2020-2021学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）命题“存在，使得”的否定是　　
A．对任意，都有 B．对任意，都有
C．存在，使得 D．存在，使得
2．（5分）数列中，，，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）记等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（5分）平行六面体中，，2，，，1，，，1，，则对角线的长为　　
A． B．12 C． D．13
5．（5分）1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则　　
A．190 B．211 C．232 D．253
6．（5分）已知空间四边形，其对角线是，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量应是　　
A． B．
C． D．
7．（5分）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为　　
A． B． C． D．
8．（5分）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为直角三角形，且，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列条件中，使点与，，三点一定共面的是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）以下命题正确的是　　
A．直线的方向向量为，，，直线的方向向量，2，，则
B．直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，则
C．两个不同平面，的法向量分别为，，，，2，，则
D．平面经过三点，0，，，1，，，2，，向量，，是平面的法向量，则
11．（5分）记数列的前项和为，，下列四个命题中不正确的有　　
A．若，且对于，，则数列为等比数列
B．若（非零常数，，满足，，则数列为等比数列
C．若数列为等比数列，则，，，仍为等比数列
D．设数列是等比数列，若，则为递增数列
12．（5分）在三棱锥中，下列命题正确的是　　
A．若，则
B．若为的重心，则
C．若，，则
D．若三棱锥的棱长都为2，，分别为，中点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知数列满足，，记为数列的前项和，则　　．
14．（5分）若函数，则（4）（3）（2）（1）　　．
15．（5分）《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则　　．

16．（5分）设，，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列，若，，则的取值范围为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）设等比数列的公比不为1，为，的等差中项．
（1）数列的公比；
（2）若，设，求．
19．（12分）如图，已知三棱台中，平面平面，是正三角形，侧面是等腰梯形，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足对任意，都有．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）如图，正方形和矩形所在的平面相互垂直，动点在线段（包含端点，上，，分别为，的中点，．
（1）若点为线段中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）设平面与平面所成的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．

22．（12分）已知为等差数列，，，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在表的同一列．

第一列
第二列
第三列
第一行



第二行
4
6
9
第三行
12
8
7
请从①，②，③的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列存在，并在此存在的数列中，试解答下列两个问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和，若不等式对任意的都成立，求实数的最小值．

2020-2021学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）命题“存在，使得”的否定是　　
A．对任意，都有 B．对任意，都有
C．存在，使得 D．存在，使得
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意，都有，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）数列中，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】利用数列的递推关系式求出第二项与第四项，然后求解即可．
【解答】解：数列中，，，
可得，
，
，
故选：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．
3．（5分）记等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解．
【解答】解：，，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．（5分）平行六面体中，，2，，，1，，，1，，则对角线的长为　　
A． B．12 C． D．13
【分析】利用向量加法的坐标运算求得的坐标，再由向量模的计算公式求对角线的长．
【解答】解：如图，

，2，，，1，，，1，，
，2，，1，，1，，4，，
．
故选：．
【点评】本题考查空间中两点间的距离计算，考查空间向量的坐标运算与向量模的求法，是基础题．
5．（5分）1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则　　
A．190 B．211 C．232 D．253
【分析】据题意可知，可被21整除，从而得出，然后即可求出．
【解答】解：根据题意知，，
．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，整除的定义，考查了计算能力，属于中档题．
6．（5分）已知空间四边形，其对角线是，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量应是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，绕着图形的棱到，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．
【解答】解：



故选：．

【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
7．（5分）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为　　
A． B． C． D．
【分析】令，求得，当时，将换为，可得，又，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，以及“和谐项”的定义及等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：由，，可得，
当时，，又，
相减可得，
即，
可得从第二项起是公比为2的等比数列，
即有，，
则数列的所有“和谐项”为1，1，2，4，8，，，
可得数列的所有“和谐项”的平方和，．
故选：．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的新定义和求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8．（5分）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为直角三角形，且，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长的取值范围，0，，
，，，利用异面直线所成角结合数量积列式可得与的关系，再由的范围求得的范围，则答案可求．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
设，0，，
，，，时，与重合，不满足直线与异面），
则，0，，1，，，，，，
，
异面直线与成的角，
，
，
，，，
即，解得，
又，，
可得，，
故选：．

【点评】本题考查利用空间向量求解空间角，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）下列条件中，使点与，，三点一定共面的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于，可得，，为共面向量，从而可得、、、四点共面．
【解答】解：对于，
，
，
故，故，，共线，故，，，共面；
或由得：，，为共面向量，故，，，共面；
对于，故，，，共面；
对于，，显然不满足，故，错误；
故选：．
【点评】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
10．（5分）以下命题正确的是　　
A．直线的方向向量为，，，直线的方向向量，2，，则
B．直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，则
C．两个不同平面，的法向量分别为，，，，2，，则
D．平面经过三点，0，，，1，，，2，，向量，，是平面的法向量，则
【分析】利用空间向量的数量积以及向量共线判断选项的正误即可．
【解答】解：直线的方向向量为，，，直线的方向向量，2，，，，，2，，则与不垂直，所以不正确．
直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，
，1，，，，则，所以不正确；
两个不同平面，的法向量分别为，，，，2，，
，2，，则，所以正确；
平面经过三点，0，，，1，，，2，，
向量，，是平面的法向量，
可得：，则，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查空间向量的数量积以及空间向量的共线的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．
11．（5分）记数列的前项和为，，下列四个命题中不正确的有　　
A．若，且对于，，则数列为等比数列
B．若（非零常数，，满足，，则数列为等比数列
C．若数列为等比数列，则，，，仍为等比数列
D．设数列是等比数列，若，则为递增数列
【分析】运用等比数列的性质定义和求和公式，即可判断正确的个数．
【解答】解：对于，若，，满足对于，，但数列为不是等比数列，故错误；
对于，当时，，
当时，，数列为等比数列，故正确；
对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，
比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列．故错误；
对于，数列是等比数列，若，，
若，则，则为递增数列，
若，则，则为递增数列，故正确，
故选：．
【点评】本题考查等比数列的性质和等比数列的定义，考查运算能力，属于中档题．
12．（5分）在三棱锥中，下列命题正确的是　　
A．若，则
B．若为的重心，则
C．若，，则
D．若三棱锥的棱长都为2，，分别为，中点，则
【分析】把变形为，代入整理可得，判断错误；由三角形重心的性质及向量的加减运算判断；由，得，由，得，展开后作和判断；由题意求得判断．
【解答】解：对于、，得，
，得，故错误；
对于、由于为的重心，连接并延长，交于，
则，

，故正确；
对于、由，得，即，
由，得，即，
两式相加可得：，即，故正确；
对于、三棱锥的棱长都为2，可得，
则，故错误．
故选：．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量数量积的性质及运算，考查数学转化思想及运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知数列满足，，记为数列的前项和，则　　．
【分析】由数列的递推式，计算数列的前几项，可得为最小正周期为3的数列，即可得到所求和．
【解答】解：由，，可得，
，
，
，，
可得为最小正周期为3的数列，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的求和，求出数列的周期是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）若函数，则（4）（3）（2）（1）　　．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，求出（1）的值，则有（4）（3）（2）（1）（4）（3）（2）（1），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，，则，则，
则（1），
则（4）（3）（2）（1）（4）（3）（2）（1），
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的计算，注意分析的值，属于基础题．
15．（5分）《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则　14　．

【分析】建立空间直角坐标系，求出，，，的坐标，从而求出的值即可．
【解答】解：如图示：

过分别作，的高，垂足分别为，，
平面平面，，
平面平面，故平面，
故，，又，
故，，两两垂直，
以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则由题意可知：
，0，，，0，，，7，，，0，，
故，7，，，0，，
故，
故答案为：14．
【点评】本题考查了空间向量问题，考查坐标运算，是一道中档题．
16．（5分）设，，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列，若，，则的取值范围为　，　．
【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出，再利用换元法转化为二次函数，根据的范围和二次函数的性质，确定的最值即可求出的取值范围．
【解答】解：设方程的4个实数根依次为，，，，
由等比数列性质，不妨设，为的两个实数根，则，为方程的两个根，
由韦达定理得，，，，则，
故，
，
设，则，
因为，，且在，上递减，在，上递增，
当时，，当时，
所以，，
则，
所以当时，取到最小值是4，
当时，取到最大值是，
所以的取值范围是：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）当时，，然后求出即可；
（2）根据是的必要条件，可知，从而得到关于的不等式组，再求出实数的取值范围．
【解答】解：由题意，得，，
（1）当时，，故；
（2）命题，命题，若是的必要条件，
则，则，解得，
即的取值范围是，．
【点评】本题考查了集合的运算和充分必要条件，是一道基础题．
18．（12分）设等比数列的公比不为1，为，的等差中项．
（1）数列的公比；
（2）若，设，求．
【分析】（1）设等比数列的公比为，且不为1，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比；
（2）由等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得，，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，且不为1，
由为，的等差中项，可得，
即有，化为，
解得舍去）；
（2）由，，可得，
则，
可得，
则．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，已知三棱台中，平面平面，是正三角形，侧面是等腰梯形，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【分析】（1）分别取、的中点、，连接、、，则，由平面平面，推出平面，同理可得，平面，故，即、、、四点共面；易知，而，于是有平面，故而得证；
（2）由（1）知，平面，得，于是，，两两垂直，故以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，即可得解．
【解答】（1）证明：分别取、的中点、，连接、、，
为正三角形，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
同理可得，平面，
，
、、、四点共面．
等腰梯形中，、分别为、的中点，
，
又，，、平面，
平面，
平面，
．

（2）解：由（1）知，平面，
平面，
，
，，两两垂直，
故以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，1，，，，，，，，
，2，，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足对任意，都有．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）令，求得数列的首项，令，可得，将换为，两式相减，结合数列的递推式，再将换为，两式相减，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）求得，分别讨论为偶数和奇数时，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）证明：由题意可得，
时，，解得，
时，，又，
两式相减可得，
即为，可得，，
两式相减可得，
由于，
化为，
令可得，解得，
则，对也成立，
则数列为首项、公差均为1的等差数列；
（2），
当为偶数时，
；
当为奇数时，．
则．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的定义和通项公式、求和公式，数列的求和，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
21．（12分）如图，正方形和矩形所在的平面相互垂直，动点在线段（包含端点，上，，分别为，的中点，．
（1）若点为线段中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）设平面与平面所成的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．

【分析】可得，，互相垂直，以为原点建立空间直角坐标系，
（1）点为线段中点时求得，，利用，即可求解；
（2）设，，，求出面的法向量为，求出面的法向量为，0，，，利用的范围求解．
【解答】解：正方形和矩形所在的平面相互垂直，面面，且，所以，，互相垂直，故以为原点建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，0，，，1，，
（1）点为线段中点，即可得，1，，
，，
．
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
（2）设，，，，，
设面的法向量为，
，可取，
又面的法向量为，0，，
设平面与平面所成的锐角为，则
当时，取得最大值．
即当与重合时，取得最大值．

【点评】本题考查了空间线线角、面面角的求解，考查了运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知为等差数列，，，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在表的同一列．

第一列
第二列
第三列
第一行



第二行
4
6
9
第三行
12
8
7
请从①，②，③的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列存在，并在此存在的数列中，试解答下列两个问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和，若不等式对任意的都成立，求实数的最小值．
【分析】（1）由等差数列的定义，可得选②，由等差数列的通项公式可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和可得，再由参数分离可得对任意的都成立，设，判断数列的单调性，求得最大项，可得所求最小值．
【解答】解：（1）已知为等差数列，
选②成立，即，所以，，，
所以公差，
所以．
（2）设数列，
所以①，
②，
①②得：，
故．
若对于不等式对任意的都成立，
所以，
即对任意的都成立，
设，由，
当，2时，，可得，
当，，，可得，
则中的最大项为，
所以，则实数的最小值为．
【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
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日期：2021/2/24 20:15:34；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394