天津市河西区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

高一年级数学试卷

一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：实部为-2，虚部为1的复数在复平面对应的点坐标为，位于第二象限，

故选B.

考点：复平面.

2. 在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示             (　　)

A. 落在相应各组的数据的频数

B. 相应各组的频率

C. 该样本所分成的组数

D. 该样本的样本容量

【答案】B

【解析】

【详解】频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率，它等于这组的频数除以样本容量的值，样本容量是这组数据的所有数据的个数．频率分布直方图中，

各个长方形的面积表示相应数据的频率，

它等于这组的频数除以样本容量的值，

小长方形的个数表示该样本所分成的组数，

故选B．

点评：本题考查频率分步直方图，考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查最基本的概念，本题是一个基础题．

3. 已知，，，若，则（      ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，列出方程，可求得x，y，即可得答案.

【详解】因为，

所以，解得，

所以.

故选：C

4. 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（    ）

A. 平行 B. 相交且垂直

C. 相交成60° D. 异面直线

【答案】C

【解析】

【分析】把展开图还原成正方体可得的位置关系．

【详解】把展开图恢复成如图所示的正方体，

其中，为等边三角形，所以．

故选：C.

5. 已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过投影公式进行计算即可．

【详解】解：由定义可得向量在向量上的投影为，

所以向量在向量上的投影向量为．

故选：D．

6. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ）

A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全是次品

C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品

【答案】A

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可判断.

【详解】A. 由条件可知，恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件，故A正确；

B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B错误；

C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C错误；

D. 至少有1件次品和全正品是对立事件，故D错误.

故选：A

7. 两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（    ）

A. 两个角均为锐角 B. 一个角为，一个角为

C. 两个角均为 D. 两个角均为

【答案】D

【解析】

【分析】根据异面直线和直线与平面所成角的概念逐个分析可得答案.

【详解】对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；

对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；

对于C，可能两个角均为，故C不正确；

对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两个角不可能均为，故D正确.

故选：D.

8. 袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球.设A=“两个球颜色相同”，B=“两个球颜色不同”，则（    ）

A. P(A)=P(B) B. 2 P(A)= P(B)

C.  P(A)=2 P(B) D. 3 P(A)= P(B)

【答案】B

【解析】

【分析】应用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求事件、的概率，进而判断它们的数量关系.

【详解】由题设，事件可能有{红,红}，{白,白}，

∴，

事件可能有{红,白}，{白,红}，

∴，

∴2 P(A)= P(B).

故选：B

9. 如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（    ）

A. 平面 B. 平面

C. 平面 D. 平面

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理及定义判断即可；

【详解】解：依题意平面，平面，所以，

又是底面圆的直径，所以，

，平面，所以平面，故A正确；

对于B：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；

对于C：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；

对于D：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；

故选：A

二､填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.

10. 是虚数单位，复数满足，则的虚部为_____.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据，利用复数的除法化简求解.

【详解】因为，

所以，

所以的虚部为-1，

故答案为：-1

11. 某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为____．

【答案】100.

【解析】

【详解】试题分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．

详解：分层抽样的抽取比例为，

总体个数为3500+1500=5000，

∴样本容量n=5000×=100．

故答案为100．

点睛：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异，将特性相同的分为一类.

12. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.

【详解】

如图所示，连结，交于点，很明显平面，

则是四棱锥的高，且，

，

结合四棱锥体积公式可得其体积为

，

故答案为.

点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为________.

【答案】0.2

【解析】

【详解】从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种.

其中和为5的有(1,4),(2,3)2种.

由古典概型概率公式知所求概率为=.

14. 已知，，是直线，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若与异面，则至多有一条直线与，都垂直．

其中真命题是______（写出所有正确命题的序号）．

【答案】①③

【解析】

【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可；

【详解】解：已知，，是直线，给出下列命题：

①若，，根据平行线的传递性可得：，正确；

②若，，则与平行、相交或为异面直线，因此不正确；

③若，，则，正确；

④若与异面，则有无数条直线与，都垂直，因此不正确．

其中真命题是 ①③．

故答案为：①③．

15. 在中，，，. 若，，且，则的值为______________.

【答案】

【解析】

【详解】 ,则

.

【考点】向量的数量积

【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.

三､解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设.

（1）用表示；

（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

【答案】（1），；（2），证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平面向量运算法则，依次代换即可表示；

（2）根据（1）表示形式计算，则.

【详解】解：（1）

（2）.证明如下：

由（1）知，，

【点睛】此题考查平面向量的线性运算和数量积的计算，通过非零向量数量积为零判定向量垂直.

17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设，，求．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ） 在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．

（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．

【详解】（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，

又．

可得，

∴sinBcosBsinB，

则．

又∵B∈（0，π），可得．

（Ⅱ） 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，

∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，

解得．

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18. 为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：cm）如下：

163.0  164.0  161.0  157.0  162.0  165.0  158.0  155.0  164.0  162.5

154.0  154.0  164.0  149.0  159.0  161.0  170.0  171.0  155.0  148.0

172.0  162.5  158.0  155.5  157.0  163.0  172.0

（1）计算女生身高的样本平均数；

（2）若该学校男生平均身高为170.6cm，试估计该校高一年级学生的平均身高；

（3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数．

【答案】（1） cm   

（2） cm   

（3） cm

【解析】

【分析】（1）（2）根据平均数公式计算可得；

（3）首先将数据从小到大排列，再按照百分位数计算规则计算可得；

【小问1详解】

解：依题意可得

所以平均数为（cm），

即样本中女生身高的平均数为 cm.

【小问2详解】

解：依题意可得高一年级学生的平均身高约为（cm）.

【小问3详解】

解：依题意将样本数据从小到大排列为：148、149、154、154、155、155、155.5、157、157、158、158、159、

161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172

因为，所以第百分位数为第个数据，为，

即由样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数为 cm.

19. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯概率分别为，，.

（1）求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯和遇到一个红灯的概率；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由独立事件的概率公式、对立事件的概率公式计算；

（2）由互斥事件、独立事件、对立事件的概率公式计算．

【小问1详解】

设为一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数

.

【小问2详解】

设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

.

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

20. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．

【解析】

【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．

（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．

（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．

（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．

所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．

（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．

Rt△CAD中，CD==4．

在Rt△CMD中，．

所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．