2023年福建省厦门市思明区湖里中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年福建省厦门市思明区湖里中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了首次出舱任务，据了解，这艘飞船的时速为每小时千米，千米用科学记数法表示应为(    )

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

3.  一个几何体如图所示，它从左面看的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  高钙牛奶的包装盒上注明“每克内含钙毫克”，它的含义是指(    )

A. 每克内含钙毫克 B. 每克内含钙不低于毫克
C. 每克内含钙高于毫克 D. 每克内含钙不超过毫克

6.  如图，在矩形中，对角线与相交于点点、分别是，的中点，且则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如表所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

8.  九章算术是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在正六边形中，点是的中点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线的解析式为若抛物线经过，，三个点中的其中两个点，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，若，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的(    )

A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  请写出一个无理数______ ，使得它的倒数比小答案不唯一

13.  一组数据，，，，的方差为______ ．

14.  已知，是方程的两个实数根，则 ______ ．

15.  如图，在中，，点在上，且，，若，则 ______ ．

16.  如图，点是反比例函与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程组．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，，分别是▱的边，上的点，已知求证：．
 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间单位：小时，学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用、、、表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
全校共有学生人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生人数；
某小组有名同学，、等级各人，从中任选人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这人均属等级的概率．

21.  本小题分
知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足参考数据：，，，，，，，，
如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．
当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端与地面距离的最大值；
当梯子底端距离墙面时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

22.  本小题分
如图，，是圆的切线，，为切点．
求作：这个圆的圆心用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明；
在的条件下，延长交射线于点，若，，请补全图形，并求的半径．

23.  本小题分
某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂，月份共生产再生纸吨，其中月份再生纸产量比月份的倍少吨．
求月份再生纸的产量；
若月份每吨再生纸的利润为元，月份再生纸产量比上月增加月份每吨再生纸的利润比上月增加，则月份再生纸项目月利润达到万元．求的值；
若月份每吨再生纸的利润为元，至月每吨再生纸利润的月平均增长率与月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，月份再生纸项目月利润比上月增加了求月份每吨再生纸的利润是多少元？

24.  本小题分
【探究发现】
如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点点与点，不重合，则与之间满足的数量关系是______ ；
【类比应用】
如图，若将中的“正方形“改为“的菱形“，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由；
【拓展延伸】
如图，在四边形中，平分，，，过点作，交的延长线于点若，，求的长．

 

25.  本小题分
已知抛物线经过，两点．
求的值；
当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
若方程的两实根，满足，且，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：千米千米．
故选：．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：．
分析：
本题考查简单几何体从不同方向看的形状，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘，除法法则分别判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据的含义，“每克内含钙毫克”，就是“每克内含钙不低于毫克”，
故选：．
“”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．
本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
点、是，的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据矩形的性质可得，，再根据三角形中位线定理可得．
此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
 

7.【答案】 

【解析】解：

元．
该食堂销售午餐盒饭的平均价格为元．
故选：．
根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
本题考查的是加权平均数的求法，本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，解题的关键是掌握求加权平均数的方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：设经过天相遇，
根据题意得：，
，
故选：．
设总路程为，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程大雁的路程总路程列出方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

是正六边形，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，连接，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．
本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：，在直线上，
或是抛物线的顶点，
，的横坐标相同，
抛物线不会同时经过、点，
抛物线过点和两点，
把，代入得，
解得，
二次函数为，
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
抛物线与轴交点纵坐标最大值为，
故选：．
先判断抛物线经过点、，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的解析式，令，解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的倍，本题可用完全平方公式分解因式．
本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一个数为无理数，且它的倒数比小，
这个数是比大的无理数，
则这个数为：答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
无理数即无限不循环小数，根据题意写一个比大的无理数即可．
本题考查无理数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：数据的平均数为：，
方差为：．
故答案为：．
根据方差的定义解答即可，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫方差．
本题考查了方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
先利用根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
根据得到，再根据证得，于是有，然后在直角中，根据的正切值求出的长．
本题主要考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，同时熟知等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的判定：等角对等边．
 

16.【答案】 

【解析】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：

解得：．
点是反比例函与的一个交点．
．

．
，
则反比例函数的解析式是：．
故答案是：．
根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值．
本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
把代入得：，
所以．
把代入得：，
原方程组的解为． 

【解析】观察本题中方程的特点本题用代入法较简单．
这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的代入消元法．
 

18.【答案】 证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，

≌，
．

【解析】

【分析】
根据平行四边形的性质，可以得到，，再根据，利用可以证明和全等，然后即可证明结论成立．
【解答】
证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，

≌，
．
【点评】
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明和全等．  

19.【答案】解：原式

，


，
原式． 

【解析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数求得的值，将其代入化简结果中计算即可．
本题考查分式的化简求值，利用分式的相关运算法则进行正确的分式化简是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
等级的人数人，
条形统计图补充如下：

学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生人数人，
每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生为人；
设等级人分别用，表示，等级人分别用，表示，随机选出人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

共有种等可能结果，而选出人中人均属等级有种，
所求概率． 

【解析】利用抽查的学生总数等级的人数对应的百分比计算，即可求等级的人数；
用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生所占的百分比，即可求解；
设等级人分别用，表示，等级人分别用，表示，画出树状图，即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：，当时，取最大值，
在中，，
米，
梯子顶端与地面的距离的最大值为米；
在中，，
，
，
，
人能安全使用这架梯子． 

【解析】根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可；
根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，圆心即为所求；

由知：，
，
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
的半径为． 

【解析】本题考查尺规作图与一般作图，切线的性质，等腰三角形的性质，以及圆心角、弧、弦的关系．
分别过切点，作和的垂线，交于点即可；
根据勾股定理即可求出的半径．
 

23.【答案】解：设月份再生纸的产量为吨，则月份再生纸的产量为吨，
依题意得：，
解得：，
．
答：月份再生纸的产量为吨．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为．
设至月每吨再生纸利润的月平均增长率为，月份再生纸的产量为吨，
依题意得：，
．
答：月份每吨再生纸的利润是元． 

【解析】设月份再生纸的产量为吨，则月份再生纸的产量为吨，根据该厂，月份共生产再生纸吨，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入中即可求出月份再生纸的产量；
利用月利润每吨的利润月产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设至月每吨再生纸利润的月平均增长率为，月份再生纸的产量为吨，根据月份再生纸项目月利润比上月增加了，即可得出关于的一元二次方程，化简后即可得出月份每吨再生纸的利润．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程或一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图：

四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
，
故答案为：；
还成立，理由如下：
连接，如图：

四边形是菱形，，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
；
连接，在上截取，使，连接，如图：

，平分，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
根据四边形是正方形，，可证≌，故；
连接，由四边形是菱形，，得，根据，知，，，四点共圆，故，从而，是等边三角形，即得；
连接，在上截取，使，连接，同可证，，，四点共圆，是等边三角形，故，，而，，有是等边三角形，即可证明≌，故AB，，在中可得，从而．
本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：抛物线经过，两点，
抛物线的对称轴为直线，
即，
；
由得，抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且当时，
抛物线与轴有且只有一个公共点，
当公共点是顶点时，
，解得，
当公共点不是顶点时，
当时，；当时，，
解得：，
综上所述，的取值范围是或；
由知，
的两实根为，，
抛物线与轴交点的横坐标为，，
，
即，
，
，
，
 

，
当时，随的增大而增大，
当时，最大值为． 

【解析】由抛物线对称轴公式及对称性得，求出即可；
分公共点是顶点或公共点不是顶点两种情况讨论，公共点是顶点时，；当公共点不是顶点时，当时，；当时，，求出的范围即可；
由抛物线对称性得，即，代入和 得，，求出的最大值即可．
本题是二次函数函数综合题，主要考查了抛物线对称轴公式、对称性、抛物线与轴有交点，二次函数顶点式求最大值，解决本题的关键是分类讨论公共点是否是顶点、用，将换成．