
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
感悟提升　1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.
2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出.
考点二　参数方程的应用
例1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点P(3，)，曲线C1和C2相交于A，B两个不同的点，求||PA|－|PB||的值.
解　(1)将的参数t消去得曲线C1的普通方程为x2－＝1.
∵cos＝0，∴ρcos θ－ρsin θ＝0，
由可得曲线C2的直角坐标方程为x－y＝0.
(2)由题意得点P(3，)在曲线C2上，曲线C2的参数方程可表示为(t′为参数)，
将上述参数方程代入x2－＝1得
11t′2＋44t′＋4×29＝0，①
Δ>0，设t′1，t′2为方程①的两根，
则t′1＋t′2＝－4，t′1t′2＝，
∴(|PA|－|PB|)2＝(|PA|＋|PB|)2－4|PA||PB|＝(t′1＋t′2)2－4t′1t′2＝，
∴||PA|－|PB||＝.
感悟提升　1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
2.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t∈R，t为参数，α∈).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.
(1)求半圆C的参数方程和直线l的普通方程；
(2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1＋，求α的值.
解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入，得半圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
∵θ∈，
∴y＝ρsin θ＝2sin2θ∈(1，2]，x＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)，
∴半圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(10，得cos α>.
设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，
则
因为|AB|＝3|OA|，
所以|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1，⑤
由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝，满足Δ>0，
由得ρ＝＝－，
所以|OP|＝|ρ|＝.
6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(0