浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若复数满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是(   )

A. B. C.2 D.-2

2、向量，，若，则实数(   )

A.1 B.2 C.-1 D.-2

3、若二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

4、向量，，，，，对应的点在曲线上，则(   )

A. B. C. D.

5、某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到A、B、C三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学由于交通原因，乙不能去A社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为(    )

A.14 B.20 C.24 D.36

6、设圆柱的体积为V，当其表面积最小时，圆柱的母线长为(   )

A. B. C. D.

7、已知，，，则a，b，c的大小顺序为(   )

A. B. C. D.

8、已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图象均相切，则实数a的取值范围为(   )

A.  B.

C. D.

二、多项选择题

9、已知正项等比数列，，，其前n项和为，且，，，成等差数列，，则下列结论正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

10、已知函数，则下列结论中正确的是(   )

A.导函数的单调递减区间为

B.的图象关于点中心对称

C.过原点只能作一条直线与的图象相切

D.恰有两个零点

11、已知椭圆的左右焦点分别为，，圆内切于椭圆C.过椭圆上不与顶点重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，点P，Q关于原点O对称，则下列结论中正确的是(   )

A.的最小值为

B.存在点P，使得

C.若直线AB交椭圆于D，E两点，线段DE的中点为T，则的值为常数

D.若P在x轴上的射影是，直线交椭圆于另一点G，则直线PQ与PG不垂直

12、如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是(   )

A.共有种不同方案

B.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案

C.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案

D.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案

三、填空题

13、设，则__________.（用数值作答）

14、正项数列满足.则数列的前n项和__________.

15、甲乙两个盒子中分别装有大小､形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1､2､3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为，则__________.

16、定义在上的函数满足：，，则不等式的解集__________.

四、解答题

17、数列满足：，，等比数列的前n项和为，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前n项和为，试证明.

18、如图，四棱锥中，底面ABCD.底面ABCD为等腰梯形，，，.

（1）求证：平面平面PAC；

（2）若点M在线段PB上，且直线AD与平面MAC所成角的正弦值为，求平面MBC与平面MAC夹角的余弦值.

19、在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且__________.

在下列两个条件中选择一个补充在横线上：

①：②

（1）求出角C的大小；

（2）若角C的平分线交边AB于点D，且，求的取值范围.

20、杭州亚运会最终确定延期至2023年9月23日至10月8日举行，某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100人的成绩整理成下表：

（1）从不低于70分的学生中选出1人，如果他是男生，求该学生成绩在80分以上（含80分）的概率；

（2）已知某生成绩低于70分，设该生成绩为X，求他的成绩X的分布列与期望；

（3）假设M表示事件“学校举办亚运知识培训”，N表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”，，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明：.

21、在直角坐标平面内，已知，，动点P满足条件：直线PA与直线PB的斜率之积等于，记动点P的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）过点作直线l交E于M，N两点，直线AM与BN交点Q是否在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

22、已知函数，其中，若有两个零点，且.

（1）设为函数的一个极值点，求证：；

（2）求证：.

参考答案

1、答案：C

解析：，则，虚部为2.故选:C.

2、答案：D

解析：因为，，所以，，，所以，化简整理可得，，解得或(舍去)故选:D.

3、答案：A

解析：设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然n的最小值为3，此时.

4、答案：B

解析：由，，则，由对应的点在曲线上，则，所以.

5、答案：B

解析：若只有甲一个人去A社区，则乙、丙、丁去另外两个社区，此时有种；若甲、丙两人去A社区，则有2种；若甲、丁两人去A社区，则有2种；若丙、丁都去A社区，则甲、乙去B，C社区，此时有2种；若丙、丁只有一人去A社区，由于甲、乙不能同去一个社区，此时有种；综上，共有种．

6、答案：D

解析：设圆柱底面半径为r，母线长为l，有，则，圆柱表面积，当且仅当，即时等号成立，所以圆柱表面积最小时，圆柱的母线长为.

7、答案：A

解析：设，则，即在上单调递增，故，即，故，即，设，则，即在上单调递减，故，故，即，于是.

8、答案：C

解析：时，，，不合题意，故，，函数定义域为，，，，相同切线的位置上，设的切点坐标为，的切点坐标为，则有，即，公切线方程为，代入，得，即，整理得，有两个不同是实数根，设，则

，，解得，，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时函数有最大值，所以，当时，符合条件；当时，有，所以实数a的取值范围为

9、答案：AC

解析：

10、答案：BC

解析：

因为，所以，则导函数为对称轴是，且开口向上的抛物线，故其单调减区间为，A错误；因为，所以的图象关于点中心对称，B正确；设过原点的直线与相切于点，则，整理得，令，，令，得或，令，得，故有极大值，极小值，由三次函数性质得只有一个解，则过原点O只能作一条直线与的图象相切，C正确；令，得或，令，得，所以函数有极大值，极小值，由三次函数性质得有三个解，即有三个零点，所以D错误.

11、答案：BCD

解析：

12、答案：ACD

解析：对于选项A，每个彩灯颜色都有4种选择，根据分步乘法原理得，

有种不同方案，故A正确；

对于选项B，第一类：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有种结果，使用1种剩余的颜色和前3种颜

色的2种安装4，5，6号位彩灯时，有种结果，根据乘法原理得共有种不同的安装方法；第二类:先从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有种结果，再安装4，5，6号位彩色灯，分两类:第一类，4，5，6号位只用1，2，3号位剩余的2种彩色灯，有2种结果，第二类，4，5，6号位用1，2，3号位剩余的2种彩色灯和前三个位置使用过的1种彩灯，有种结果，根据计数原理得共有种不同的安装方法.由分类加法原理得共有种不同的安装方案，故B错误；对于选项C，第一步：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有种结果，第二步：分两类：第一类，4，5，6号位用1，2，3号位的3种彩色灯，有2种结果，第二类，4，5，6号位用1，2，3号位的2种彩色灯，有种结果，根据计数原理得共有种不同的安装方法.故C正确；

对于选项，第一步：从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯安装在1，2，3号位，则有种结果，第二步：安装4，5，6号位彩灯有1种，根据分步计数原理，可得有种不同的安装法，故D正确；

13、答案：211

解析：

14、答案：

解析：

15、答案：

解析：由题意可得X的可能取值为：1、2、3、4、6、9，
其分布列为：

所以，，所以.

16、答案：

解析：令，，则，已知，所以，则或，又，则，所以不符合；，则，所以，则不等式为，由于，则，令，，则，因为，，由零点存在定理可知在内存在一个零点，所以可知在上单调递增，在上单调递减，又，所以的解集为，即不等式的解集为，故答案为:.

17、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1），

也满足上式.，，，公比，，，，，

（2），，，，

18、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）作，垂足为N，则，，由余弦定理，，，又，平面PAC，平面平面PAC.

（2）

由（1），可以点A为坐标原点建系如图.，，，，，，设，，平面MAC的法向量，则，可取则，，M是BP中点，，同理可求平面PBC的法向量，即平面MAC的法向量，，即为所求平面夹角的余弦值.

19、答案：（1）

（2）

解析（1）：

①，，，.②，，故可取，，则，故

（2）今，则，又，，，，，，，，在上单调递增，.

20、答案：（1）

（2）分布列见解析，期望为58

（3）证明见解析

解析：（1）不低于70分的学生人数为.设从中选出1人是男生为事件A，成绩在80分以上为事件B，则

（2）X的分布列为：

期望.

（3）由题意知，即，即，即，即，即，即.

21、答案：（1）

（2）存在，直线方程为.

解析：（1）设点，则，依题意，得，，化简得E的方程为，

（2）显然直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为，当时，由解得若，，则AM，BN的方程分别为，，交点Q的坐标为.若，，同理可求得.若交点Q在一条定直线上，则该直线只能为.以下证明当t改变时，直线AM与BN交点Q在点直线上.事实上，由，得，当，即时，不合题意，所以，，记，则，，AM，BN的方程分别为，，要证明交点Q在一条定直线上，只需证明，即证，即证，因为，所以交点Q在定直线上.

解法二：（2）显然直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为，由得，当，即时，不合题意，所以，记，，则，，AM，BN的方程分别为，，联立方程，消去y得，即，代入，，解得，因为，所以，所以交点Q在定直线上.

22、答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1），，，若，则在上单调递增，最多只有一解，所以.令，则，解得，当，递增，当，递减，所以为函数唯一的极值点，因为函数有两个零点，所以，即，今，则在上单调递增，，，所以

（2）当时，所以，今，，在上单调递减，，所以，令，，因为，所以在上恒成立，所以，令两根是，，所以，，

因为，所以.