新高考数学全真模拟卷03（含解析）

这是一份新高考数学全真模拟卷03（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新高考数学一模模拟试卷（三）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(本题5分)已知复数z满足|z|＝1，则|z＋1-2i|的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．(本题5分)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，现有人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）

A． B． C． D．
4．(本题5分)天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推. 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想. 在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（ ）
A．辛丑年 B．庚子年 C．己亥年 D．戊戌年
5．(本题5分)在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．(本题5分)已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．(本题5分)已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)如图，在中，点是线段上的动点，且，则的最小值为（ ）


A．3 B． C．5 D．9

二、多选题(共20分)
9．(本题5分)下列四个条件中，p是q的充分条件的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．(本题5分)已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．，，成等比数列 D．
11．(本题5分)如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（ ）

A．平面平面 B．
C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为
12．(本题5分)设函数，且、、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得
C．若，则
D．对任意，总有，使得


三、填空题(共20分)
13．(本题5分)的展开式中，项的系数为，则实数___________.
14．(本题5分)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．
15．(本题5分)已知△ABC的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为________.
16．(本题5分)设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：
①函数不具有性质；
②函数具有性质；
③若函数，具有性质，则；
④若函数具有性质，则．
其中，正确结论的序号是________．

四、解答题(共70分)
17．(本题10分)在①，②③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，________，数列为等比数列，，，求数列的前项和．
18．(本题12分)已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）在①的周长为，②的面积为，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：已知，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．(本题12分)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，.
20．(本题12分)在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，为线段的中点，过的平面与线段分别交于点.

（1）求证：平面；
（2）若，点G为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．(本题12分)已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为.
（1）求的标准方程;
（2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上.
22．(本题12分)已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．

参考答案
1．D
【分析】
先根据二次根式的被开方数大于等于零和分式不等式的解法求得集合A，B，再利用集合的交集运算可得答案.
【详解】
因为或，
，
所以，
故选：D.
【点睛】
易错点睛：本题考查二次根式有意义的条件和一元二次不等式的解法，以及集合的交集运算，解分式不等式转化为整式不等式时一定要注意分母不为0，即，考查学生的运算能力，属于基础题.
2．A
【分析】
根据分析出在复平面内的轨迹方程，再根据的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.
【详解】
因为，所以，即z在复平面内表示圆O：上的点；
又，所以表示圆O上的动点到定点的距离，
所以为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是理解对应的轨迹方程以及掌握的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.
3．A
【分析】
求出3人每个人任取2卦的方法总数，
确定3人中哪一个人的两卦中六根线不是4阳2阴，并求出方法数，另外2人分别取两卦且满足题意的方法，相乘可得基本事件的个数，从而可得概率．
【详解】
8卦可分为四类：1阳3阴共3个，3阳1阴共3个，3阳共1个，3阴共1个，
3人各取2卦的法为，
2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方法数为，
因此3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法为，
∴所求概率为．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：本题考查古典概型，解题关键是求茁基本事件的个数．解题步骤：第一步分清8卦中阳线和阴线的条件，同类（相同阴线和阳线）的个数，第二步求出任取两卦时，两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法，第三步用分步乘法原理求出3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法数．这样条理清晰，不易出错．
4．B
【分析】
由题意可得：数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案.
【详解】
由题意可得：数列天干是以为公差的等差数列，
地支是以为公差的等差数列，
从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，
以1980年的天干和地支分别为首项，
则余数0，则2080年天干为庚，
余数为，则2080年地支为子，
所以2080年为庚子年.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由题意得出数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算余数0，则2080年天干为庚，余数为，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年.
5．B
【分析】
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．
【详解】
解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以

所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
6．B
【分析】
构造新函数，利用导数判断单减，又可解.
【详解】
令，则，
又因为对恒有
所以恒成立，
所以在R上单减.
又，
所以的解集为
故选：B
【点睛】
利用单调性解不等式通常用于：
(1)分段函数型不等式；
(2)复合函数型不等式；
(3)抽象函数型不等式；
(4)解析式较复杂的不等式；
7．A
【分析】
将问题转化为：渐近线与直线的距离大于等于圆的半径，由此求解出双曲线离心率的取值范围.
【详解】
因为与双曲线的渐近线平行，又在上，
所以若与双曲线的右支没有公共点，则只需要满足与的距离大于等于，
所以，所以，所以离心率的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.
8．D
【分析】
由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.
【详解】
如图可知x，y均为正，且，
，当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为9.
故选:D.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．BD
【分析】
利用特殊值判断A；利用作差法判断B；利用判断C；利用对数函数的单调性判断D.
【详解】
因为时， ，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，A错；
因为，所以p是q的充分条件，B对；
因为，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，C错；
因为，所以p是q的充分条件，D对.
故选：BD.
10．AB
【分析】
根据，利用等比数列的性质建立关系，求出，然后结合等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断可得答案.
【详解】
由，可得，即，故A选项正确；
故，，故D选项错误；
，，，故B选项正确；
又，，，故不成立，故C选项错误，
故选：AB.
11．ABD
【分析】
根据，又，得，结合条件和线面垂直判定定理得出平面，同理得出平面，进而得出A正确；结合A和三垂线定理得出成立，故B正确；由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角计算判定C错误；由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，计算判定D正确
【详解】
解：如图，连接，则，又，，
所以中有，所以.
对于A.由题意可得，又，，平面
所以平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于B.由A得平面，又，由三垂线定理可得（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；
对于C.由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角，易得，故C不正确；
对于D. 由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，易得，，故D正确.
故选：ABD

【点睛】
证明线面垂直的常用方法及关键：
（1）证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.
（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.
12．BC
【分析】
利用函数在上的单调性可判断A选项的正误；证明出，可判断B选项的正误；利用函数在上的单调性可判断C选项的正误；取，，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
因为，则，则，即，
所以，，A选项错误；
对于B选项，当时，，，
所以，函数在上单调递增，当时，，
因为，则，则，即，
所以，，结合A选项可知，，
若，则，所以，，B选项正确；
对于C选项，由B选项可知，函数在上单调递增，
，则，即，则，
所以，，即，C选项正确；
对于D选项，取，，由AB选项可知，，
则，
若存在，则，此时，，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
13．
【分析】
由，分别写出和的展开式通项，分别令的指数为，求出对应的参数值，代入通项可得出关于的等式，进而可求得实数的值.
【详解】
，
的展开式通项为，所以，的展开式通项为，
令，可得，
由题意可得，解得.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
14．
【分析】
把代入，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．
【详解】
解：把代入

故答案为：
15．
【分析】
利用向量方法求得三角形的内角的平分线的方向向量为的坐标，进而得到直线的斜率，然后利用点斜式得到所求直线的方程.
【详解】
,
∴三角形的内角的平分线的方向向量为,直线的斜率为7，所以直线的方程为,即,
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线的方程的求法，利用平面向量计算角平分线的方向向量，进而求得直线的斜率，是解决角平分线问题的最为简洁的方法. 三角形的内角的平分线的方向向量为,分别是方向上的单位向量，其和便是角平分线的方向向量.
16．①③
【分析】
对每个选项中的具体函数，先求定义域和值域，再结合题中函数性质的定义进行直接判断或特殊值验证说明即可.
【详解】
依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质.
①函数，定义域是R，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；
②是单调增函数，定义域是R，，当且仅当时等号成立，即值域为.
对任意的，，要使得，则需，而不存在， 使，故不具备性质，故②错误；
③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为.
要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，
故，即，故.故③正确；
④若函数具有性质，定义域是R，使得，
一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而，
故或，在此条件下，
另一方面，的值域是值域的子集.
的值域为,的值域为
要满足题意，只需，
时，即；
时，即；
故，即，
即，即，故.故④错误.
故答案为：①③.
【点睛】
本题的解题关键在于理解题中新定义“函数具有性质”的实质是对任意，其函数值的取值集合包含了其倒数的取值集合，才能存在存在，使得，进而突破难点.
17．选①或②或③，.
【分析】
选①，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据已知条件建立有关、的方程组，求出这两个量，并求出的值，可得出数列、的通项公式，进而利用错位相减法可求得；
选②，设等比数列的公比为，利用求出数列的通项公式，并求出，可求得数列的通项公式，再利用错位相减法可求得；
选③，设等比数列的公比为，利用累乘法可求出数列的通项公式，并求出，可求得数列的通项公式，再利用错位相减法可求得.
【详解】
选①，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知条件可得，解得，，
，，，
，
，
上式下式可得，
因此，；
选②，当时，；
当时，.
也满足，所以，对任意的，.
，，，
，
，
上式下式可得，
因此，；
选③，，且，
由累乘法可得.
，，，
，
，
上式下式可得，
因此，.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）选①，；选②，；选③，三角形不存在，
【分析】
（Ⅰ）首先利用正弦定理可得，再根据二倍角的正弦、余弦公式即可求解.
（Ⅱ）根据题意选择条件，分别利用正弦定理、三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）在中，，
由正弦定理可得，
，则，
即，由，
则，所以，
所以，解得.
（Ⅱ）选①的周长为，
由，则，
又，
，所以，
，解得，（i）
又，（ii）
由（i）（ii）可得，，
，解得，
由因为，所以.
选②，的面积为，，，
则，解得，
所以为等边三角形，所以.
选③，，，，
由余弦定理可得，（iii）
又，（iv）
由（iii）（iv）联立，无解，三角形不存在.
19．（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理.
【分析】
（1）根据已知，结合所给的公式可以求出，最后利用对立事件概率公式进行求解即可；
（2）利用二项分布的性质进行求解即可；
（3）根据（1）的结论进行判断即可.
【详解】
（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，
所以，
所以，
故
（2）由题意可知，所以.
（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证明，通过证明平面即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解.
【详解】
证明：（1）因为，且E为线段的中点，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面，又平面平面，所以，
又，且平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，
（2）因为为线段的中点，所以，又因为平面平面，所以平面，
以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；则，
则
设平面的法向量为，则，即
不妨令，可得为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角为，
于是有；
所以平面与平面所成角的余弦值为.

21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知，再根据轴时，的面积为，由面积公式可知，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，由韦达定理，可知，将直线的方程与直线的方程联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.
【详解】
解:（1）由题意知，所以，又，
所以
当轴时，的面积为，
所以
解得
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，
与椭圆联立，得.
显然恒成立.
设，
所以有
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以

由式可得，
代入上式可得，
解得
故点在定直线上.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设直线的方程为，避免了斜率存在和不存在的分类讨论，使得运算简化.
22．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的定义域，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；
（2）利用分析法得出所证不等式等价转化为，设，，利用导数可得出，进而可得出所证不等式成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
对于方程，.
解方程，可得，.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）要证明，即证，
即证，即证.
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
构造函数，其中，，则.
当时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时，函数单调递减.
所以，，则，所以，.
故原不等式得证.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.