2023宜宾叙州区二中高一下学期期末考试数学试题含解析

叙州区二中2023年春期高一期末考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在复平面内，复数(是虚数单位)，则复数的共轭复数所对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，然后再求出其共轭复数在复平面内对应的点的坐标判断即可.

【详解】，

，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.

故选：C.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

2. 某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛，若得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题可设样本中高二的学生数量为，然后根据全校高一、高三学生数之比为得出，最后通过计算即可得出结果.

【详解】设样本中高二的学生数量为，

则样本中高一的学生数量为，样本中高三的学生数量为，

因为全校高一、高三学生数之比为，

所以，解得，

则样本容量为，

故选：D.

3. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位：)的统计数据，则下列叙述不正确的是（    ）

A. 从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是

B. 从5日到9日，日均值逐渐降低

C. 这10天中日均值的平均数是49.3

D. 这10天的日均值的中位数是

【答案】D

【解析】

【分析】借助于图表数据，对A、B、C、D一一验证即可.

对于A：用古典概型计算公式进行计算；
对于B：从折线图直接看出；

对于C：直接计算平均值即可；

对于D：直接求出中位数；

【详解】对于A：从图表可以看出，“空气质量为一级”的有：3日、8日、9日、10日，故概率,故A正确；
对于B：从5日到9日，折线图逐日下降，故日均值逐渐降低，故B正确；

对于C：这10天中日均值的平均数是，故C正确；

对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，故中位数为，故D错误；

故选：D

4. 给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数､第50百分位数分别为（    ）

A. 11，17 B. 11，21 C. 12，17 D. 12，21

【答案】D

【解析】

【分析】利用百分位数的定义求解

【详解】解：因为，

所以第30百分位数12､第50百分位数，

故选：D

5. 在中,若，，，则

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】依题意，由正弦定理即可求得得值.

【详解】由正弦定理得，.

故选B

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题．

6. 已知中，，，分别是，，的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行四边形法则求解即可.

【详解】依题意，，故

故选A．

【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

7. 若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数定义结合正弦的二倍角公式计算即可

【详解】由题意，∴，，

．

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函数定义是解题关键．

8. 在中，角所对的边分别为，已知下列条件，只有一个解的是

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据正弦定理得到，比较与的大小关系即可判定A，B错误，再根据大边对大角即可判定C错误，根据勾股定理即可判定D正确.

【详解】对于A，因为，，

所以，有两个解，故A错误.

对于B，因为，，

所以，无解，故B错误.

对于C，因为，所以，即，，

所以无解，故C错误.

对于D，，为直角三角形，故D正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理判断为解题的关键，属于简单题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法错误的是（    ）

A. 零向量没有方向

B. 共线向量是同一条直线上的向量

C. 若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D.

【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误，

对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，

对C,根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，

对D，，故正确，

故选：ABC

10. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）

A.  B. 事件B与事件相互独立

C. 事件B与事件相互独立 D. ，互斥

【答案】AD

【解析】

【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.

【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；

同理可以求得，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，

故选：AD．

【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.

11. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（    ）

A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期

C. 的值域为 D. 的图象关于轴对称

【答案】CD

【解析】

【分析】

代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：因为，所以，

，

所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；

对于B：，

所以不是的一个周期，故B错误；

对于C：，所以的周期为，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

综上：的值域为，故C正确；

对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，

故选：CD

【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.

12. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ）

A. 的取值范围是

B. 点经过的外心

C. 点所在轨迹的长度为2

D. 的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.

【详解】由，又斜边，则，则，A正确；

若为中点，则，故，又，

所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；

由上，则，

又，则，当且仅当等号成立，

所以，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.

第II卷 非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．

【详解】数据的平均数为，方差为，所以，

，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．

故答案为：．

14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示）

【答案】

【解析】

【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得．

【详解】设山高，则，延长交于，如图，

则，因此，，，

，

中由正弦定理得，

所以，

故答案为：．

15. 的值__________.

【答案】1

【解析】

【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.

【详解】解：

.

故答案为:1.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.

16. 已知点P为的内心，，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据余弦定理可求,进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解.

【详解】在，由余弦定理得,

设分别是边上的切点，设，则，所以，

由得，，即，①

同理由,②

联立①②以及即可解得：，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P．

（1）将向量用向量表示；

（2）若，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解，

（2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解.

【小问1详解】

由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，

设，故，进而,

因为,所以得：，解得，故，

由,

故

【小问2详解】

由（1）知，又,

故

18. 某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）估计这组数据的平均数；

（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.

【答案】（1）   

（2）77    （3）

【解析】

【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.

(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.

(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.

【小问1详解】

由频率分布直方图得，解得，

所以图中值是0.020.

小问2详解】

由频率分布直方图得这组数据的平均数：

，

所以这组数据的平均数为77.

【小问3详解】

数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，

记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：

，共个不同结果，它们等可能，

其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，

所以人中恰有名女生的概率为为.

19. 在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；

（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出

【小问1详解】

由可得，，所以，而，所以．

【小问2详解】

由得，而，即，解得，所以，故的面积为．

20. 如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点F为侧棱上一点．

（1）若，求证：平面；

（2）若，求证：平面平面．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1），的交点为O，连接，由菱形及中位线性质有，再由线面平行的判定可证结论；

（2）由题意及线面垂直的性质有、，再由线面垂直的判定和性质得，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.

【小问1详解】

设，的交点为O，连接，

因为底面为菱形，且O为中点，，

所以，又平面，平面，

故平面．

【小问2详解】

因为底面为菱形，所以，

因为平面，平面，所以，

又，、平面，

所以平面，又平面，

所以，又，，，平面，

所以平面，又平面，故平面平面.

21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；

（2）由余弦定理求得，再用正弦定理计算．

【小问1详解】

∵，∴，

即，

所以，因为，

所以，所以，

因为，所以．

【小问2详解】

因为，，，根据余弦定理得

，∴．

∵，∴．

在中，由正弦定理知，，∴，∴，

∴，∴．

22. 在四棱锥中，平面 ⊥平面 ，底面为梯形，，，且，，．

（1）求证：；

（2）求二面角______的余弦值；

从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

（3）若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与 都不平行．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）答案见解析；    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证线线垂直.

（2）根据二面角的几何求法，先利用面面垂直，得线面垂直，进而可找到二面角的平面角，然后借助三角的边角关系即可求解.

（3）根据空间中过一点只能作出一条直线与已知直线平行，即可求解.

【小问1详解】

证明：∵平面 ⊥平面

平面平面，平面，,

∴平面 ，又平面 ，∴ ．

【小问2详解】

若选①，过点作 交 的延长线于点 ．

∵平面 ⊥平面，平面平面，平面 ，

∴⊥平面 ，

过 作交 的延长线于点 ，

∵， ，∴ ，连接 ，

∵ 平面 ，平面，∴ ，

∵，平面 ，平面，∴AB⊥平面POE，

又平面POE，∴ ，

∴ 就是二面角的平面角．

由题意得，，，

∴，∴，即二面角的余弦值为．

若选②，过点P作PO⊥CD交CD的延长线于点O，连接BD．

∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，

∴PO⊥平面ABCD，

过点O作OM⊥BD交BD的延长线于点M，连接PM，

∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PO⊥BD，

∵，平面POM，平面POM，∴BD⊥平面POM，

又平面POM，∴BD⊥PM，

∴∠PMO为二面角的平面角的补角，

易算得，，∴，

∴二面角的余弦值为．

若选③，过点P作PO⊥CD交CD的延长线于点O．

∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，

∴PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接PH，

∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴，

又，平面POH，平面POH，

∴BC⊥平面POH，又平面POH，∴BC⊥PH，

∴∠PHO为二面角的平面角，

易算得，，∴，

∴二面角的余弦值为．

【小问3详解】

证明：连接AC，取AC的中点K，连接MK，则．

若棱BC上存在点F，使，

则由基本事实4可得，显然矛盾，故对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．