广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题（含解析）

广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（    ）  A．， B．，C．， D．，2．已知复数是关于x的方程的一个根，则（    ）A．4 B． C．8 D．3．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（    ）A． B． C． D．4．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．5．如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为10cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度约为（    ）（单位：cm）A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.616．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）A． B． C． D．7．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．8．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．二、多选题9．已知，且，则下列命题中成立的是（    ）A．若，是第一象限角，则B．若，是第二象限角，则C．若，是第三象限角，则D．若，是第四象限角，则10．已知为异面直线，平面，平面，是空间任意一条直线，以下说法正确的有（    ）A．平面与必相交B．若，则C．若与所成的角为，则与平面所成的角为D．若与所成的角为，则平面与的夹角为11．已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（    ）A．的图象关于对称 B．为偶函数C． D．不等式的解集为12．已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（    ）A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．三、填空题13．已知定义在上的函数具备下列性质，①是偶函数，②在上单调递增，③对任意非零实数、都有，写出符合条件的函数的一个解析式______（写一个即可）.14．若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为______.15．如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为______.  16．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那么子三代中基因型为的概率是______.四、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.(1)求角的大小；(2)设，，求的值.18．已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.19．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．(1)证明：四边形是矩形；(2)求平面和平面夹角的余弦值．20．据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位：亿元）的10年数据如下表所示：依据表格数据，得到下面一些统计量的值.(1)根据表中数据，得到样本相关系数.以此推断，与的线性相关程度是否很强？(2)根据统计量的值与样本相关系数，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；(3)根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点对应的残差（精确到0.01）；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）.附：样本的相关系数，，，.21．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上､下顶点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点（异于点），且的面积为，过点A作直线，交椭圆于点，求证：.22．已知函数.(1)证明：；(2)证明：函数在上有唯一零点，且.第年12345678910居民年收入32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品销售额25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0379.6391247.624568.9参考答案：1．B【分析】判断出，根据子集的定义对各个选项逐个判断即可求解．【详解】由图可知，且，非空，则根据子集的定义可得：对于，，不正确，对于，，正确，对于，，不正确，对于，，不正确，故选：．2．D【分析】利用代入法，结合复数模的计算公式进行求解即可.另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，所以，解得，所以；另解：因为复数是关于x的方程的一个根，所以复数也是关于x的方程的一个根，所以有解得，所以.故选：D3．A【分析】求出基本事件个数和在同一个月的天数，即可求出两个节气不在同一个月的概率.【详解】由题意，从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，∴基本事件有个，其中任取两个在同一个月的有3个，∴这两个节气不在同一个月的概率为：，故选：A.4．D【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可.【详解】因为，所以，，向量在向量方向上的投影向量为.故选：D.5．B【分析】根据圆台的体积公式可得蛋糕体积，然后由圆柱体积公式可得.【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为，圆柱的体积为，故圆柱制作液态蛋糕原料高度约为.故选：B.6．D【分析】确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算．【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以．故选：D．7．A【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.【详解】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率.故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).8．D【分析】，构造函数，利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小.【详解】构造函数，令，，则所以在单增，所以，所以，所以，所以.令,，，所以在为减函数，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.9．BD【分析】举反例判断A，C；利用角的范围，结合余弦函数以及正切函数的单调性可判断B，D.【详解】对于A，不妨取，，满足题意，但是，A错误；对于B，由，，因为，故，由于在上单调递减，故，B正确；对于C，不妨取，，满足题意，而，C错误；对于D，由，，因为，故，由于在上单调递增，故，D正确故选：BD.10．AC【分析】反证法可判断A，列举特殊情况判断B，由线面角定义判断C，求二面角的平面角判断D.【详解】对A，若平面与平行，则，又 ，则，与为异面直线矛盾，故平面与必相交，故A正确；对B，，可能在平面内，所以不正确，故B错误；对C，过上一点作，交于，则直线为在平面上的射影，如图，所以与平面所成的角为，由题意知，所以，由可知，与平面所成的角为，故C正确；对D，平移过点，分别与交于，平面与棱交于，连接，如图， 由分别垂直两平面，易知棱与平面垂直，可得与垂直，故为二面角的平面角，由与所成的角为，可知，所以平面与的夹角为，故D错误.故选：AC.11．BCD【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解.【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，由得，由得，故为偶函数，故B正确，由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：  由性质结合图可知：当，时，，故D正确，故选：BCD12．ACD【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，与抛物线方程联立，得，因为是该抛物线的切线，所以，即，且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，设直线存在斜率且不为零，设为，同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，显然、是方程的两个不等实根，所以，因为，所以，因此选项D正确；由上可知：的斜率为，直线的方程为：，即，又，所以，所以，即，所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，由得，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故选项C正确；故选：ACD  13．（答案不唯一）【分析】利用对数函数的基本性质、函数奇偶性的定义结合对数的运算性质可得出结果.【详解】函数的定义域为，对任意的，，即函数为偶函数，满足①；当时，，则函数在上为增函数，满足②；对任意的非零实数、，，满足③.故满足条件的一个函数解析式为.故答案为：（答案不唯一）.14．1或【分析】分析出圆心的位置，将点代入解析式，即可求出圆的半径.【详解】由题意，在直线中，倾斜角为，∴圆的圆心在两切线所成角的角平分线上.设圆心，则圆的方程为：，将点的坐标代入，得，解得：或，∴圆的半径为1或.故答案为：1或.15．【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由相似得，求出圆柱体积，利用导数求得最大值．【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，即.令，结合，则，圆柱的体积，，时，，时，，即当，单调递增；当，单调递减，所以当时，.故答案为：16．/0.25【分析】分别求出子二代中各种基因型的概率，即可得出子三代中基因型为的概率.【详解】由题意，子二代作杂交试验的基因配型有6种可能，分别设为，设事件：“子三代的基因型为”，则由全概率公式得，故答案为：.17．(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理求解；（2）运用两角差公式求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，因为，所以，可得，即，，又，可得；（2）在中，由余弦定理得：，由，以及，可得，因为，所以A是锐角，所以，因此，，所以，，综上，，.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，，则，可利用分组求和与错位相减求和解题.【详解】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件可证得平面，于是，从而四边形是矩形；（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然后根据二面角的向量公式即可求出．【详解】（1）连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以，因此，因为点是的中点，所以为中点，所以，所以四边形为平行四边形，在正中，因为是的中点，所以，由题可知平面，平面，所以，，因为，平面，所以平面，又平面，所以，故四边形为矩形.（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.在中，，，所以.于是，，，，，，.设平面的法向量为，由，得，取.设平面的法向量为，由，得，取.设平面和平面夹角为，则，故平面和平面夹角的余弦值为.20．(1)线性相关程度很强(2)(3)，变小【分析】（1）根据样本相关系数，进得推断即可；（2）由可求得，由求得，即可得线性回归方程；（3）第一个样本点的残差为：，计算即可；由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，的值将变小.【详解】（1）根据样本相关系数，可以推断线性相关程度很强.（2）由及，可得，所以，又因为，所以，所以与的线性回归方程.（3）第一个样本点的残差为：，由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，的值将变小.21．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据条件列出关于的方程，求得它们的值，即得答案.（2）联立直线和椭圆方程，设，可得到根与系数的关系式，根据三角形面积可得到，继而计算以及，推出，即可证明结论.【详解】（1）由题意得：,解得,故椭圆的方程为.（2）证明：直线的方程为，代入，得，需满足，设，则，则，点O到直线l的距离为，所以，即，得，满足，所以设，则，即，得，因为，所以，即.【点睛】难点点睛：有关直线和圆锥曲线的位置关系的题目，解题的思路一般并不难想到，即要联立直线和圆锥曲线方程，化简得到根与系数的关系式，结合条件进行化简，但难点在于计算的复杂性，计算量较大，且基本上都是相关参数的运算，因此要求计算十分细心才可.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，求出最小值作答.（2）利用导数结合零点存在性定理推理判断唯一零点，再借助单调性把不等式转化为证，然后构造函数推理作答.【详解】（1）令，求导得，令，则，即函数在R上单调递增，而，由得，由得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，有，所以.（2）由，求导得，令，于是，即函数在上单调递减，又，由零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，则当单调递增，单调递减，而，则，且在恒成立，又，因此存在唯一，使得，下面证明，由知，即，则只需证，即证，由（1）知：，只需证：，令，而，故只需证，其中，令，则，函数在上单调递增，因此，即时，，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.事件配型0001