2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学三模试卷（含解析）

2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，一定是(    )

A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为的等腰三角形，俯视图是直径为的圆，则这个几何体的全面积是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. “经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次一定可投中次
C. 处于中间位置的数一定是中位数
D. 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小

5.  已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为度．(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知，，分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断

8.  在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、、、，轴上有一点作点关于点的对称点，作关于点的对称点，作点关于点的对称点，作关于点的对称点，作点关于点的对称点，作关于点的对称点，按如此操作下去，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为天，则可列出正确的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列说法中不正确的是(    )

 

A. 是的平分线 B.
C. ：： D.

11.  如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，小红同学得出了以下结论：；；当时，；其中正确的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  因式分解：______．

14.  如果，那么的平方根为        ．

15.  如图，一块含角的直角三角板，，应该是将其绕点顺时针旋转得到，当，，在一条直线上时，顶点所走的路径长为______ ．

16.  若不等式组的解集是，则的取值范围是          ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为，若的面积为，则点的坐标为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足方程．

20.  本小题分
如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅，小明站在位于建筑物正前方的台阶点处测得条幅顶端的仰角为，朝着条幅的方向走到台阶下的点处，测得条幅顶端的仰角为，已知台阶的坡度为：，米，则条幅的长度为        米
结果精确到米，参考数据，，，

21.  本小题分
甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为，，，的四个小球除标号外无其它差异从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用、表示．若为奇数，则甲获胜；若为偶数，则乙获胜．
用列表法或树状图法树状图也称树形图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

22.  本小题分
如图，在▱中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接．
试判断四边形的形状，并说明理由；
连接，相交于点，若四边形的周长为，，求的长．

23.  本小题分
某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图校服型号以身高作为标准，共分为种型号．

根据以上信息，解答下列问题：
该班共有多少名学生？其中穿型校服的学生有多少？
在条形统计图中，请把空缺部分补充完整．
在扇形统计图中，请计算型校服所对应的扇形圆心角的大小；
求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．

24.  本小题分
如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点连接并延长交于点．
求证：直线是的切线；
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段某商家在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元满足，设销售这种商品每天的利润为元．
该商家每天想获得元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
若销售单价不低于元，且每天至少销售件时，求的最大值．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点已知，．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求此点的坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：非正数的绝对值等于他的相反数，，
一定是非正数，
故选：．
根据负数的绝对值等于他的相反数，可得答案．
本题考查了绝对值，注意负数的绝对值等于他的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C不符合题意；

，
选项D符合题意．
故选：．
根据合并同类项的方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判断即可．
此题主要考查了合并同类项的方法，以及单项式乘单项式的方法，解答此题的关键是要明确：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆锥的高，
母线长，
圆锥的全面积．
故选：．
依据题意可得这个几何体为圆锥，其全面积侧面积底面积．
本题考查由三视图判断几何体，圆锥的计算．用到的知识点为：有个视图为三角形，另一个视图为圆的几何体是圆锥．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中位数、方差、随机事件以及概率，关键是掌握中位数、随机事件的定义，掌握概率和方差的意义．根据概率的意义以及中位数的定义、方差的意义分别分析得出答案．
【解答】
解：、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次一定可投中次，说法错误；
C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误；
D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确；
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：由数轴可得，
，
，，



，
故选：．
根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简．
此题的考查了二次根式的性质与化简、数轴、绝对值的性质、合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，在处作，

，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，在处作，根据平行线的性质可得，，由对顶角相等可得，根据计算求解即可．
本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
，，分别是三角形的三边，
．
，，
，
方程没有实数根．
故选：．
由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而，根据三角形的三边关系即可判断．
本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对进行因式分解．
 

8.【答案】 

【解析】解：作点关于点的对称点，作关于点的对称点，作点关于点的对称点，作关于点的对称点，作点关于点的对称点，作关于点的对称点，按如此操作下去，
每变换次一循环，
点的坐标为：，
点的坐标与坐标相同，
点的坐标为：，
故选：．
根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点的坐标与坐标相同，即可得出答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点的坐标与坐标相同是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为，快马所需时间为，
又快马的速度是慢马的倍，
可列出方程，
故选：．
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
利用基本作图可对选项进行判断；计算出，则可对选项进行判断；利用得到，则可对选项进行判断；由于，则可根据三角形面积公式对选项进行判断．
【解答】
解：

由作法得平分，所以选项的结论正确；
，，
，
，
，所以选项的结论正确；
，
，所以选项的结论正确；
，
，所以选项的结论错误．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据旋转的性质可知，且，．
点在线段的延长线上，．
．
．
故选：．
根据旋转的性质求出和的度数即可解决问题．
本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
该抛物线与轴有两个交点，则，故正确；
抛物线与轴相交于点、，
该抛物线的对称轴是直线，
，
，故正确；
由图象可得，当时，或，故错误；
当时，，故正确；
故选：．
根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
 

14.【答案】． 

【解析】解：，
又，
，
，，
，，
，
的平方根为：．
故答案为：．
根据算术平方根和平方的非负性，求出、的值，然后进行计算即可．
本题考查了算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，解题的关键是利用非负性求出、的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：由旋转得：，
，
在中，，
，
，
点所走的路径长为；
故答案为：
由题意可知：点旋转到所经过的路线是以为圆心，以为半径的弧长，根据旋转的性质先求出点旋转到旋转的角度为，再利用弧长公式进行计算即可．
题考查的是旋转的性质和点的运动轨迹，掌握弧长的计算公式，利用数形结合，并熟记旋转角的定义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集为，根据同大取大得到．
【解答】
解：，
解得，
不等式组的解集为，
．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：作，
，
，
，
，，
的面积为，即，
，
，
，，
坐标
故答案为：

作，根据点、坐标表示出、，依据的面积列出方程求出，即可求出答案．
本题考查了反比例函数的图象及性质的应用，三角形面积的性质是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】解：


，
由方程，可得，解得，，
当时，，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据方程，可以得到的值，然后将使得原分式有意义的的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：作于点，如右图所示，
由题意可得，，
台阶的坡度为：，米，
米，
，，，
四边形是矩形，
米，，
米，
，，，
，
即，
又，，，
，
，米，
，
解得，米，
故答案为：．
要求的长，只要构造出直角三角形，利用锐角三角函数进行求解即可，作于点，然后根据题目中的数量关系，可以表示出关于的等式，从而可以得到的值．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数进行解答．
 

21.【答案】解：画树状图如图所示，

共有种等可能的结果数；
为奇数的结果数为，为偶数的结果数为，
甲获胜的概率，乙获胜的概率，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
这个游戏对双方公平． 

【解析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
画树状图展示所有种等可能的结果数，然后根据概率公式求解判断是否公平．
 

22.【答案】解：四边形为菱形．
理由如下：
由作法得平分，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
四边形为菱形，
，，，，
在中，，
． 

【解析】由基本作图得到平分，，则，再根据平行四边形的性质得到，所以，则，所以，然后判断四边形为菱形；
先根据菱形的性质得到，，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
 

23.【答案】解：名，名，
即该班共有名学生，其中穿型校服的学生有名；

型的学生人数为：名，
补全统计图如图所示；

型校服所对应的扇形圆心角为：；

型和型出现的次数最多，都是次，
故众数是和；
共有个数据，第、个数据都是，
故中位数是． 

【解析】根据穿型的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出学生总人数，再乘以型所占的百分比计算即可得解；
求出型的人数，然后补全统计图即可；
用型所占的百分比乘以计算即可得解；
根据众数的定义以及中位数的定义解答．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了中位数、众数的认识．
 

24.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
．
解：，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
 

25.【答案】解：根据题意，有：，
化简得：，
根据，
解得：，
即函数关系为：，
令，可得：，
解得：，或者，
当时，销量：件；
当时，销量：件；
销量越高，越有利于减少库存，
为了减少库存，将销售单价应定为元；
根据题意有：，
解得：，
将化为顶点式为：，
，
当时，函数值随着的增大而减小，
，
当时，函数值最大，最大为：元．
答：此时的最大值为元． 

【解析】根据销售件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，令，可得：，解方程即可求解；
根据题意列出不等式组，得出取值范围，再求利润即可．
本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
由对称性可知，直线与抛物线对称轴的交点就是点，
抛物线的对称轴是直线，由于点，则点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点；
设，则，，，
根据为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
则，
解得：或此时点与重合，舍去，
；
当时，
则，
解得：，
，；
当时，
则，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或 

【解析】将，代入，求出、的值即可；
由对称可知，直线与对称轴的交点就是点，求出直线的关系式，进而求出其与对称轴的交点；
设，则，，，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的图象和性质以及对称最短距离，等腰三角形性质，第问运用轴对称距离最短是解题关键，第问在考虑构建等腰三角形时，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．