(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第10章 第7讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　)

A．0.6  B．0.4

C．0.3  D．0.2

解析：选A．由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.

2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)

A．  B．

C．2  D．

解析：选D．因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.

3．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99

解析：选ABC．由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正确，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．

4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)

A．6，2.4  B．2，2.4

C．2，5.6  D．6，5.6

解析：选B．由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.

因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，

D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)

A．3  B．

C．2  D．

解析：选B．在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，未通过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝C××＝＝，

P(X＝2)＝C××＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．

解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

答案：－0.2

7．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．

(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ＝0.954 5)

解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件)．

答案：8 186

8．(2020·浙江浙北四校模拟)已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．

解析：从袋中3个球中任取2个球，共有C种取法，则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＝，D(ξ)＝×＋×＝.

答案：　

9．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．

(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．

解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.

(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X可能的取值为0，－1，1，因此P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝，

P(X＝1)＝1－－＝，

所以X的分布列为

则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.

10．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．

(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；

(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．

解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为×＝；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为×＝.

所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为＋＝.

(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.

P(η＝10)＝，

P(η＝18)＝×＝，

P(η＝24)＝××＝，

P(η＝30)＝×××＝，

P(η＝36)＝×××＝，

则化验费η的分布列为

所以E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．

[综合题组练]

1．(2020·湖北部分重点中学测试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1，2，3三个等级，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养，，若ω≥7，则数学核心素养为一级；若5≤ω≤6，则数学核心素养为二级；若3≤ω≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：

(1)从这10名学生中任取2人，求这2人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；

(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

解：(1)

由题意可知，数学核心素养为三级的学生是A9；数学核心素养为二级的学生是A4，A7，A10；数学核心素养为一级的学生是A1，A2，A3，A5，A6，A8.

记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B，

则P(B|A)＝＝＝＝.

(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A1，A2，A3，A5，A6，A8.

非一级的学生为余下4人，

所以X的所有可能取值为0，1，2，3.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

所以随机变量X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．

(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；

(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．

①求一棵B种树苗最终成活的概率；

②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？

解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，

P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，

P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，

P(X＝3)＝0.8p2.

X的分布列为

所以E(X)＝1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.

(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．

①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.

②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n≥699.3.

所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．