高考数学二轮专题学与练 02 函数的图像与性质（高考押题）（含解析）

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高考押题专练
1．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝(　　)
A. B．－1
C．1 D．7
【答案】A.
【解析】∵f(x)为偶函数，∴b＝0.定义域为[6a－1，a]则6a－1＋a＝0，∴a＝，∴a＋b＝.
2．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】C
【解析】f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.
由f(x)＞3得0＜x＜1.故选C.
3．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(　　)
A．是增函数且f(x)＜0
B．是增函数且f(x)＞0
C．是减函数且f(x)＜0
D．是减函数且f(x)＞0
【答案】D
【解析】设－1＜x＜0，则0＜－x＜1，f(－x)＝log(1＋x)＝f(x)＞0，故函数f(x)在(－1,0)上单调递减．又因为f(x)以2为周期，所以函数f(x)在(1,2)上也单调递减且有f(x)＞0.
4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】C
【解析】f(x)＝＝1＋，设f(x)＝1＋g(x)，即g(x)＝＝f(x)－1.g(x)为奇函数，满足g(－x)＝－g(x)．由f(a)＝，得g(a)＝f(a)－1＝－，则g(－a)＝，故f(－a)＝1＋g(－a)＝1＋＝.
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝－1，且对任意x∈R，有f(x)＝－f(2－x)成立，则f(2 017)的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
【答案】C
【解析】由题知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)＝－f(2－x)，可知函数f(x)为周期为4的周期函数．令x＝1得，f(1)＝－f(2－1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，所以f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝0，故选C.
6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝x－1，则f，f，f的大小关系是(　　)
A．f＞f＞f
B．f＞f＞f
C．f＞f＞f
D．f＞f＞f
【答案】A
【解析】.函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数关于x＝1对称．
所以f＝f，f＝f，
当x≥1时，f(x)＝x－1单调递减，
所以由＜＜，可得
f＞f＞f，
即f＞f＞f，故选A.
7．已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数f(x)为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f(2x－1)＜f转化为f(|2x－1|)＜f.根据单调性，知|2x－1|＜，解得＜x＜，故选A.
8．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
【答案】D
【解析】依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y＝e－x，于是f(x)的图象相当于曲线y＝e－x向左平移1个单位长度的结果，
∴f(x)＝e－x－1，故选D.
9．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
【答案】B
【解析】f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a，∴loga2＋1＝0，
∴a＝.
10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 019)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】D
【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f(2 019)＝f(－3)＝log2(1＋3)＝2.故选D.

11．若不等式4x2－logax＜0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.

【答案】A
【解析】∵不等式4x2－logax＜0对任意x∈恒成立，∴x∈时，函数y＝4x2的图象在函数y＝logax的图象的下方．如图，∴0＜a＜1.再根据它们的单调性可得4×2≤loga，即loga≤loga，
∴≥，
∴a≥.综上可得≤a＜1，故选A.
12．已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
【答案】C
【解析】在同一坐标系下作出函数f(x)＝x，f(x)＝－的图象(如图)，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，x＞－；当x∈(x0,0)时，x＜－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)＞0，f(x2)＜0，故选C.

13．设函数f(x)为偶函数，且∀x∈R，f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝(　　)
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
【答案】D
【解析】因为f＝f，
所以f(x)＝f(x＋2)，得f(x)的周期为2.
因为当x∈[2,3]时，f(x)＝x，
所以当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]，
f(x)＝f(x＋2)＝x＋2.
又f(x)为偶函数，
所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，
f(x)＝f(－x)＝－x＋2，
当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0,1]，
f(x)＝f(x＋2)＝x＋4，
所以当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.
14.如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O沿l1以1 m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为(　　)


【答案】B　
【解析】法一：如图所示，
设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos ＝＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为B.

法二：由题意可知，当t＝1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cos π＝－1，排除A、D；当t＝时，如图所示，易知∠BOC＝，所以cos＝－＜0，排除C，故选B.
15．设m∈Z，对于给定的实数x，若x∈，则我们就把整数m叫做距实数x最近的整数，并把它记为{x}，现有关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题：
①f＝－；
②函数f(x)的值域是；
③函数f(x)是奇函数；
④函数f(x)是周期函数，其最小正周期为1.
其中，真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B　
【解析】①∵－1－＜－≤－1＋，
∴＝－1，
∴f＝－－＝－＋1＝，
所以①是假命题；
②令x＝m＋a，m∈Z，a∈，
则f(x)＝x－{x}＝a，
∴f(x)∈，所以②是真命题；
③∵f＝－0＝，f＝≠－f，
∴函数f(x)不是奇函数，故③是假命题；
④∵f(x＋1)＝(x＋1)－{x＋1}＝x－{x}＝f(x)，
∴函数f(x)的最小正周期为1，故④是真命题．
综上，真命题的个数为2，故选B.
16.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为(　　)


【答案】A　
【解析】当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．
综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.
17．已知函数f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝＋，若a，b∈[－1,5]，且当x1，x2∈[a，b]时，＞0恒成立，则b－a的最大值为________．
【解析】当f1(x)≥f2(x)时，g(x)＝＋＝f1(x)；
当f1(x)＜f2(x)时，g(x)＝＋＝f2(x)．
综上，g(x)＝即g(x)是f1(x)，f2(x)两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f1(x)与f2(x)的图象，如图所示，则g(x)的图象如图中实线部分所示．由图可知g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g(x)在[a，b]上单调递增，故a，b∈[0,5]，所以b－a的最大值为5.

【答案】5
18．定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f(2sin x－2)＞f(sin x－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．
【解析】因为f(x－2)是偶函数，
所以函数f(x)的图象关于x＝－2对称．
又f(x)在(－∞，－2)上为增函数，
则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数，
所以不等式f(2sin x－2)＞f(sin x－1－m)恒成立等价于|2sin x－2＋2|＜|sin x－1－m＋2|，
即|2sin x|＜|sin x＋1－m|，两边同时平方，
得3sin2x－2(1－m)sin x－(1－m)2＜0，
即(3sin x＋1－m)(sin x－1＋m)＜0，
即或
即或
即或
即m＜－2或m＞4，
故m的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．
【答案】(－∞，－2)∪(4，＋∞)
19．已知定义在R上的函数f(x)，对任意的实数x，均有f(x＋3)≤f(x)＋3，f(x＋2)≥f(x)＋2且f(1)＝2，则f(2 017)的值为________．
【解析】∵f(x＋3)≤f(x)＋3，f(x＋2)≥f(x)＋2，
∴f(x＋1)＋2≤f(x＋3)≤f(x)＋3，
∴f(x＋1)≤f(x)＋1，
又f(x)＋3＋f(x＋2)≥f(x＋3)＋f(x)＋2，
即f(x＋2)＋1≥f(x＋3)，
∴f(x＋1)＋1≥f(x＋2)≥f(x)＋2，
∴f(x＋1)≥f(x)＋1，
∴f(x＋1)＝f(x)＋1，利用叠加法，得f(2 017)＝2 018.
【答案】2 018
20．关于函数，给出下列命题：
①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数，且满足f(1)＝1，则f(2)－f(－4)＝0；
②若函数f(x)满足f(x＋1)f(x)＝2 017，则f(x)是周期函数；
③若函数g(x)＝是偶函数，则f(x)＝x＋1；
④函数y＝的定义域为.
其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
【解析】①因为f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝1，故f(2)－f(－4)＝0，①正确．
②因为f(x＋1)f(x)＝2 017，所以f(x＋1)＝，f(x＋2)＝＝f(x)．所以f(x)是周期为2的周期函数，②正确．
③令x＜0，则－x＞0，g(－x)＝－x－1.又g(x)为偶函数，所以g(x)＝g(－x)＝－x－1.即f(x)＝－x－1，③不正确．
④要使函数有意义，需满足
即0＜|2x－3|≤1，
所以1≤x≤2且x≠，即函数的定义域为∪，④不正确．
【答案】①②
21．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－1，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)的图象过点(－2，1)，所以f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，
所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
即4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝(x＋1)2.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.
由g(x)的图象知，要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，
∴实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．
22．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
∴
∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2，∴b＝3.
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]时恒成立．
又∵y＝与y＝均为减函数，∴y＝＋也是减函数，∴当x＝1时，
y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
23．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵f(x)＝ex－e－x，
∴f′(x)＝ex＋e－x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数．
∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则
f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立⇔t2＋t≤x2＋x＝－对一切x∈R都成立⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝≤0，
又≥0，
∴＝0，
∴t＝－，
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．