(新高考)高考数学一轮复习过关练考点24 直线与圆的基本量（含解析）

考点24  直线与圆的基本量

1. 掌握直线方程的五种形式的特点与适用范围,能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系 .

2. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式,并能进行简单应用;会求两条平行直线间的距离

3. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化

圆的方程在高考题中属于必考问题,主要是考查根据所给条件来求圆的方程 . 这类问题在高考中,既可以以小题的形式进行考查,又可以在解答题中进行考查,大多以中档题为主

近五年的高考题中都有涉及,主要是解析几何综合问题中的直线方程的求解、直线与圆的位置关系的研究,在今后的高考中,这些依然是考查的重点 .

1. 直线方程的基本量:斜率和截距,在解决与它们有关系的问题时,要注意对斜率不存在的特殊情况的讨论 . 当直线不垂直于 y 轴但可垂直 x 轴时,我们又可以将直线方程设为 x =my+ a 的形式,这样可以避免对斜率 k 进行讨论 .

2. 直线的五种方程各有其特点,在选用时要根据所给条件灵活使用,一般情况下,我们会选用直线的斜截式、点斜式方程 .

3. 判定直线与直线的位置关系时,要注意所用判断条件是否是充要条件,否则容易出现漏解的情况 .

4. 对于光线反射问题,我们可以根据光的反射定理,将它转化为对称问题来加以解决

5·由于直线方程和圆的方程的考查要求都是 C 级,所以近五年中有关这两者的综合问题是解析几何的重点 . 在填空题中多在知识网络交汇处命题,考查对动态图形分析的能力,在解答题中则是以多个几何图形交汇、以位置关系为切入点考查直线方程和圆的方程求解,这类问题中还涉及方程思想的运用,难度较大 .

1、【2020年天津卷】知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【答案】5

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

故答案为：．

2、【2020年浙江卷】.设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，

所以，所以（舍）或者，

解得.

故答案为：

3、【2020年北京卷】.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】A

【解析】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

4、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

5、【2020年全国3卷】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

6、【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为

A．1             B．2

C．3             D．4

【答案】C

【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,故选C.

7、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A．        B．

C．       D．

【答案】A

【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则.

点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.

故点P到直线的距离的范围为，则.

故答案为A.

8、【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．

【答案】，

【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.

题型一   圆的方程

1、(2019苏州期末） 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．

【答案】 (x－5)2＋(y－2)2＝17　

   由圆心既的线段AB的垂直平分线上，又在直线x－2y－1＝0上，先求出圆心的坐标．

线段AB的中点为M，斜率kAB＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y＝7.

由得圆心C(5，2)，半径r＝CA＝，圆C的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.

所以圆的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.

2、(2019镇江期末）已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________．

【答案】 (x＋3)2＋(y＋3)2＝18　

【解析】由几何知识可知，圆心C在圆 x2＋y2＋10x＋10y＝0的圆心与原点的连线y＝x上，又在OA的垂直平分线y＝－3上，所以C(－3，－3)，易得圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.

3、（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，，则圆的标准方程为________.

【答案】

【解析】由题意，设点，因为，则的中点为，

以线段为直径的圆的方程为：；

由，解得：，即；

又，所以；

因为，

所以，

整理得：，解得或，因为，所以，

所以圆的方程为：，

整理得：.

故答案为：.

4、(2019南京、盐城一模）设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为________．

【答案】 1　

解法1 设圆心为C.因为∠APB＝2∠APC，所以∠APC的最大值为，所以PC的最小值为2r，则＝2＝2r，即r＝1.

解法2 如图，求出满足使∠APB最大值的点P轨迹，连接P点和圆心，由解法1可知点P到圆心的距离为2r.点P满足轨迹(x＋1)2＋y2＝4r2，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线3x＋4y－7＝0 相切，此时满足圆心到直线的距离d＝2r，又因为d＝2，解得r＝1.

5、（2020届北京市陈经纶中学高三上学期10月月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（   ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，

依题意有，，

化简整理得，，

即，

则圆的面积为．

故选D．

6、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知点在圆上，且，则点的横坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题设点，点在圆上，，，

，.

故选：A

7、（2020届山东省德州市高三上期末）已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

题型二、直线与圆的位置关系

1、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（   ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.

因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，

 即，解得或，故选D.

2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由，消去参数得，

所以在以为圆心，为半径的圆上，

又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，

，

∴的最大值为．

故选：C.

3、（2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考数学试题）直线被圆截得的弦长为________.

【答案】

【解析】直线方程一般式为，圆心为，它到已知直线的距离为，圆半径为，

所以弦长为．

故答案为：

4、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与圆相交于、两点，则__________.

【答案】

【解析】

圆的标准方程为，圆心到直线的距离，

所以弦长：.

故答案为：

5、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又

即时等号成立，

故的最小值为9.

故答案为：9

6、（2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题）直线与圆相交于两点,当的面积达到最大时,________.

【答案】

【解析】由圆,

得到圆心坐标为 ,半径,

把直线的方程为,

整理为一般式方程得：,

.圆心到直线的距离

弦的长度,

,

又因为,

当且仅当时取等号,取得最大值,最大值为.

解得

故答案为：

7、（江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考）已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于，两点，且，则直线的斜率为__________．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，

代入，得，

设，对应的参数分别为，，则，，

由，得，，，

，

整理得：，

由题可知，，则，得，

联立，解得，则，

即直线的斜率为，

故答案为：．

8、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）在平面直角坐标系中，是圆的弦，且，若存在线段的中点，使得点关于轴对称的点在直线上，则实数的取值范围是_______________________.

【答案】

【解析】因为点为弦的中点,所以,

在中,,,所以,

所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,

因为点与点关于轴对称,所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,

因为点在直线上,

所以直线与圆:有交点,

所以,即,解得,

故答案为: