2023年浙江省舟山市中考数学一模试卷

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2022-2023学年第二学期九年级第一次学业水平模拟监测
数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排吨二氧化碳．数字用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法“把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数，即a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这样的记数方法叫科学记数法”即可得．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减乘除、完全平方公式、逐个分析即可求解．
【详解】解：选项A：，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C错误；
选项D：，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．
3. 已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是1 C. 众数是2 D. 方差是4.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．平均数为：，正确，故此选项不符合题意；
B．把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意；
C．2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意；
D．方差为：，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数、中位数和众数、方差，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，，，…，的平均数为，则方差．
4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A. 厉 B. 害 C. 了 D. 我
【答案】D
【解析】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．
【详解】解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x=1，
∴（+）x=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．
6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　）

A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
7. 如图，圆O是的外接圆，，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先连接，由，可求得的度数，由是圆O的切线，可得，继而求得答案．
【详解】解：连接，

∵圆O是的外接圆，，
∴是直径，
∵，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以此类题若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
8. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
下列判断正确的是（ ）

A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可．
【详解】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①错误，②正确
故选：B.
【点睛】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
9. 如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为，边上的点，且，G为上一点，且，M，N分别为，的中点，则的长为（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作于，于，于，先证明四边形为矩形得到，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质得到，则，，同理可得，，所以，易得四边形为矩形，则，，然后在中利用勾股定理计算的长
【详解】作于，于，于，则四边形为矩形，如图：

∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵，点为的中点，
∴，，
∴，则，，
同理可得，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
中，．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，勾股定理，添加辅助线构造平行线，利用中点结合比例关系求线段长度是解决问题的关键．
10. 已知抛物线的图象与x轴的正半轴交于点，点；与y轴的正半轴交于点，且，，那么b的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于二次函数的图象与x轴的正半轴交于点，点，与y的正半轴交于点且，，由此得到，，接着把，，，代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：由，则，
∴，，，
将其代入，可得：，即，
则，即：，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了抛物线与轴交点坐标与函数解析式的关系，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法分解因式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法；因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．
【答案】6
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和多边形外角和为建立方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的边数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为是解题的关键．
13. 在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为____．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选中同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：（用A、B、C分别表示《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》）

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一门课程的结果数为3，
所以两人恰好选中同一门课程的概率=．
故答案为．
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
14. 如图，在中，是的中点，以点为位似中心，作的位似图形．若点的对应点是的重心，则与的位似比为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形重心的性质可以求出，从而进一步求出，这样便可求出位似比．
【详解】解：∵是的重心，
∴，
∴，
∴与的位似比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质和位似比的概念，关键是掌握三角形重心的性质．
15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根据S阴=S扇形BDB′－S△DBC－S△DB′C，计算即可．
【详解】△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
连接DB、DB′，

则DB′=，A′B′=，
∴S阴=．
故答案为．
【点睛】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16. 如图，在中，，，．动点P沿线段以的速度从点A向点C运动，另有一动点Q与点P同时出发，沿线段以相同的速度从点B向点C运动．作于点D，再将绕的中点旋转，得到；作于点E，再将绕的中点旋转，得到．设点P的运动时间为．

（1）如图当点落在边上时x的值为___________；

（2）如图，在点P，Q运动中：当点在内部时x的取值范围为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数的意义直接求出；
（2）找出分界点①刚好到达边时，②刚好到达边时，利用同一条线段两种算法求出值，即可得的取值范围．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，，，
由题意得：，
∴，，
∴，
∴；
故答案：；
（2）同（1）可得，，，
①刚好到达边时，

由旋转可知，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
则：，，
∴，
∴；
②刚好到达边时，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. （1）计算：；
（2）解不等式：
【答案】（1）4；（2）．
【解析】
【分析】（1）分别根据化简绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂运算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：（1）原式；
（2）
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查的是化简绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂的运算法则，解一元一次不等式，涉及面较广，但比较简单．
18. 在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程的两实数根为，，若，求m的值．
波波同学的解答过程如框：
解：
由题意可知：
∵，
∴，
解得：或
波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】波波的解法不正确；．
【解析】
【分析】先根据方程有两实数根为，，利用根得判别式确定的取值，在利用根与系数关系求解即可．
【详解】解：波波的解法不正确；
由题意可知：
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意利用根与系数的关系前提是方程有实数根．
19. 观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
试题解析：(1)
(2)
(3)

故答案为(1)
20. 某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2022年初的视力数据，并调取该批学生2021年初的视力数据，制成如下统计图（不完整）：

青少年视力健康标准
类别
视力
健康状况
A
视力
视力正常
B
视力
轻度视力不良
C
视力
中度视力不良
D
视力
重度视力不良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初视力正常（类别A）的人数和2022年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数．
（2）若2022年初该市有八年级学生8000人，请估计这些学生2022年初视力正常的人数比2021年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2022年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
【答案】（1）该批400名学生2021年初视力正常人数为113人，2022年初轻度视力不良的扇形圆心角度数为；
（2）该市八年级学生2022年初视力正常的人数比2021年初增加了240人；
（3）该市八年级学生2022年初视力不良率符合要求．
【解析】
【分析】（1）利用总数400减去2021年初三类的人数，用乘以2022年初轻度视力不良的百分数即可；
（2）分别求出2022年初视力正常的人数和2021年初视力正常的人数，相减即可得出答案；
（3）先求出该市八年级学生2022年初视力不良率，与进行比较即可．
【小问1详解】
解：人，
所以该批400名学生2021年初视力正常人数为113人，
，
故被抽查的400名学生2022年初轻度视力不良的扇形圆心角度数为；
【小问2详解】
解：该市八年级学生2022年初视力正常人数为：人，
这些学生2021年初视力正常的人数为：人，
增加的人数为：人，
∴该市八年级学生2022年初视力正常的人数比2021年初增加了240人；
【小问3详解】
解：该市八年级学生2022年初视力不良率为：，
∵，
∴该市八年级学生2022年初视力不良率符合要求．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21. 如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，是可以绕点A旋转的支架，点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转．量得，，此时，且．

（1）当，时（图2），求灯泡C所在的高度；
（2）在（1）的条件下，旋转支架（固定）．当从变成（图3）时，且的度数不变，，求的值．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）

【答案】（1）灯泡所在的高度为；
（2）．
【解析】
【分析】（1）过点作于，于，利用直角三角形求出，的长度即可求解；
（2）由（1）可知，，，过点作于，于，同（1）方法相同，求出，进而求出，即可求解．
【小问1详解】
解：过点作于，于，

∵，
∴四边形为矩形，
则，，
在中，∵，，
∴，，
则，
∵，
∴，则，
∴，
∴灯泡所在的高度为：；
即：灯泡所在的高度为；
【小问2详解】
由（1）可知，，，
∴，则，，
当从变成时，且的度数不变，
则，过点作于，于，

∵，
∴四边形为矩形，则，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，∵，，
∴，，
∴；
则，
∴


【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．
22. 已知A是反比例函数（）图象上一个动点，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，以线段为一条对角线，作（O为坐标原点）．
（1）如图，当点C在y轴上时，请证明是菱形，并求点C的坐标；

（2）如图，当是矩形时，求点B，C的坐标．

【答案】（1）点的坐标为；
（2），．
【解析】
【分析】（1）设，由题意可知轴，则可得，可证得四边形是菱形，再结合菱形的性质，可证点，点的纵坐标都是，再代入解析式求得横坐标，根据对称可得，求得即可得点的坐标；
（2）设，，过点，点分别作轴，轴，可得，可列比例式为，求得的值，可得，进而可得的坐标，再结合平移可得点的坐标．
【小问1详解】
解：当点在轴上时，设，则，
∵轴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，则，

则点，点的纵坐标都是，
当时，由，得，即；由，得，即；
由菱形性质可知，点，点关于对称，
∴，即，
∵，
∴，经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
设，，过点，点分别作轴，轴，

∵四边形是矩形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，则，即：，解得：，
∴，
∵轴，则点，点的纵坐标相同，
当时，，则，
∴，
在矩形中，且，
∴把平移到点与把平移到点的规则相同，
∴点的坐标为：，即．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的判定及性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟悉相关性质定理是解决问题的关键．
23. 已知二次函数．
（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
（3）已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
【答案】（1），当时，；
（2）2或8； （3）见解析．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图象，结合图象可求解；
（2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论；
（3）由，得，容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
画出函数图象，如图，

当时，，解得，，
由图象可得：当时，；
【小问2详解】
当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，

∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：,
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，

∴，
综上，的值为2或8；
【小问3详解】
证明：由，得，
由题意，得，，
所以


，
由条件，知．所以 ，得证．
【点睛】本题查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键．
24. 如图，在中，的平分线交于点E，以A为圆心，为半径作交于点F，直线交于G、H两点，的延长线交于点D，作，垂足为点K．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当且时，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】（1）由角平分线可知，进而利用证明，可得，由题意可知，可知，再利用对顶角相等可证得，进而可知，由可得；
（2）由（1），根据平行线分线段成比例可知，，根据，可知，则，再证，可得，即可得证结论；
（3）由（1）（2）知，，，则可知，，由题意可知，，易证得，可得，由，可得，进而可知，即可得证结论．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，为直角三角形，
∴，，
在与中，，
∴，
∴，
又∵以为圆心，为半径作交于点，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴；
【小问2详解】
证明：由（1），根据平行线分线段成比例可知，
∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
由（1）（2）知，，，
则，，
由题意可知，，
∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
即：．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，圆的基本性质，熟悉相关性质定理解决问题的关键．