2023年湖南省株洲五中中考数学模拟试卷（含解析）

2023年湖南省株洲五中中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图的坐标平面上有、、、四点根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图数轴上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列哪个选项的值最小(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，中，点在上，点在上，为的中垂线．若，且，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？(    )

 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  若坐标平面上二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，则、、的值可能为下列哪一组？(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算：______．

12.  袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达亿亩，每年增产的粮食可以养活万人，将数据万用科学记数法表示为，则的值为______ ．

13.  因式分解：______．

14.  今年月日是第个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为，，，，则她的最后得分是______分．

15.  如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．

16.  如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，若，则的值为______ ．

17.  如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点，则的度数为          度．

 

18.  算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺水平距离时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直如图所示，试问绳索有多长？”根据题意求出绳索的长为______尺．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，正方形中，是对角线上一点，连结，过点作，且，连结、，交于点，的延长线与交于点．
求证：；
若正方形的边长为，且，求线段的长．

22.  本小题分
图，图分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，请根据以上信息，解决下列问题结果精确到，参考数据：，，

求点到所在直线的距离．
求的长度．

23.  本小题分
为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计表和统计图图中信息不完整已知、两组捐款户数的比为：．
捐款户数分组统计表

请结合以上信息解答下列问题．
______ ，本次调查样本的容量是______ ；
补全“捐款户数分组统计表和捐款户数分组统计图”；
某大学组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，该校美术社团计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘创作后出售，并将所获利润全部捐给失学儿童已知美术社团购买了黑、白两种颜色的文化衫共件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表所示：

假设文化衫全部售出，共获利元，求：黑白两种文化衫各多少件？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
求一次函数与反比例函数的解析式．
当时，求的取值范围．
若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．

25.  本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，求的值；
在的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．

26.  本小题分
“明德新民，止于至善”意思是启发学生，使他们都能发扬与生俱来的光明德性，自新其德，敦品励行，积学储宝，进而成己成物，将德学贡献出来，使社会不断进步，事事物物都能达到最美善圆满的境界在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“明德点”，经过点的函数，称为“明德函数”．
若点是“明德点”，关于的函数是“明德函数”，则 ______ ， ______ ， ______
若关于的函数和都是“明德函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求的值．
如图，点、是抛物线上两点，其中在第四象限，在第一象限对称轴右侧，直线、分别交轴于、两点；
求点，的坐标；用含，的代数式表示
若，试判断经过、两点的一次函数是否为“明德函数”，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、点在第二象限，故此选项符合题意；
B、点在第三象限，故此选项不符合题意；
C、点在轴上，故此选项不符合题意；
D、点在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：．
根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
本题考查了点的坐标，熟记坐标平面的划分方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，故A选项不符合题意；
B.因为，故B选项符合题意；
C.因为，故C选项不符合题意；
D.因为，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值即可得出答案．
本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的几何定义是解题的关键．
【解答】
解：表示的点到原点的距离最近，
最小，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为：，
故选C．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中位数为第个和第个的平均数，众数为．
故选：．
利用中位数，众数的定义即可解决问题．
本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
 

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程没有实数根，
，
，
故选：．
根据根的判别式列出不等式求出的范围即可求出答案．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：为的中垂线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，
．
故选：．
根据二次函数的平移性质得出不发生变化，即可判断．
此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出的值不变是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．
本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：万，故的值为，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：她的最后得分是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，
小球停在阴影部分的概率是，
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：轴，
轴，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
由反比例函数系数的几何意义得到，进而得到，根据反比例函数系数的几何意义即可求得．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
求出正六边形的中心角和正五边形的中心角，即可得出的度数．
本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．
【解答】
解：如图，连接，

正六边形的中心角为，
正五边形的中心角为，
．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：设绳索有尺长，
则，
解得：，
即绳索长尺，
故答案为：．
设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】对第一个分式分解因式，括号内的式子通分，然后将除法转化为乘法，再化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：正方形的边长为，
，，
，
，，
≌，
，，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由正方形的性质可得，，可求，的长，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，
交的延长线于点，交的延长线于点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
故BC的长度约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键．
如图，过点作于点，交的延长线于点，交的延长线于点，解直角三角形即可得到结论；
根据三角函数的定义即可得到结论．
 

23.【答案】   

【解析】解：组捐款户数是，则组捐款户数为，样本容量为；
故答案为：，；
统计表、、 组的户数分别为，，．

；
设学校购进黑文化衫件，白文化衫件．
根据题意，得，
解得，
答：购进黑文化衫件，白文化衫件．
根据组有户，、两组捐款户数的比为：即可求得的值，然后根据和的总人数以及所占的比例即可求得样本容量；
根据百分比的意义以及直方图即可求得、、 组的户数，从而补全统计图；
设学校购进黑文化衫件，白文化衫件，根据两种文化衫件，共获利元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】解：一次函数与坐标轴分别交于，两点，
，解得．
一次函数的解析式为：．
的面积为，
，
，
点在一次函数图象上，
令解得，

点在反比例函数的图象上，
．
一次函数的解析式为：反比例函数的解析式为：．
令，解得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围为：或．
如图，作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，



，
直线的解析式为：．
令，解得．
．


．
当最小时，的面积为． 

【解析】根据待定系数法可求出直线的解析式，根据的面积可得出点的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点的坐标，结合图象可直接得出的取值范围；
作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
 

25.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
 在中，
，
；
解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论；
先得出∽，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果；
由的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出∽，最后根据得出结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
 

26.【答案】     

【解析】解：为“明德函数”，
，
，
将代入，
解得：，
故答案为：，，；
当时，，
函数是“明德函数”，
，
此时，符合题意，
当时，
将分别代入与中，有，
两个函数图象有且只有一个交点，
只有一个根，即：，
，
，
的值为或；
令，得：，，
，，
，
令，
，
，
可求，，
令，
，
；
是“明德函数”，理由如下：
若，
，
，
，
，
，
将代入上式，有：，
，
将代入，有：，
即，与前提条件所得出的结论一致，
经过，的一次函数是“明德函数”．
根据已知条件，代入求解即可；
首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出的值；
首先根据前提条件推出与的关系，然后利用，坐标用和表示出直线斜率，进一步代入点或者点的坐标，表示出截距，然后将坐标代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件．
本题考查二次函数的综合应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质，运用待定系数法和根的判别式求解是解题的关键．