新高考数学二轮复习 第3部分 回扣2　复数、平面向量（含解析）

回扣2　复数、平面向量

1．复数的相关概念及运算法则

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类

①z是实数⇔b＝0；

②z是虚数⇔b≠0；

③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.

(2)共轭复数

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.

(3)复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.

(4)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．

(5)复数的运算法则

加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；

乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．

2．复数的几个常见结论

(1)(1±i)2＝±2i.

(2)＝i，＝－i.

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．

3．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

4．向量a与b的夹角

已知两个非零向量a和b.作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

5．平面向量的数量积

(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

6．两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

7．利用数量积求长度

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

||＝.

8．利用数量积求夹角

设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

则cos θ＝＝.

9．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：

(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.

(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.

(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.

1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．

2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．

3．若＝λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心．