2023年浙江省绍兴市中考数学试卷（含解析）

2023年浙江省绍兴市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据报道，年“五一”假期全国国内旅游出游合计人次数字用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出个球，则摸出的球为红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  九章算术中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛问大、小器各容几何？”译文：今有大容器个，小容器个，总容量为斛斛：古代容量单位；大容器个，小容器个，总容量为斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位，最后所得点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，分别向终点，运动，且始终保持点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，在整个过程中，四边形形状的变化依次是(    )

A. 菱形平行四边形矩形平行四边形菱形
B. 菱形正方形平行四边形菱形平行四边形
C. 平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形
D. 平行四边形菱形正方形平行四边形菱形

9.  已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，是边上的点不与点，重合过点作交于点；过点作交于点、是线段上的点，：是线段上的点，若已知的面积，则一定能求出(    )

A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  如图，四边形内接于圆，若，则的度数是______ ．

13.  方程的解是______ ．

14.  如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，函数为大于的常数，图象上的两点，，满足，的边轴，边轴，若的面积为，则的面积是______ ．

16.  在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部包括边界，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形例如：如图，函数的图象抛物线中的实线部分，它的关联矩形为矩形若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式：．

18.  本小题分
某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告不完整．

结合调查信息，回答下列问题：
本次调查共抽查了多少名学生？
估计该校名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．

19.  本小题分
图是某款篮球架，图是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．
求的度数；
某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由参考数据：，，

 

20.  本小题分
一条笔直的路上依次有，，三地，其中，两地相距米甲、乙两机器人分别从，两地同时出发，去目的地，，匀速而行图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离米与行走时间分钟的函数关系图象．
求所在直线的表达式；
出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
甲机器人到地后，再经过分钟乙机器人也到地，求，两地间的距离．

21.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
若，求的度数；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在正方形中，是对角线上的一点与点，不重合，，，，分别为垂足连接，，并延长交于点．
求证：；
判断与是否垂直，并说明理由．

23.  本小题分
已知二次函数．
当，时，
求该函数图象的顶点坐标；
当时，求的取值范围；
当时，的最大值为；当时，的最大值为，求二次函数的表达式．

24.  本小题分
在平行四边形中顶点，，，按逆时针方向排列，，，为锐角，且．
如图，求边上的高的长；
是边上的一动点，点，同时绕点按逆时针方向旋转得点，，
如图，当落在射线上时，求的长；
当是直角三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：，即可得出答案．
此题主要考查了有理数的减法，正确掌握有理数的减法运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：它的主视图是：
．
故选：．
主视图有列，每列小正方形数目分别为，，，据此判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从中任意摸出个球，则摸到红球的概率是：，
故选：．
由一个不透明的布袋里装有个球，其中个红球，个白球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据“大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛”，列出关于、的二元一次方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位，最后所得点的坐标是，
故选：．
根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图中，

四边形是矩形，
，，
，，
、，
，
对称，
，，，，．
对称
，
，
，
同理，
，
，
四边形是平行四边形，
如图所示，当，，三点重合时，，

，即，
四边形是菱形．
如图所示，当，分别为，的中点时，设，则，，

在中，，，连接，，
，，
是等边三角形，
为中点，
，，
．
根据对称性可得．
，，，
，
是直角三角形，且，
四边形是矩形．
当，分别与，重合时，，都是等边三角形，则四边形是菱形，

在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形平行四边形矩形平行四边形菱形，
故选：．
根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项A、不符合题意；
由，，可知在轴的左侧，随的增大而增大，故选项B符合题意；
故选：．
由点，关于轴对称，可排除选项A、，再根据，，可知在轴的左侧，随的增大而增大，从而排除选项D．
此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

，，
，，，．
∽，．
，
，，
，．

，
又，
∽．
．
，
．
．
．
，
．
故选：．
如图所示，连接，证明∽，得出，由已知得出，则，又，则∽，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形内接于圆，
，
，
．
故答案为：．
由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．
本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母，得，
．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
解分式方程得结论．
本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和，如图所示，
在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的度数．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：长交轴于，延长交轴于点，
轴，轴，
四边形为矩形，
，
点为中点，
由几何意义得，，
点为中点，
，
，
．
故答案为：．

证明出点、为矩形边的中点，根据三角形的面积求出矩形面积，再求出三角形面积即可．
本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由，当时，，
，
，四边形是矩形，
，
当抛物线经过、时，将点，代入得
，
解得；
当抛物线经过、时，将点，代入得
，
解得，
综上所述，或，
故答案为：或，
根据题意求得点，，，然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
移项得：，
即：，
系数化为，得：，
原不等式的解是：． 

【解析】先算零指数幂，二次根式的化简，绝对值，再算加减即可；
利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式，实数的运算，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 

18.【答案】解：名，
答：本次调查共抽查了名学生．
被抽查的人中最喜爱羽毛球的人数为：名，
被抽查的人中最喜爱篮球的人数为：名，
名，
答：估计该校名初中生中最喜爱篮球项目的人数为名．
答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等． 

【解析】根据乒乓球的人数和所占的百分比即可得出答案；
用乘样本中最喜爱篮球项目的人数所占比例即可；
根据最喜爱的球类运动项目所占百分比解答即可答案不唯一．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
的度数为；
该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，

，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
米，
米，
米米，
该运动员能挂上篮网． 

【解析】根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
延长，交于点，根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：由图象可知，所在直线为正比例函数，
设，
，
，，
所在直线的表达式为．
由图可知甲机器人速度为：米分钟，
乙机器人速度为：米分钟，
两人相遇时：分钟，
答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离为，
则乙机器人分钟后到地，地与地距离，
由，解得，
，
答：，两地间的距离为米． 

【解析】利用待定系数法，将代入解析式中，求出答案；
俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为的长度，列出方程即可；
设甲到地时间为分钟，乙到地时间为分钟，分别求出两人到地时，与的距离，列出方程，解出答案．
本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．
 

21.【答案】解：于点，

；
是的切线，
半径，
，
，，
，
．
，
，
，
，
． 

【解析】由垂直的定义得到，由三角形外角的性质即可求出的度数；
由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出的长．
本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理即可求出的长．
 

22.【答案】证明：在正方形中，，，
，
，
．
解：，理由如下．
连结交于点，如图：

为正方形的对角线，
，
又，，
≌，
．
在正方形中，，
又，，
四边形为矩形，
，
，
，
由得，
，
，
，
． 

【解析】直接由平行公理的推理即可解答．
先连接，然后根据正方形的性质得出≌，从而得到再证明即可．
本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
 

23.【答案】解：，时，
，
顶点坐标为．
中含有顶点，
当时，有最大值，
，
当时，有最小值为：，
当时，．
时，的最大值为；时，的最大值为，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，的最大值为，
，
又，
，
，
．
二次函数的表达式为． 

【解析】先把解析式进行配方，再求顶点；
根据函数的增减性求解；
根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：在▱中，，
在中，．
如图，作于点，

由得，，
作交延长线于点，则，
，
，
，
由旋转知，
≌．
设，则，，．
，，
，
∽，
，
，
，
，
由旋转得≌，

又，

情况一：当以为直角顶点时，如图．

，
落在线段延长线上．
，
，
由知，，
．
情况二：当以为直角顶点时，如图，

设与射线的交点为，
作于点．
，
，
，

，
，，
≌，
，．
设，则，
．
，，
∽，
，
，
，
化简得，
解得，
，
情况三：当以为直角顶点时，
点落在的延长线上，不符合题意．
综上所述，或． 

【解析】由平行四边形的性质对边相等，和三角函数可求得结果；
由三角形全等和三角形相似可得出结论；
三角形的直角顶点不确定，故要分类讨论，分三种情况讨论，求出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键．