十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题01 集合（含解析）

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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题01 集合
1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4 A.{x|-4 【答案】C
【解析】由题意得N={x|-2 2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=(　　)
A.{1,6} B.{1,7}C.{6,7} D.{1,6,7}
【答案】C
【解析】由已知得∁UA={1,6,7},∴B∩∁UA={6,7}.故选C.
3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=(　　)
A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)
【答案】A
【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.
4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=(　　)
A.(-1,+∞) B.(-∞,2)C.(-1,2) D.⌀
【答案】C
【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.
5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=(　　)
A.{-1,0,1} B.{0,1}C.{-1,1} D.{0,1,2}
【答案】A
【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.
6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-11},则A∪B=(　　)
A.(-1,1) B.(1,2)C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
【答案】C
【解析】∵A={x|-11},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.
7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=(　　)
A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
【答案】D
【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.
8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA)∩B=(　　)
A.{-1} B.{0,1}C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}
【答案】A
【解析】∁UA={-1,3},则(∁UA)∩B={-1}.
9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=(　　)
A.{x|-1 C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
【答案】B
【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.
10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=(　　)
A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
【答案】A
【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.
11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(　　)
A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.
12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(　　)
A.{0} B.{1}C.{1,2} D.{0,1,2}
【答案】C
【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.
13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=(　　)
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2}
【答案】A
【解析】∵A={x|-2 14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0 A.{x|0 【答案】B
【解析】∁RB={x|x<1},A∩(∁RB)={x|0 15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=(　　)
A.{-1,1} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
【答案】C
【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.
16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA=(　　)
A.⌀ B.{1,3}C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁UA={2,4,5},故选C.
17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
【答案】A
【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
18.(2017•全国3•理T1,)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交,故A∩B中有2个元素.
19.(2017•全国1•理T1)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则(　　)
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀
【答案】A
【解析】∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
20.(2017•全国2•理T2)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=(　　)
A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
【答案】C
【解析】由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3}.
21.(2017•全国1•文T1)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则(　　)
A.A∩B=
B.A∩B=⌀
C.A∪B=
D.A∪B=R
【答案】A
【解析】∵A={x|x<2},B=, ∴A∪B={x|x<2},A∩B=,故选A.
22.(2017•全国2•文T1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=(　　)
A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4}
【答案】A
【解析】因为A={1,2,3},B={2,3,4},所以A∪B={1,2,3,4},故选A.
23.(2017•全国3•文T1)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由题意可得A∩B={2,4},则A∩B中有2个元素.故选B.
24.(2017•天津•理T1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=(　　)
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
【答案】B
【解析】∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}.∵C={x∈R|-1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.
25.(2017•北京•理T1)若集合A={x|-23},则A∩B=(　　)
A.{x|-2 C.{x|-1 【答案】A
【解析】A∩B={x|-2 26.(2017•北京•文T1)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA=(　　)
A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
【答案】C
【解析】因为A={x|x<-2或x>2},所以∁UA={x|-2≤x≤2}.

27.(2016•全国1•理T1)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A=(1,3),B=,所以A∩B=,故选D.
28.(2016•全国2•理T2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=(　　)
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
【答案】C
【解析】由题意可知,B={x|-1 29.(2016•全国3•理T1)设集合S={x|(x-2)•(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=(　　)
A.[2,3]
B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)
D.(0,2]∪[3,+∞)
【答案】D
【解析】S={x|x≤2或x≥3}.因为T={x|x>0},所以S∩T={x|0 30.(2016•全国1•文T1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=(　　)
A.{1,3} B.{3,5}C.{5,7} D.{1,7}
【答案】B
【解析】A∩B={3,5},故选B.
31.(2016•全国2•文T1)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=(　　)
A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3} D.{1,2}
【答案】D
【解析】B={x|-3 32.(2016•全国3•文T1)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=(　　)
A.{4,8}
B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}
D.{0,2,4,6,8,10}
【答案】C
【解析】根据补集的定义,知从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为∁AB,即∁AB={0,2,6,10},故选C.
33.(2016•四川•理T1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是(　　)
A.3 B.4C.5 D.6
【答案】C
【解析】由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素个数为5,选C.
34.(2016•天津•理T1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=(　　)
A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}
【答案】D
【解析】由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.
35.(2016•山东•理T2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=(　　)
A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
【答案】C
【解析】A={y|y>0},B={x|-1-1},选C.
36.(2016•浙江•理T1)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=(　　)
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
【答案】B
【解析】∵Q={x∈R|x≤-2,或x≥2},∴∁RQ={x∈R|-2 37.(2015•全国2•理T1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=(　　)
A.{-1,0} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
【答案】A
【解析】∵B={x|-2 38.(2015•全国1•文T1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】D
【解析】由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D.
39.(2015•全国2•文T1)已知集合A={x|-1 A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3)
【答案】A
【解析】由题意,得A∪B={x|-1 40.(2015•陕西•文T1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=(　　)
A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1]
【答案】A
【解析】∵M={0,1},N={x|0 41.(2015•重庆•理T1,)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则(　　)
A.A=B B.A∩B=⌀C.A⫋B D.B⫋A
【答案】D
【解析】因为A={1,2,3},B={2,3},所以B⫋A.
42.(2014•全国1•理T1)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=(　　)
A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)
【答案】A
【解析】由已知,可得A={x|x≥3或x≤-1},则A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A.
43.(2014•全国2•理T1)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=(　　)
A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}
【答案】D
【解析】∵N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={0,1,2}∩{x|1≤x≤2}={1,2}.故选D.
44.(2014•全国1•文T1)已知集合M={x|-1 A.(-2,1) B.(-1,1)C.(1,3) D.(-2,3)
【答案】B
【解析】由已知得M∩N={x|-1 45.(2014•全国2•文T1)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=(　　)
A.⌀ B.{2} C.{0} D.{-2}
【答案】B
【解析】易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.
46.(2014•辽宁•理T1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=(　　)
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0 【答案】D
【解析】∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0 47.(2013•全国2•理T1)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=(　　)
A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3}
【答案】A
【解析】M={x|-1 48.(2013•全国1•文T1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=(　　)
A.{1,4} B.{2,3}C.{9,16} D.{1,2}
【答案】A
【解析】∵B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}.
49.(2013•全国2•文T1)已知集合M={x|-3 A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}
【答案】C
【解析】由题意可得M∩N={-2,-1,0}.故选C.
50.(2013•上海•理T15)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若A∪B=R,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
【答案】B
【解析】当a>1时,集合A={x|x≤1或x≥a},由A∪B=R,可知a-1≤1,即a≤2.故1 当a=1时,集合A=R,显然A∪B=R.故a=1,满足题意.
当a<1时,集合A={x|x≥1或x≤a},由A∪B=R,可知a-1≤a显然成立,故a<1.
综上可知,a的取值范围是a≤2.故选B.
51.(2013•广东•理T8)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S
B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S
C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S
D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S
【答案】B
【解析】由(x,y,z)∈S,不妨取x 要使(z,w,x)∈S,则w 当w 故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.
当x 综上可知,(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.
52.(2013•山东•理2,T5)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1 B.3 C.5 D.9
【答案】C
【解析】当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.
53.(2013•江西•文T2)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=(　　)
A.4 B.2 C.0 D.0或4
【答案】A
【解析】当a=0时,显然不成立;当a≠0时,需Δ=a2-4a=0,得a=4.故选A.
54.(2013•全国1•理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x| A.A∩B=⌀ B.A∪B=RC.B⊆A D.A⊆B
【答案】B
【解析】集合A={x|x<0或x>2},由图象可以看出A∪B=R,故选B.
55.(2012•课标全国•理T1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为(　　)
A.3 B.6
C.8 D.10
【答案】D
【解析】由x∈A,y∈A,x-y∈A,得(x,y)可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B中所含元素的个数为10.
56.(2012•大纲•理2)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=(　　)
A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3
【答案】B
【解析】∵A∪B=A,∴B⊆A,
∴m=3或m=.∴m=3或m=0或m=1.
当m=1时,与集合中元素的互异性不符,故选B.
57.(2012•全国•文1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 A.A⫋B B.B⫋AC.A=B D.A∩B=⌀
【答案】B
【解析】由题意可得A={x|-1 58.(2012•大纲全国•文T1,)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(　　)
A.A⊆B B.C⊆BC.D⊆C D.A⊆D
【答案】B
【解析】∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集,∴C⊆B.
59.(2012•湖北•文T1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】A={1,2},B={1,2,3,4}.又∵A⊆C⊆B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},故选D.
60.(2011•全国•文1)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有(　　)
A.2个 B.4个C.6个 D.8个
【答案】B
【解析】P=M∩N={1,3},∴P的子集有22=4个.
61.(2011•辽宁•理T2)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=⌀,则M∪N=(　　)
A.M B.N C.I D.⌀
【答案】A
【解析】作出满足条件的韦恩(Venn)图,易知M∪N=M.

62.(2011•广东•理T8)设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T;∀x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是(　　)
A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的
B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的
C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】令T=N,V=∁ZN,则T对乘法封闭,而V对乘法不封闭排除D.
令T={-1,0,1},V=∁ZT,则T,V都对乘法封闭,排除B,C.故选A.
63.(2011•福建•文T12)在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2 011∈[1];
②-3∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】对于①:2 011=5×402+1,∴2 011∈[1].对于②:-3=5×(-1)+2,∴-3∈[2],故②不正确;对于③:∵任意一个整数z被5除,所得余数共分为五类,∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;对于④:若整数a,b属于同一类,则a=5n1+k,b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-5n2-k=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0],若a-b∈[0],则a-b=5n,即a=b+5n,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,所以“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故④正确.∴正确结论的个数是3.
64.(2011•福建•理T1)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则(　　)
A.i∈S
B.i2∈S
C.i3∈S
D.∈S
【答案】B
【解析】∵i2=-1,而集合S={-1,0,1},∴i2∈S.
65.(2010•浙江•理T1)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则(　　)
A.P⊆Q B.Q⊆P C.P⊆∁RQ D.Q⊆∁RP
【答案】B
【解析】P={x|x<4},Q={x|-2 66.(2010•天津•理T9)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A⊆B,则实数a,b必满足(　　)
A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3
【答案】D
【解析】A={x|a-1b+2或x 67.(2010•全国•T1)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|≤4,x∈Z},则A∩B等于(　　)
A.(0,2) B.[0,2]C.{0,2} D.{0,1,2}
【答案】D
【解析】∵A={x|-2≤x≤2},B={0,1,2,3,…,16},
∴A∩B={0,1,2}.
68.(2018•江苏•T1)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=　　.
【答案】{1,8}
【解析】由题设和交集的定义可知,A∩B={1,8}.
69.(2017•江苏•T1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为　　.
【答案】1
【解析】由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.
70.(2013•湖南,文T15)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={,…,},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中=…==1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于　　;
(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为　　.
【答案】（1）2 （2）17
【解析】(1){a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,∴前3项和为2.
(2)根据题意知,P的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,
则P={a1,a3,a5,…,a99}有50个元素,Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1,…,
则Q={a1,a4,a7,a10,…,a100}有34个元素,
∴P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},共有1+ =17个.
71.(2013•江苏•T4)集合{-1,0,1}共有　　个子集.
【答案】8
【解析】由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.
72.(2012•天津•文T9,)集合A= 中的最小整数为　　.
【答案】-3
【解析】∵|x-2|≤5,∴-3≤x≤7,∴最小整数为-3.
73.(2018•北京•理T20)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),记M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)].
(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;
(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
【答案】（1）2 1 （2）4 （3）n+1
【解析】(1)M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2;
M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.
(2)当xm,ym同为1时,(xm+ym-|xm-ym|)=1;
当xm,ym中只有一个1或者两个都是0时,(xm+ym-|xm-ym|)=0;
当α,β相同时,∀α=(x1,x2,x3,x4)∈B,M(α,α)=x1+x2+x3+x4为奇数,
则xk(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种:
形式1:(1,0,0,0)　(0,1,0,0)　(0,0,1,0)　(0,0,0,1);
形式2:(1,1,1,0)　(1,1,0,1)　(1,0,1,1)　(0,1,1,1);
当α,β不同时,M(α,β)是偶数,则α,β同为1的位置有4个或2个或0个;
形式1中的元素不能和形式2的三个元素同时共存;
形式2中的元素不能和形式1的三个元素同时共存;
如果B中元素全是形式1,当α,β不同时,M(α,β)=0满足条件;
如果B中元素全是形式2,当α,β不同时,M(α,β)=2满足条件.
所以B中元素至多为4个.
(3)B中元素个数最多为n+1,构造如下:
对于γk=(zk1,zk2,…,zkn)∈B(k=1,2,3,…,n),zkk=1,其他位置全为0;
γn+1=(0,0,0,…,0),可以验证M(γi,γj)=0(i,j=1,2,…,n+1)且i≠j,
下面证明:当B中元素个数大于等于n+2时,总存在α,β∈B,M(α,β)≠0.
设γk=(zk1,zk2,zk3,…,zkn)∈B,k=1,2,3,…,n+1,…,m(m≥n+2);
Sk=zk1+zk2+…+zkn(k=1,2,3,…,n),可以得到:
S1+S2+…+Sm≥0+1×n+2=n+2;
设Ck=z1k+z2k+…+zmk(k=1,2,3,…,n),可以得到:
C1+C2+…+Cn=S1+S2+…+Sm≥n+2,所以存在Ct≥2,t∈{1,2,3,…,n},
即存在α,β∈B(α≠β),使得α,β在同一个位置同为1,即M(α,β)≥1≠0,矛盾.
所以,B中元素个数最多为n+1.