河北省衡水中学2023届高三数学第四次综合素养测评试题（Word版附解析）

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2022-2023学年度下学期高三年级第四次综合素养测评
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知P，Q为R的两个非空真子集，若Ü，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.
【详解】因为Ü，所以Ü，如图，

对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故，，故不正确，
对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.
对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，
对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，
故选：B
2 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案.
【详解】
.
故选：C
3. 设向量均为单位向量,则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将等式两边平方即可证明其充分必要性.
【详解】若,则,所以,
,所以,满足充分性;若,
则两边平方得,所以,满足必要性．
故选:B.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，
则有，解得或，
所以函数的定义域是.
故选：C
5. 如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据异面直线的定义判断即可.
【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；
C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；
D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；
利用排除法可得选项B正确.
故选：B.
6. 垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，
考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
故选：A.
7. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）

A. 49.25 m B. 50.76 m
C. 56.74 m D. 58.60 m
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数可得，利用求解即可.
【详解】如图，

设球的半径为
，
，

，
故选：B
8. 已知定义在上的函数满足，对，，有，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可推得，令，得出.设，则，由，可得.又，代入求和即可得出结果.
【详解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
设，则，整理可得.
又，所以，所以.
则，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）.

根据该走势图，下列结论不正确的是（ ）
A. 网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱
B. 网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循
C. 年月份的方差小于年月份的方差
D. 年月份的平均值大于年月份的平均值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据走势图依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，走势图存在上下波动的情况，故关注度并非不断减弱，A错误；
对于B，走势图变化趋势并没有呈现出周期性，B错误；
对于C，走势图中，年月份的波动程度超过年月份的波动程度，故月份的方差大于月份的方差，C错误；
对于D，走势图中，年月份的数值明显高于年月份的数值，故年月份的平均值大于年月份的平均值，D正确.
故选：ABC.
10. 已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A. 直线l与圆O相切 B. 圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C. 存在点M，使 D. 存在点M，使为等边三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若，则直线l与圆O相切，若，则直线l与圆O不相切；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C选项，当MO最短时，有最大的张角；对于D选项，考虑能否等于60°.
【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=|-4|12+12=22>2=r，所以直线和圆相离，故A错误；
对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确；
对于C选项，当OM⊥l时，有最大值60°，故C错误；
对于D选项，当OM⊥l时，为等边三角形，故D正确.
故选：BD.
11. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（ ）

A.
B. 与平面所成的角的余弦值为
C. 平面与平面所成的二面角的平面角为45°
D. 设平面平面，则有
【答案】AD
【解析】
【分析】证明面可判断A；根据与平面所成的角为判断B；利用特殊位置判断C；先证明面，由线面平行的性质定理可判断D；
【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得，所以面，故A正确；
因为面，所以与平面所成的角为，所以余弦值为，故B错误；
对于选项可以考虑特殊位置法，由面得面面，所以点在平面内的射影在直线上，不妨设点平面内的射影为，过点作，连结.易证面，则面，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，不妨设，因为，所以，则，显然不等于45°，故C错误.
设面与平面的交线为，又因为面，面，所以面，由线面平行的性质定理可得：，故D正确；
故选：AD.

【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
12. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论正确的是（ ）
A. 若，则存在唯一个周期为1的周期点；
B. 若，则存在周期为2的周期点；
C. 若，则不存在周期为3的周期点；
D. 若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点.
【答案】AD
【解析】
【分析】由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．
【详解】解：对于，令，2，3，，
若存在正整数使得，且当时，，
则称是的一个周期为的周期点．
对于①，若为周期为1的周期点，
，故A正确；
对于②，若为周期为2的周期点，
则
解得, ，
但，解得
所以不存在在周期为2的周期点，故B错误；
对于③， 当时，易见有两个周期点；
当时，
即，可得时，周期点有4个，
同理，时，周期点有8个，故③错误；
对于④，，所以，即，
所以不是周期点，故D正确．
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：本题考查了周期点的概念，解题的关键是紧扣定义进行计算即可.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知复数是纯虚数，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的概念列式即可求得的值.
【详解】因为是纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
14. 抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图像正好对应抛物线，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据两条抛物线的图形特征，可得旋转前后的焦点对应即可作答.
【详解】抛物线的顶点为原点，焦点为，而抛物线，即的顶点为原点，焦点为，
因为抛物线绕其顶点顺时针旋转后，得抛物线，
因此点绕原点逆时针旋转后得点，则，解得，
所以.
故答案为：.

15. 已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】由递推关系结合基本不等式的性质，得，此时时等号成立，；再由条件，求得首项的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，，因为，，所以由基本不等式得，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
则，
所以，即的最小值为4．
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得到，进而利用等比数列的通项公式求解的最小值．
16. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________.

【答案】 ①. ②. ##5.75
【解析】
【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；
第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案.
【详解】设外接圆半径为，则，
由正弦定理，可知，
即，由于是锐角，故，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故，
所以；
设，
则，
由于，不妨假设，
由余弦定理知，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,
故 ,

则得，
所以，
同理可得，
所以
故答案为：；
【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 如图，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 （单位：弧度/秒），为线段 的中点，记经过秒后(其中 )，
(I)求的函数解析式；
(II)将图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 的图象，求函数 的单调递减区间．

【答案】（Ⅰ）f（x）＝cosx，（0≤x≤6），（Ⅱ）[2，8]．
【解析】
【分析】（Ⅰ）依题意可知∠POAx，∠QOAx，∠MOQx，从而求得f（x）＝|OM|＝cos∠MOQ 的解析式；
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cos（x）（2≤x≤8），由2kπx2kπ+π，求得x的范围，可得函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间．
【详解】解：（Ⅰ）依题意可知∠POAx，∠QOAx．
∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|•cos∠MOQ＝cos∠MOQ，
∴∠MOQx，∴f（x）＝|OM|＝cosx（0≤x≤6），
即 f（x）＝cosx，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cos（x﹣2）＝cos（x）（2≤x≤8），
由2kπx2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．
【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于基础题．
18. 如图，四棱锥中，是等边三角形，，．

（1）证明：；
（2）若，，求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点O，连接，结合题意和三角形全等得到，利用线面垂直的判定得到平面，再利用线面垂直的性质即可得证；
（2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.
【小问1详解】
如图，连接，交于点O，连接，

由，
可得，所以，
又，所以，
所以，即O为中点，
在等腰中，可得，
在等腰中，，又，平面，
所以平面，又平面，
所以．
【小问2详解】
由（1）可得，，
又，
所以，
由于为正三棱锥，点P在底面的垂足一定在上，设垂足为M，
根据正三棱锥的性质可得，
如图，过点作的平行线，以的平行线所在直线为轴，以所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．

可得，

又，
（或）
设平面的法向量，可得

不妨令，可得，
所以，
故所以点A到平面的距离为．
19. 已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；
（2）若选择①，得，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数列求和公式，即可求解；
若选择②，，根据，讨论为奇数和偶数两种情况，即可判断求解.
【小问1详解】
设的公差为的公比为，
因为，所以，
联立消得，解得或与矛盾，
故，代回计算得，
所以
【小问2详解】
若选①，则有，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为，
所以当时，对应的为整数，满足，
当时，对应的不为整数，不满足，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
20. 已知直线：和直线：，过动点E作平行的直线交于点A，过动点E作平行的直线交于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线，若过点的直线m与曲线交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若，，求证：为定值.
【答案】（1）或；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设，根据直线相交求出点的横坐标，再求出，点到直线的距离表示出四边形面积，化简方程可得解；
（2）验证特殊情况可知，再由一般情况设设直线m的方程为，由题意求出，联立直线与双曲线方程，由根与系数关系代入化简即可得证.
【小问1详解】
设，过且平行的直线方程为，
由得交点的横坐标为，
所以，
点到直线的距离为，
所以四边形OAEB的面积为，
即或，
故动点E的轨迹方程为或.
【小问2详解】
由题知的方程为，
设，、
当直线的斜率为0时，，
若，由，，知，
所以；
若，由，，知，
所以；
当直线m的斜率不为0时，设直线m的方程为 (显然)，
则，即，
因为，，
所以，
解得
由消并整理得，
因为直线m与曲线有两个交点，
则在且判别式时有且
所以，
即证得为定值.
21. 某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的种疫苗后，再为居民们接种，记第位居民（不包含张医生）接种四种疫苗的概率分别为.
（1）第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
（2）张医生认为，一段时间后接种四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：.
【答案】（1）疫苗
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论，根据全概率公式计算；
（2）根据（1）的逻辑，讨论的通项公式，运用等比数列求出第10为居民使用A，B，C，D疫苗的概率即可.
【小问1详解】
第1位居民接种疫苗的概率分别为，
若第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗，，
第2位居民接种疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗，
同理，第2位居民接种疫苗的概率也等于，
故第2位居民接种疫苗的概率最大；
【小问2详解】
因为，
所以，
故数列是公比为的等比数列.
又，所以
即，
从而，
同理，
，
所以，
第10位居民接种疫苗概率应该相差无几.
第位居民接种疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生话合理.
22. 已知函数.
（1）若在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，用导数法解即可；
（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解.
【小问1详解】
由题意，当时，设，
则，
，
令，得（舍负）
在上单调递减，在上单调递增，
.
根据题意的取值范围为.
【小问2详解】
设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
则，
，代入
得.
问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
，当时，
.
问题转化为：的最小值小于或等于0.
，
设，则
当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
由知，
故.
设，
则，
故在上单调递增，
当时，，
的最小值等价于.
又函数在上单调递增，
.
【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解.