高考数学一轮复习考点突破讲与练 第9章 第2节　第3课时　深化提能 与圆有关的综合问题 (含解析)

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第3课时　深化提能——与圆有关的综合问题
圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．

与圆有关的轨迹问题

[典例]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的4种方法

[针对训练]
1．(2019·厦门双十中学月考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　 　B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，
由题意得，则
故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.

与圆有关的最值或范围问题
[例1]　(2019·兰州高三诊断)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是(　　)
A．[－2,6] B．[－3,5]
C．[2,6] D．[3,5]
[解析]　法一：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝≤＝，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故选C.
法二：由于点M(5，t)是直线x＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围一定关于 t＝4对称，故排除选项A、B.当t＝2时，|CM|＝2，若MA，MB为圆C的切线，则sin∠CMA＝sin∠CMB＝＝，所以∠CMA＝∠CMB＝45°，即MA⊥MB，所以t＝2时符合题意，故排除选项D.选C.
[答案]　C
[例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝ ，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．
当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，
解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．
由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．
因为圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
最小值是(2－)2＝7－4.

与圆有关最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
常见类型
解题思路
μ＝型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题


1．(2019·新余一中月考)直线x＋y＋t＝0与圆x2＋y2＝2相交于M，N两点，已知O是坐标原点，若|＋|≤||，则实数t的取值范围是________．
解析：由|＋|≤||＝|－|，
两边平方，得·≤0，
所以圆心到直线的距离d＝≤×＝1，
解得－≤t≤，
故实数t的取值范围是[－， ]．
答案：[－， ]
2．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
解析：设＝k，则k表示点P(x，y)与点A(2,1)连线的斜率．
当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值．
设过(2,1)的直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.
由＝1，解得k＝±.
答案：，－
3．(2019·大庆诊断考试)过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．
解析：由题可知圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心N(3,4)．设点P的坐标为(m，n)，则|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，又|PQ|＝|PO|，所以|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，化简得3m＋4n＝12，即点P在直线3x＋4y＝12上，则|PQ|的最小值为点O到直线3x＋4y＝12的距离，点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝，故|PQ|的最小值是.
答案：
[课时跟踪检测]
1．(2019·莆田模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值是(　　)
A.　　　　　　 　　 B.
C．2 D.＋1
解析：选C　如图所示，连接OA，OB和OC.
∵OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
在△OAC中，由正弦定理得＝，
∴OC＝2sin∠OAC≤2，故|OC|的最大值为2，故选C.
2．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．9
解析：选D　圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.
3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2
C. D．2
解析：选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
因为P在圆C上，所以P.
又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
4．(2019·拉萨联考)已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0上运动，则点P到直线l：x－2y－5＝0的距离的最小值是(　　)
A．4 B.
C.＋1 D.－1
解析：选D　圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)，半径为1，圆心到直线l的距离为＝，则圆上一动点P到直线l的距离的最小值是－1.故选D.
5．(2019·赣州模拟)已知动点A(xA，yA)在直线l：y＝6－x上，动点B在圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0上，若∠CAB＝30°，则xA的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
解析：选C　由题意可知，当AB是圆的切线时，∠ACB最大，此时|CA|＝4.点A的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2＝16，与y＝6－x联立，解得x＝5或x＝1，∴点A的横坐标的最大值为5.故选C.
6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.
7．(2019·安徽皖西联考)已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x－3)2＋y2＝和(x＋3)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是________．
解析：设两圆圆心分别为M，N，则M，N为椭圆的两个焦点，
因此|PQ|＋|PR|≥|PM|－＋|PN|－＝2a－1＝2×4－1＝7，
即|PQ|＋|PR|的最小值是7.
答案：7
8．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，－3)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在一点M满足|MA|＝2|MO|，则实数a的取值范围是________．
解析：设满足|MA|＝2|MO|的点的坐标为M(x，y)，由题意得＝2，
整理得x2＋(y－1)2＝4，
即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆，
原问题转化为圆x2＋(y－1)2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1有交点，
据此可得关于实数a的不等式组解得0≤a≤3，
综上可得，实数a的取值范围是[0,3]．
答案：[0,3]
9．(2019·唐山调研)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲线方程为(x－5)2＋y2＝16.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．


由题知直线l2与圆C相切，连接CQ，CM，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，
此时|CQ|＝＝4，
故|QM|的最小值为＝4.
10．(2019·广州一测)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，
所以＝.
整理得，x2＋y2＝2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.
由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)
由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)＞0，得b2＜2＋2k2. ①
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝. ②
由k1·k2＝·＝·＝3，
得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，
即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0. ③
将②代入③，整理得b2＝3－k2. ④
由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤. ⑤
由①和④，解得k＜－或k＞. ⑥
要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，
所以0不是方程(*)的根，所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范围为[－，－1)∪∪∪(1, ]．