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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型47 利用拆凑法求不等式的最值
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    2022高考数学选填经典题型汇编 题型47 利用拆凑法求不等式的最值

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    这是一份2022高考数学选填经典题型汇编 题型47 利用拆凑法求不等式的最值,共5页。

    题型47   利用拆凑法求不等式的最值

    【方法点拨】

    1. 已知的一边是二次齐次可分解,另一边是常数,可考虑换元法;
    2. 2、例3中使用了拆凑用以凑形,其目的在于一次使用基本不等式,能实现约分或倍数关系.

    【典型题示例】

    1   2021·江苏省泰州中学九月测·16若实数满足,则的最大值为______

    【答案】

    【解析】因为

    ,设

    故原问题可转化为已知,求的最大值

    又因为

    所以的最大值为,当且仅当时取等号.

    故答案为:

    2   已知,则的最大值是________

    【答案】

    【分析】本题变量个数较多且不易消元,考虑利用均值不等式进行化简,要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉,观察分子为均含,故考虑将分母中的拆分与搭配,即

    所以.

    点评:

    本题在拆分时还有一个细节,因为分子的系数相同,所以要想分子分母消去变量,则分母中也要相同,从而在拆分的时候要平均地进行拆分(因为系数也相同).所以利用均值不等式消元要善于调整系数,使之达到消去变量的目的.

    3    若实数xy满足x22xy10,则x2y2的最小值是________

    【分析】

    思路1:注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.本题中可直接由已知解得y,代人所求消去y;也可将直接使用“1”的代换,将所求转化为关于xy的二次齐次分式.

    思路2:由所求的结论为x2y2,想到将条件应用基本不等式构造出x2y2,然后将x2y2求解出来即可.

    【解析一】从结论出发,注意到已知中不含y2项,故拆x2项的系数

    x2y2=tx2tx2y2=tx2tx2y2]≥tx2 xy(0<t<1)    

    t:,解之得:t

    代人得:x2y2x2xy)=

    ∴x2y2的最小值是

    【解析二】从已知出发,注意到结论中不含xy项,故拆xy项的系数

    x22xyx22(tx)( y)≤x2[(tx)2+( y) 2]= (1+t2)x2+ y 2

    (1+t2):=1:1(下略).


    【巩固训练】

    1.已知,则的最小值为         

    2.已知正实数xy满足x2xy2y21,则5x2y的最小值为________

    3.已知,则的最小值为            .

    4.是正实数时,的最大值是     


    【答案与提示】

    1,【答案】

    【解析】注意到分母中因式均含c,故需拆分子含c2项的系数

    ,解之得:t,所以

    当且仅当,即时,等号成立.

    ,当且仅当时,等号成立.

    2.【答案】4

    【解析】:将已知条件左边分解因式得x2xy2y2=( xy) ( x+2y)=1

    因为xy是正实数,且( xy) ( x+2y)=1>0,所以xy >0 x+2y>0

    5x2y=a( xy)+b ( x+2y),则a=4b =1,所以5x2y=4( xy)+ ( x+2y)

    由基本不等式得.

    3.【答案】

    【解析一】.

    【解析二】,设.

    则满足等式x,y存在,去分母后配方得: ,故,解得.

    4.【答案】

    【解法一】

    【解法二】设

    所以,

    ,解之得.

    【解法三】令 ,

    .

     

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