备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题22 平面向量

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一、向量的基本概念
1、向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.
2、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
规定零向量与任何向量平行（共线），即.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.
二、向量的线性运算
1、向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.
2、向量的减法
（1）相反向量.
与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.
（2）向量的减法.
向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.
3、向量的数乘
（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①
②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.
（2）向量数乘运算的运算律.
设、为任意向量，、为任意实数，则 ；；.
三、平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为平面内一点.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示.
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.
(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（）向量点（）.
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4）设A，B，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
五、向量的平行
设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；
当时，可表示为，即对应坐标成比例.
六、平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.
(2)叫作与的数量积，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.
两个非零向量与平行的充要条件是.
七、平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cs θ的乘积．即＝| || |cs θ.( 在方向上的射影| |cs θ;在方向上的射影| |csθ).
八、平面向量数量积满足的运算律
（1）（交换律）；
（2）为实数）；
（3）（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.
九、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量由此得到
（1）若；
（2）设两点间距离
（3）设的夹角，则
【典例例题】
例1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
例2．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知向量，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．6
例4．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
例5．（2023秋·山西太原·高三统考阶段练习）在矩形中,,点满足,则（ ）
A．B．14C．D．
例6．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023秋·山西太原·高三统考期末）已知，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
例10．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（ ）.
A．B．C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______.
例12．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知向量，，，，则___________．
例13．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在平面直角坐标系中，向量满足 则 __________
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，设，，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知向量，且与互相平行，则的值（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）在四边形中,,,点在线段上,且,设,,则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．B．C．1D．4
6．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
7．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（ ）
A．2B．-2C．D．
10．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知向量，若与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知平面向量，且，则（ ）
A．B．（0，0）
C．D．（1，2）
12．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．1C．D．
13．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．4B．C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．B．C．1D．
15．（2023·全国·高三专题练习）若，，下列正确的是（ ）
A．B．
C．方向上的投影是D．
16．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知向量，满足，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．1B．C．2D．
19．（2023春·浙江·高三开学考试）若向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知两个单位向量满足，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（ ）
A．4B．C．D．8
22．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）若平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）．
A．B．C．4D．12
23．（2023·湖南邵阳·统考一模）设向量，满足，，则（ ）
A．2B．C．3D．
24．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
25．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．8D．16
二、多选题
26．（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若，则存在实数，使得.
B．若，则.
C．若，则，反向.
D．若，则，一定同向
27．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
28．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若，则与向量反方向的单位向量的坐标为__________.
29．（2023·高一课时练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．
30．（2023·高三课时练习）已知点，，则的坐标是______．
31．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则实数___________．
32．（2023·全国·校联考模拟预测）已知向量，若，则__________.
33．（2023秋·海南·高三统考期末）已知正方形的边长为，边，的中点分別为，，则________．
34．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知向量，，，若，，三点共线，则______．
35．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知向量，，若，则t的值为______．
36．（2023·高三课时练习）已知向量，，且，则x的值为______．
37．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知向量,,则向量在向量方向上的投影是______．
38．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）已知，且，则在上的投影向量为__________．
39．（2023·高三课时练习）已知向量、、满足，，，且，则______．
40．（2023·高三课时练习）在中，已知，，，则的值为______．
41．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知非零向量满足，，，则的夹角为_____________．
42．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）在中，分别为的中点，则__________.
43．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为______．
44．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.
45．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则___________.
46．（2023·河南焦作·统考一模）已知正六边形ABCDEF的边长为2，则_________．
47．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知向量夹角为，且，，则______．
四、解答题
48．（2023·高一课时练习）设两个非零向量，不共线，，，．
(1)求证：A、B、D共线；
(2)试确定实数k，使和共线．
49．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
50．（2023·高三课时练习）如图，在中，点A在BC上，且点B关于点A的对称点是点C，点D是将分成的一个内分点，DC与OA交于点E，设，．
(1)用、表示向量、；
(2)若，求实数的值．
51．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知点是线段的中点.
（1）求点和的坐标；
（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.
52．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知向量，.
(1)求与的夹角：
(2)若满足，，求的坐标.