山东省枣庄市台儿庄区2023届九年级下学期一模考试数学试卷(含解析)

2022~2023学年度第一次调研考试

九年级数学试题

亲爱的同学：

祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥，祝你成功！

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号涂在答题纸上．

1. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

A  B.  C.  D.

3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 且 D. 且

4. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（    ）

A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°

5. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ）

A. 5 B. 2 C. 1 D. 0

6. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 且 D. 且

7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D. 3

8. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处测温工作，则甲被抽中的概率是（   ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为(   )

A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4

10. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）

A. 4 B. 4 C. 8 D. 8

11. 如图，内接于是的直径，若，则（ ）

A.  B.  C. 3 D. 4

12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（    ）个．

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

二、填空题：每题4分，共24分，将答案填在答题纸上．

13 若实数m，n满足，则__________．

14. 如图，矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．

15. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．

16. 按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是______．

17. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．

18. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．

三、解答题：（满分60分）

19. 先化简，再求值：，其中，．

20. 为了解同学们最喜欢一年四季中哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了________名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为________；

（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；

（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．

21. 湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）

22. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

23. 如图，在中，，AD平分，AD交BC于点D，交AB于点E，的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．

（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及的正切值．

24. 综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．

（1）猜想证明：

试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；

（3）解决问题：

如图①，若，请直接写出的长．

25. 已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案

1. B

A.，故本选项错误；

B.，故本选项符合题意；

C.，故本选项错误；

D.，故本选项错误；

故选：B．

2. C

解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；

故选：C．

3. C

解：由题意得：x+1≥0且x≠0，

∴x≥-1且x≠0，

故选： C．

4. D

解：如图，

根据题意得：∠5=30°，

∵，

∴∠3=∠1=120°，

∴∠4=∠3=120°，

∵∠2=∠4+∠5，

∴∠2=120°+30°=150°．

故选：D

5. C

解： ，

故选C

6. C

方程两边同时乘以，得，

解得，

关于x的分式方程的解是正数，

，且，

即且，

且，

故选：C．

7. C

∵P点坐标为（1，1），

则OP与x轴正方向的夹角为45°，

又∵，

则∠BAO=45°，为等腰直角形，

∴OA=OB，

设OC=x，则OB=2OC=2x，

则OB=OA=3x，

∴．

8. A

解：画树状图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，

∴P（抽到甲）= ．

故选：A．

9. B

∵点E为OC的中点，

∴，

∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，

∴S△ABO＝S△CDO，

∴S四边形CDBE＝S△AEO＝，

∵EB∥CD，

∴△OEB∽△OCD，

∴，

∴S△OCD＝1，

则xy＝﹣1，

∴k＝xy＝﹣2．

故选：B．

10. C

∵DH⊥AB，

∴∠BHD＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，

∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

∴OD＝4，BD＝8，

由得，

＝32，

∴AC＝8，

∴OC＝＝4，

∴CD＝＝8，

故答案为：C．

11. C

解：过点O作OF⊥BC于F，

∴BF＝CF＝BC，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，

∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，

∴∠D＝∠C＝30°，

∵BD为⊙O直径，

∴∠BAD＝90°，

∴∠ABD＝60°，

∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，

∵AD＝3，

∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2，

∴OB＝BD＝，

∴BF＝OB•cos30°＝×＝，

∴BC＝3．

故选：C．

12. B

解：∵抛物线开口向上，

∴，

∵对称轴为直线，

∴，

∵抛物线与y轴的交点在负半轴，

∴，

∴，故①错误；

∵抛物线与x轴交于，对称轴为，

∴抛物线与x轴的另一个交点为，

当x=2时，位于x轴上方，

∴，故②正确；

若，当y=c时，x=-2或0，

根据二次函数对称性，

则或，故③正确；

当时，① ，

当时，② ，

①+②得：，

∵对称轴为直线，

∴，

∴，

∴，故④错误；

综上：②③正确，

故选：B．

13. 7

解：由题意知，m，n满足，

∴m-n-5=0，2m+n−4=0，

∴m=3，n=-2，

∴，

故答案为：7．

14.

解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，，四边形ABCD是矩形，

∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，

∵AF=2EF，

∴AF=6cm，

∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=DF，，

∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，

∴AD=AE=9cm，

∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2

∴62+DF2=92，

∴DF= (cm)，

AB=DF= (cm)，

故答案为∶．

15.

解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，

三个正六边形，O为原点，

同理：

三点共线，

关于O对称，

故答案为：

16.

解：由题意知，第n个数是(n是奇数)或(n是偶数)，

∴第10个数是，

故答案为：．

17.

解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

18. 1或

当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，

此时满足，解得；

当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，

此时满足，解得或，

当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；

综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．

故答案为：1或

19. 解：

，

当a=2，b=1时，

原式．

20. （1）根据题意得：18÷15%=120（名）；

“春季”占的角度为36÷120×360°=108°．
故答案为：120；108°；

（2）该校最喜欢冬季的同学的人数为：1500（名）；

（3）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，恰好选到A，B的有2种情况，

故恰好选到A，B的概率是：．

21. 如图，过点作于点

，，始终平分，

，

解得

答：最少需要准备长的伞柄

22. （1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，

，

在中，，，

，即，

根据勾股定理得：，

，

代入反比例解析式得：，即，

把坐标代入得：，即，

代入一次函数解析式得：，

解得：，即；

（2）当，即，；

当时，得到，即；

当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，

垂直平分线方程为，

令，得到，即，

综上，当点或或或时，是等腰三角形．

23. （1）证明：，

，

∵AE是⊙O的直径，

∴AE的中点是圆心O，

连接OD，则

∵AD平分，

∴

，

，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：在中，由勾股定理得，

，

，

，即，

，

在中，，

，

在中，，

，

．

24. （1）

解：四边形是正方形，理由如下：

∵将绕点B按顺时针方向旋转，

∴，，，

又∵，

∴四边形矩形，

又∵，

∴四边形是正方形；

（2），证明如下：

如图②所示，过点D作，垂足为H，则，

∴，

∵，，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

由（1）知四边形是正方形，

∴，

∴，

由旋转的性质可得：，

∴，

∴，

∴；

（3）

解：如图①所示，作于G，

∵四边形是正方形

∴，

在中，∵，，

∴，

∴，

∴，

由（2）可知：，

∴，

∴．

25. 解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣，

所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

，

解得：，

则直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，

则N（t，﹣t+6），

∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=PN•AG+PN•BM

=PN•（AG+BM）

=PN•OB

=×（﹣t2+3t）×6

=﹣t2+9t

=﹣（t﹣3）2+，

∴当t=3时，P(3, ),△PAB的面积有最大值；

（3）△PDE为等腰直角三角形，
则PE=PD，
点P（m，-m2+2m+6），
函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，
则PE=|2m-4|，
即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，
解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）
故点P的坐标为：（4，6）或（5-，3-5）．